Soit Téquation de la sphère (i) or'+j'-f z' = a\,,i
les équations du mouvement seront
^ ^ dt^ a dr a dt^ ^ a
l'axe des z étant supposé dans le sens de la pesanteur. La vitesse sera donnée par Féquation
la constante c étant détermina par la hauteur et la vitesse initiales du mobile.
L'équation des aires n'a plus lieu pour tous les plans \ mais, comme la résultante des forces qui agissent sur le point, coupe toujours Taxe des z, elle aura lieu pour le plan des x et ^, comme nous Tavons dit précédemment. On aura donc, en désignant par c' une constante arbitraire,
(4) xdy — ydxz=:cdt\
3gO COURS DE MECANIQUE.
réquation (3) peut se mettre sous la forme
Les équations (i), (4), (5) suffisent pour déterminer x,jr,j? en fonction de f .
Differentiant d'abord l'équation de la sphère, nous aurons
(6) X dx -^ y (ly ^=^ — zdz-, ajoutant les carrés des équations (4 ) et (6), il vient
(x» -h j') (rf^ -+- df^) =:z'dz^'^- c''di%
et en tirant x* -hj^' et dx* -h dy^ des équations (i) et (5), on obtiendra entre z et t Téquation
(a' — z')[(c-h :igz)dr-^dz'] = z" dz^ -^ t/^ dt* ;
d'où l'on déduit
/ V I ±adz
Le signe — correspond au cas où le mobile monte, et le signe H- à celui où il descend.
De là on tirerait , en intégrant ,
/=F(z) ou e=F,(0.
Il reste à déterminer la projection horizontale du mobile, soit par les coordonnées x et y, soit par des coordonnées polaires \ nou» nous arrêterons à ce dernier moyen.
L'équation a: rf^ — ydx=c'dt devient, en désignant par /'le rayon vecteur de la projection, et par t|/ l'angle qu'il fait avec l'axe des x^
(8) r^d'i^zzzc'dt et r»=:«' — z'j
PREMliEE ANNÏ.K. STATIQUE. 3qI
donc , en se bornaal au signe supérieur, . . , , d dt ac' dz
Si l'on substitue à dt sa valeur en z et dz^ ou si Ton suppose z exprimé au moyen de t par l'intégration précédente, une nouvelle quadrature fera connaître ^ en fonction de z ou de 1 5 et comme on a
toutes les coordonnées du mobile seront connues en fonction de t. Mais ces diverses intégrations ne peuvent être calculées que par approximation.
Si Ton veut connaître l'angle que forme, avec la verticale, le rayon mené du centre de la sphère au point mobile, on aura , en le désignant par 0,
z cos 9 = - ; a
il sera donc connu quand z le sera.
317. Déterminons maintenant la constante c'. Pour cela, décomposons la vitesse initiale du point en deux autres , dont l'une soit perpendiculaire au plan vertical passant par ce point et le centre de la sphère, et l'autre soit comprise dans ce plan. La première sera la composante de la vitesse de la projection horizontale du point , suivant la perpendiculaire au rayon vecteur r de la courbe décrite par cette projection 5 car cette perpendiculaire est normale au plan vertical dans lequel se trouve la seconde composante totale de la vitesse absolue du point, et par conséquent cette composantie donne une projection nulle sur la perpendiculaire au rayon vecteur de la projection horizontale.
Soient, dans la position initiale du point, d la valeur de z^h la vitesse, qui est nécessairement tangente à la
^2 COVES DE MÉCANIQUE.
sphère, et a l'angle que fait sa direction avec la perpendiculaire au plan vertical qui passe par le point et le centre de la sphère *, on aura , d'après ce qui vient d'être dit,
r -^ = k cos a ,
et, substituant à -^ sa valeur tirée de l'équation (8),
— = A cosa;
comme on a, au point de départ, r = ^a' — </', la valeur de e' sera
(10) c' =z k sjà^ — d'^ cos a.
Si la vitesse initiale est nulle , ou dirigée dans le plan vertical passant par le centre, on a 6-'== o, et Ton retrouve les équations du mouvement du pendule simple dans un plan vertical.
318. n reste à calculer à chaque instant la grandeur et le sens de la force N que produit la surface. Pour obtenir sa valeur de la manière la plus simple , nous multiplierons les équations ( 2), la première par x^ la deuxième par j^ la troisième par z, et nous les ajouterons; il en résultera
xd^x-^yd^y-^zd^z . .
(11) ~ =:±Nfl-4-g'2.
Or, on a
xdx-^ydf 4- zdz H- o,
et, en difîérentiant,
xid^x -^yd^X-^ ^^^^^^ — dx^ — dy^-^ dz^=: — rfj»j l'équation (11) devient donc
PREMIÈEE ANNÉE. — STATIQUE. SgS
d'où m.
et comme N est essentiellement positif, on verra, d'après les valeurs de ^^ et z à chaque instant , lequel des deux signes du premier membre on doit prendre pour que cette équation ne soit pas absurde ^ on saura ainsi quels signes il faut prendre à cet instant dans les équations (3), et, par conséquent , quel est le sens de la force produite par la surface.
Si z est positif, le second membre de l'équation (la) est négatif, et l'on doit prendre le signe inférieur dans le premier membre ; d'où il résulte que la surface produit sur le point une force dirigée de la surface vers le centre , toutes les fois qu'il est situé au-dessous du plan horizontal mené par le centre de la sphère.
Si z est négatif, c'est-à-dire si le point est au-dessus de ce même plan horizontal , les deux termes du second membre de l'équation (1*2) sont de signes contraires , et le résultat peut être négatif, nul ou positif. On prendra encore le signe inférieur de N si l'on a
la force N sera nulle quand on aura
— gzzz: v\
et l'on devra prendre le signe supérieur lorsque l'on aura
dans ce dernier cas , la surface prbduit sur le point une force dirigée vers l'extérieur de la sphère , et, par conséquent 5 le point fait effort pour s'approcher du centre. On peut se rendre compte directement de ces diverses
394 CODAS DK IIBCAIIIQUB.
conditions relatives au sei^de la force N ^ il suffit, pour cela , de se rappeler que la résistance de la surface ^ur laquelle un point est en mouvement détruit la composante suivant la normale à cette surface , tant des forces appliquées au point que de la force centrifuge.
Cela posé, soit R IC' rayon du cercle suivant lequel le plan osculateur en un point quelconque de la trajectoire coupe la sphère, et qui n'est autre cbose que le cercle
osculateur de cette courbe : la force centrifuge sera ^^ et
il faudra la multiplier par — pour avoir sa composante suivant le rayon de la sphère, qui passe au même point. On a ainsi - j et cette force est dirigée suivant la partie extérieure de la normale à la sphère. Quant à la composante normale de la pesanteur, elle est dirigée suivant la partie extérieure de la normale lorsque le point est dans Thémisphère inférieur, et vers le centre lorsque le point est dans Thémisphère supérieur. Donc, en la considérant comme positive quand elle est dirigée à l'extérieur, et comme négative dans la direction contraire , elle sera exprimée par
— 5 de sorte que ^ sera la pression détruite par la surface , et le signe de cette expression indiquera le sens de cette force comme nous venons de l'expliquer. Il suit de là que la surface remplace une force égale et opposée , et, par
conséquent , représentée par ^ 5 le signe étant entendu de la même manière. Ainsi , dans Thémi sphère inférieur, cette expression étant évidemment négative, la force produite par la surface est dirigée vers le centre. Dans l'autre hémisphère, elle sera encore dirigée vers le centre si l'on a
PREMIÈRE AKSÈÊ* — STATIQUE. SgS
elle aura la direction contraire lorsque >>' H- gz sera <[o. On retombe ainsi sur les résultats déjà obtenus.
319. M'ùui^entent d'un pendule qui s'écarte très^peu de la cervicale. — •* Le mouvement du point sur la sphère peut être réalisé en supposant ce point lié au centre par une ligne inflexible et sans masse. Ainsi, le problème que nous venons de trîiiter est celui du pendule simple , considéré de la manière la plus générale. Les calculs peuvent s'exécuter complètement lorsque le pendule fait toujours un très- petit angle avec la verticale menée par le point de suspension.
Soient 6 l'angle variable que forme la direction du pendule avec celle de la pesanteur, a sa valeur initiale correspondante à « := rf, et supposons que la vitesse initiale h ait une direction horizontale, auquel cas la valeur c' devient
En négligeant les quantités très-petites du troisième ordre et des ordres supérieurs , devant celles du second , nous
aurons
aO' aot}
— z =za cos = a 1 — d = a ces a = a ?
La formule (7) deviendra
i/— e«-+-(— -4- cA 0'— - V Xga ) a
et posant — r = ê',
^(aT__02y-(0,g/j
3g6 COURS DE MÉCANIQUE.
d'où Ton voit déjà que 6 restera constamment compris entre a et S. Il en résulte que si Ton a 6 = a , on aura constamment 9= a^le pendule décrira donc un cône de révolution autour de la verticale , et le point matériel décrira un cercle horizontal. Quant à l'angle ^^ Is. formule générale
r^iiJ* == c'dt devient r/\|; = — - ^/r, et comme ô = a = ê , elle se réduit à
d'où Ton tire , en faisant commencer Tangle ^ en même
temps que f , (|; = « i/-. Ainsi, dans ce cas, le mouvement
du pendule est uniforme , et il décrit la surface conique
entière dans un temps égal à 27r 4 /-.
V g Revenons à l'équation (i3) qui est évidemment inté-
grable j mettons-la sous la forme
Bd9
et posons
il en résultera
d'où
. , la du
dtz=z±.^U-' ,
^ -I- c. = ± I i / - . arc ces m.
La constante c^ se déterminera en exprimant que t = o donne 6 = a , et par suite x = 1 5 il en résultera
c, = 0, et r=: inj-^/ -.arccosw, ou
u = cos.2ri /-,
d'où l'on conclura pour 6' la valeur suivante :
9*=r 1 C0S.2ri/2.,
ou
(i4) 0» = a^cos'.r i/^ H- ^'sm\ti/^'
On reconnaît immédiatement que 6* est périodique, et que la durée de la période est ^ l/— Pour t = o,-on a
pour / = JTT 4 /-9 c'est-à-dire au milieu de la période, on a
et lorsque f = 71 i/-? on retrouve
De sorte qu'un observateur qui se mouvrait avec le plan vertical qui contient le pendule , verrait osciller ce dernier entre les deux directions faisant avec la verticale, et d'un même côté, les angles a, S. Le temps qu'il mettrait pour
arriver de l'une à l'autre serait ^tt k/ -'•> mais, au milieu
398 COUaS DE HS€AiriQUE.
de cet intervalle , il ne serait pas à égale distance de ces deux droites , et Ion aurait à cet instant
ce qui donne pour 9 une valeur plus grande que la moyenne
Il reste à connaître ^ en fonction de t. Or, on a
Remettant pour 0* sa valeur en f, il vient
dt
.(i5) rf^. = a6y/|
a'cos^t 4/^-h ê'sin
-'•Vf
Pour intégrer cette expression, nous poserons, d'après la méthode ordinaire, tang.^ i /- = t', et nous obtiendrons
CL^dif
d'où Ton déduit
J; = arc tangf —- •
11 n'y a pas de constante à ajouter, parce que l'on doit avoir en même temps
P =zOy ^j; = o.
Cette équation peut se mettre sous la forme
— = lang r^,
PREMIÈRI! ANNÉE. — STATIQUE. 899
OU
(i6) . tang+ = --tang.rl/|.
On voit que F angle ip ne croît pas uniformément^ il prend successivement les valeurs tt, 271, Stt, . . ., «tt, pour les valeurs successives de t qui rendent le second membre nul ;
ces valeurs sont 7ri/-v»w7ri/ — Aux milieux de ces di-
vers intervalles de temps , le second membre devient infini 5 le premier le devient donc aussi , et les valeurs de ^ sont jTT, TT 4- yTT,,,.; de sorte que le plan vertical qui contient le pendule se trouve perpendiculaire à sa position initiale. Ainsi , les quatre quarts de la révolution de ce plan sont
parcourus dans des intervalles de temps égaux à - l/ - *,
et, pendant chacun d'eux, le. pendule accomplit dans son plan vertical une oscillation qui Tamène de Tune à l'autre des deux directions extrêmes qui font avec la verticale les angles a et ê. '
On peut encore remarquer que le plan vertical du pendule met toujours le même temps à parcourir deux angles droits, à partir d'une quelconque de ses positions.
320. Si Ton veut connaître le mouvement de la projection du point sur le plan horizontal, il faut obtenir en fonction de f , soit r et tj/ , soit x et y.
D'abord l'équation {16) fait connaître ^ 5 et pour avoir r, il suffira de recourir à la formule
r^d^ = c'dt= ka%dtj
, dt r
trouvera ainsi
et de substituer à — sa valeur tirée de l'équation (i5)-, on
(i^ ) r^ =z flM a'cos'.f i/^ + ê» sinV * i/^ j
i^OO COURS DE MÉCANIQUE.
Les équations (16) et (17) résolvent la question. On obtiendra Téquation de la projection de la trajectoire sur le plan horizontal^ en éliminant t entre ces équations , ce qui conduit à
a' sin* \I; -4- €' cos' -^
Il est facile d'y reconnaître Téquation d'une ellipse. On Faura en coordonnées rectangles en posant
xz=z r cos 1]; , / = r sin ^|/ ; elle devient ainsi
Ses demi-axes sont aoc^bS'^ ils sont renfermés dans deux plans verticaux rectangulaires , dont Fun passe par le point de départ.
Enfin , si Ton veut avoir j: et ^ en fonction de ï , il suffira de substituer dans les formules
x = r cos ^I/ , ^' = r sin \p ,
la valeur de r donnée par Féquation (17) et les valeurs de costp, sinip qu'on tirera de Féquation (16).
On trouve ainsi
On peut faire ici une remarque qui se rapporte à un principe général dont nous parlerons plus tard. Elle tient à ce que la valeur de x ne dépend pas de 6, ni celle de y de a. Il suit de là que le mouvement projeté sur Faxe des x est le même que si 6 était nul , et que le pendule écarté de la verticale d'un angle a fût abandonné sans vitesse initiale à Faction de la pesanteur, Semblablement, le mouvement projeté sur
PREMIÈRE ANNiE. — STATIQUE. 4^1
Taxe des j" est le même que si le pendule partait de la verticale avec la vitesse initiale donnée, qui se trouvera dirigée suivant l'axe desj*. Ainsi ces deux causes de mouvement, savoir, Técartement de la verticale et la vitesse initiale, produisent séparément leur effet ^ et l'on a la position du mobile à un instant quelconque , en composant les déplacements correspondants à ce même instant, dans les deux mouvements qui seraient produits respectivement par chacune des deux causes agissant isolément.
