Ellipsoïde, — Soit l'équation
on aura
V = !L^ J{a} — x'^) dx, Vx, = ÎL^/(«' — X') xdx-,
d'où
y (a' — J?') xdx
*^'* ~ f{a^-^x^)dx '
Xi est donc indépendant des axes i, c. Si l'on fait commencer le segment à partir du centre , on aura
Xi — . X f \
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. l33
si 1 ^on fait a? = a , il vient
X, = I tf .
142. Secteur sphérique, — Les formules que nous avons données en coordonnées polaires s'appliquent avec avantage au volume engendré par un secteur circulaire tournant autour d'un axe, que nous choisirons pour axe des z. On suppose que le poids spécifique p dépend du rayon vecteur p et nullement des angles d et ^ : si les limites du premier de ces angles sont 0© et 0, celles du second o et 2 7r, et celles du rayon , Rq et R , on trouvera
P = 27r(cosôo — COSÔ) I pp^dpy
Pz, = TT (sin' Ô — sin' B^) 1 PP^^P-
On ne peut eflfectuer lesi intégrations que quand on con^ naît la fonction p. Dans le cas où p est constant, on a
P = 27r/? (co&ôo — COS ô) 5 ^5
Pz, =r îr/> (sin» Ô — sin» B,) ^' ^' 5
3(cosÔ-4-cosÔo)(K' — RJ)
Si Ro = o et 00 = o, on trouve
^1= -g-(i-f-cosô).
Equilibre d'un fil pesant
Chaînette. — On appelle ainsi la courbe formée par un fil flexible dont deux points sont fixes, et qui est soumise à
raciion seule de la pesanteur. Toutes les forces étant parallèles, la courbe sera comprise dans le plan vertical passant par les deux points fixes B et B'. Nous prendrons dans ce plan deux axes de coordonnées rectangulaires , dont Tun A Y vertical et en sens contraire de la pesanteur. Nous supposerons le fil homc^ène , et nous représenterons par e son poids pour l'unité de longueur; d'où il suit que es sera Iç poids d^un arc de longueur 5, et que l'on aura
Cela posé y les équations générales se réduiront à
d'où l'on déduit immédiatement
djc dy dy e
W ^5r = '' T^ = «4-cc', ± = -s + c'.
La première de ces équations montre que la composs^nte horizontale de la tension est la même en tous les points. En difTérentiant la dernière , on trouve
dx' c\
ou
en posant
dp s I
On obtient, en intégrant cette équation ,
/.(/; -H Vi -+-y?0 = - ^ + °^>
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l35
Toù
. ha
/ï -H V I 4-/>*= e ^ Résolvant par rapport à /; et le remplaçant par -j- ? il vient
dx
et la troisième des équations (i) donne, par suite ,
(«X ex \
en intégrant — ? on obtient
/ex gx \
Cl étant une nouvelle constante arbitraire. Les quatre constantes c^ c'^ Ci^a se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points doimés , et a une longueur donnée , et que , de plus , les arcs 5 se comptent k partir du point B' par exemple.
Nous prendrons, pour plus de simplicité, l'origine des coordonnées en 6', et nous désignerons par aelb les coordonnées de B, et par / la longueur totale du fil donné.
Faisant successivement x = o^y=o^ puis x = a^ x = b dans l'équation de la courbe, on obtient
d'où
cl ha a \
ri = o, b=z — le*" -f e *" )H-^.;
fi s as
ha
l36 COURS DE MÉCANIQUE.
L'équation qui exprime que s est nul pour a: = o est
e«— tf- « = 2 c'y
et pour que s soit égal à / pour :e: = a , il faudra qu^on ait
/ ae as \
ou, en substituant la valeur de c' tirée de l'équation précédente,
/ai as \
ajoutant et retranchant les équations (3) et (4) ? il vient
ou
éliminant a entre ces deux équations , en les multipliant membre à membre , on obtiendra , en prenant les racines carrées ,
ai ou 5 en posant — = z ,
La valeur de z peut se déterminer par Tintersection de la courbe y = e^ — e"" * avec une droite ayant pour équa-
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l3'J
tion
On peut encore résoudre l'équation en z par la méthode ordinaire des substitutions successives. Connaissant z et par suite c , on connaîtra a au moyen d'une quelconque de deux équations qui viennent d'être multipliées entre elles , ou mieux encore, au moyen de Féquation que Ton obtient en les divisant. Cette équation donne , en prenant l«s logarithmes de ses deux membres ,
, /-+- b ae
J. ; i = 2aH
Connaissant a , l'équation c" — e~ * = 2 c' donnera c' 5 c*^ cn6n Ci sera connu par l'équation
^fe«-f-c~*j H--c,= o.
143. Les constantes étant déterminées, il est facile de connaitre les coordonnées du point le plus bas. En effet, pour ce point on a
dy tx 5X
-—=0, ou h a = *
ax c c
d'oii
ou
tX COL
f-a = o, et X =1 •
Si l'on prend pour axe des / la verticale qui passe par
c et
CG point , il suflSra de changer x en x 9 et l'équa-
lion (2) deviendra
8X ex
l38 COURS DE MÉCANIQUE.
Le second membre ne changeant pas, quelque signe que l'on donne à a:, il s'ensuit que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des y^ c'estrà-dire à la verticale qui passe par le point le plus bas.
Si l'on change y en j^ + c, , c'est-à-dire si l'on prend pour origine le point de cette verticale qui est au-dessous du
point B' de la quantité — Ci , et que Ton pose - z=im^ l'équa-
tion de la courbe prend la forme plus simple ,
Si les deux points B', B sont à la même hauteur, on a
et, par suite,
l'abscisse — ma du point le plus bas est donc égale à - > comme cela était évident à priori. L'équation qui déter-
mine z devient — = — ? et celle de la courbe ne dîf-
fère pas de Téquation ( 5 ) . La valeur de a étant -> est
égale à — z ^ et la constante c' = sera égale à
144. La chaînette jouit de la propriété remarquable, que son centre de gravité est situé plus bas que pour toute autre courbe isopérimètre , ayant les mêmes extrémités.
En effet, l'ordonnée du centre de gravité du périmètre de Tune quelconque de ces courbes est
PREMIÈRE ANNÉE. STATIQUE. 1 3c)
et l'on doit avoir
les limites de ces intégrales étant les abscisses des deux points de suspension. Or, la recherche du minimum de la première intégrale, en ayant égard à la condition exprimée par celte équation, conduit à l'équation d'une chaînette, comme on Ta vu dans le calcul des variations.
145. Nous allons démontrer maintenant quelques propriétés géométriques de la chaînette. L'équation
donne les suivantes :
dx
'é=^ir^^'% V"-^£=^G"^''"")^
d'où Ton conclut
Soient R le rayon de courbure , N la longueur de la normale, c«) l'inclinaison de la tangente sur Thorizontale ; on aura
r = 9 R = ~ = wséc-w, N = — = R.
CCS îù m m
On trouvera encore
(Is =z dx \/ i -i- -, — =: m — — dx , V dx^ dx"' '
I^O COURS DE M^CANIQUK.
d'où
df s = m--", dx .
en prenant le point le* plus bas pour origine des arcs. On
déduit de là
5' dy^ r'
rn* dx* nr
donc
m étant l'ordonnée à l'origine.
On obtient encore facilement les formules suivantes :
d'où Ton tire x en fonction de j^ et 5, et par suite en fonction de 5, puisqu'on a
Si du pied P [fig. 33) de l'ordonnée d'un point quelconque M , on abaisse sur la tangente MQ une perpendiculaire PQ , on aura
PQ = y cos w = w ; donc
MQ = s] y* — m^ = s.
Ainsi le point Q appartient à la développante de la chaînette 5 QP est la tangente à cette courbe, et comme sa longueur est m et par conséquent constante, cette développante n'est autre chose que la courbe appelée tractrice. Pour avoir son équation , il suffirait donc d'exprimer cette dernière condition , qui conduit entre les coordonnées u, f', à l'équation
dt* V P^
PREMIÈRE ANNÉE, t- STATIQUE. I^I
On y parviendrait encore par les formules qui déterminent les coordonnées du point Q de la développante d'une courbe quelconque, en exprimant que MQ = s •, ces formules , qu'on obtient immédiatement, sont
dx dy
ds ds
En éliminant x, j*, 5 au moyen des équations relatives à la chaînette , et qui donneront d'abord x et y en fonction de s^ on trouvera l'équation finie de la tractrice. On la trouvera aussi en intégrant l'équation précédente, et Ton obtiendra
/—- . f m -\- Jm} — v^\
Il ne faut pas ajouter de constante^ parce qu'on doit avoir à la fois M = o , 1^ = m. Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des y qu'elle touche en B (fig, 34) ? et a pour asymptote l'axe des x.
En remplaçant w et i^ par x^ j^, on a pour équation différentielle de la tractrice ,
d'où
et
dx ^m^ — jr^
dy'^ y '
ydx = — dy ^m^ — y^ ,
Ji yelx = — I dy y/?/' — y^> 0 «/m
Donc , si l'on décrit de A comme centre avec m pour rayon, un quart de cercle ABC , les aires BIN , BMPx\ seront équivalentes; et Faire entière comprise entre la courbe et les
axes sera égale au quart de cercle, ou à ^-t-' Si l'on cherche
la valeur du rayon de courbure OM = R et de la normale MU = N, on trouve
d'où
et , par conséquent , O est sur la perpendiculaire à AX élevée par le pied T de la tangente.
Autre hypothèse sur la force,
146. Examinons maintenant la courbe que formerait le fil si la force verticale était proportionnelle à la projection horizontale de l'arc, et non à l'arc lui-même. Ce cas est, à peu de chose près , celui des ponts suspendus.
Soit e la force rapportée à une projection horizontale égale à Tunité^ Y ds étant la composante verticale de la force appliquée à Tare ds dont la projection est dx^ on aura
Y ds = — e dx ; et comme X = o , les équations d'équilibre seront
c et c' étant deux constantes arbitraires.
La première de ces équations montre encore que la composante horizontale de la tension est constante.
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. l43
Intégrant la dernière, et prenant pour origine Tun des points fixes , on aura
La courbe formée par le fil est donc une parabole dont Taxe est vertical. Les constantes c , c' se détermineront en exprimant que la courbe passe par le second point , et que sa longueur est égale à une ligne donnée.
Supposons, par exemple, que les deux points donnés soient sur une même horizontale^ soient ia leur distance, et / la longueur de la courbe.
L'équation de la courbe sera satisfaite par j^ = o , jl= 2 a , ce qui donne
j- ^ = o , d ou c' r=: ,
et, eu substituant.
y = ^^{x^'—'i^ax).
et changeant x — a en x ,
^^vy^""'^^
= 2- / dx\l f-^'
Cette équation déterminera c , et , par suite , c' ^ elle se résoudra par approximation , et le calcul sera très-simple dans le cas où la flèche de Tare compris entre les deux points fixes sera très-petite par rapport à la corde 2a. En effet,
lAA COUBS DE MÉGANIQUE.
— sera très-petit, et Ton pourra développer en séries trèsconvergentes les différentes parties du second membre de l'équation. On aura ainsi
a» f ^ fl* «'
C TlC
147. Dans les ponts suspendus, les forces ne sont pas réparties sur toute l'étendue de la chaîne , mais sont appliquées à un nombre limité de points dont les projections horizontales Sont équidistantes. On a alors un polygone dont les sonmiets jouissent de la propriété remarquable d'être situés sur une même parabole. En effet , désignons par a. l'inclinaison d'un côté quelconque sur le plan horizontal , par m la tension horizontale; supposons qu'il y ait un côté horizontal, et prenons son milieu pour l'origine des coordonnées , et soit ùky la différence des ordonnées de deux sommets consécu' tifs correspondante à la différence constante A a: de leurs abscisses; nous aurons
tang a = — i^ '- et tang a = -^ ;
Ajrzr - (A'-f-T^J^)Aj:,
et, par suite,
SX*
PREMIERS ANKEE. — STATIQUE. l^S
Or, X = — donne j^ == o •, donc
oa
et, par conséquent,
équation d'une parabole dont le sommet est sur la verticale menée par le milieu du côté horizontal , et renferme tous les sommets du polygone situés de part et d'autre du côté horizontal. Il en serait de même s'il n'y avait pas de côté horizontal.
Autres exemples de sj^stèmes flexibles en équilibre.
148. Cherchons encore la courbe formée par une voile flexible , soumise à Faction du vent. Nous supposerons que cette voile soit rectangulaire , que deux côtés opposés soient fixes et perpendiculaires à la direction du vent; et nous partirons de la loi suivante , que la pression d'un fluide en mouvement sur un élément fixe d'une surface est proportionnelle à l'étendue de sa surface , et au carré de la vitesse du fluide estimée dans le sens de la normale à cet élément.
D'après cela , si l'on fait une section dans la voile par un plan perpendiculaire aux côtés fixes , on aura une courbe dont on pourra considérer tous les éléments comme sollicités par des forces normales proportionnelles à leurs longueurs et aux carrés des cosinus des angles formés par la direction du vent avec la normale à la courbe. Donc, d'après les propositions démontrées n°* 86 et 145, cette courbe sera une chaînette , pour laquelle la pesanteur agirait dans le sens même du vent.
Si, au lieu d'un courant d'air, on avait un gaz en équi-
