Soient
les équations de la courbe fixe sur laquelle doit se mouvoir un point matériel soumis à l'action seule de la pesanteur. Désignons par N la force normale que produit à chaque instant la résistance de la courbe rapportée à l'unité de masse; par X, fx, v les angles que fait sa direction avec les axes , et supposons Taxe des z vertical et en sens contraire de la pesanteur. Les équations du mouvement du point seront
— = Ncos>, — — Ncosp, — =— gH-Ncosv.
Si l'on multiplie la première par 2c?.r , la seconde par idy^ la troisième par idz, et qu'on les ajoute, il vient
d.v 7 = — zgdz; d'où v 7 ~ 2gz -f- C.
La constante C se déterminera d'après la valeur h de la vitesse, pour z =± h, et l'on aura
Si l'on remplace v % par sa valeur
dx 1 -h dy* + dz 7 dT* "'
OU
il vient, en résolvant par rapport à t , et supposant que le
dz point descende, et que, par conséquent, — ■ soit négatif,
<fr =
y/^'-t- 2grA — 2£2
De cette équation on tirera t en fonction de z •, si Ton peut la résoudre par rapport à z, on aura , pour chaque valeur de *, la valeur des, et, par suite, de x et y: le problème sera donc complètement résolu. Mais lors même que Ton ne pourrait intégrer l'expression précédente , on connaîtrait la vitesse en chaque point, par suite la force centrifuge, et enfin la pression exercée sur la courbe , qui est la résultante de la force centrifuge et de la composante normale de la pesanteur.
On remarquera que si s reste la même fonction de z, quoique la courbe change, /&% et, par suite r f , est exprimé par la même fonction de z, et le mouvement sur la courbe est le même. Ainsi, en enveloppant sur un cylindre vertical quelconque, le cylindre projetant d'une courbe , le point pesant passera , aux mêmes époques , par les points correspondants. ""
305. Effectuons ces calculs dans le cas où la courbe donnée est un cercle vertical. Prenons Taxe des x dans ce plan et tangent au point le plus bas du cercle, il en résultera, pour les équations de cette courbe,
- iciz = o,
a étant son rayon. On en tirera
Js* dx> 4- dz %
à 1 dz'
df"" dt* ~~ laz — z l dt^
372 COUES DE MÉCANIQUE.
et l'équation
devient
a 7 dz 7
• -— = A. 7 -h 7.gh — 2#3,
2flz — z 7 de 7 h 6 '
d'où l'on tire
d^iadz dt =
^iaz — z 7 si k 7 -h 2gh — igz
on prendra le signe — quand le point descendra , et le signe -f- quand il montera .
Le carré de la vitesse ayant pour expression
k 7 -+- igh — %gz
sera maximum .pour z=o, c'est-à-dire au point le plus bas, et cette valeur sera
La vitesse deviendra nulle quand on aura
k 7 k 7 4- 2gh — ^2gz =0, ou z=z h -\ ,
pourvu que Ton ait
car z ne peut surpasser le diamètre du cercle. Dans cette hypothèse , le point parvenu à cette hauteur redescendra , sa vitesse deviendra nulle de l'autre côté pour la même valeur de z, et ce mouvement d'oscillation se continuera indéfiniment. Si , au contraire , on a
la vitesse sera minimum au point le plus élevé du cercle,
mais elle n'y sera pas nulle , et le mouvement aura lieu constamment dans le même sens.
Enfin , si Ton a
/* H =r 2fl ,
la vitesse serait nulle au point le plus élevé, et le mobile y resterait en équilibre, s'il pouvait y parvenir- mais nous allons voir que cette position est une limite vers laquelle il tend sans pouvoir l'atteindre jamais. Ce cas est le seul où l'intégration puisse s'effectuer sous forme finie; on a alors
, a dz
dt = ± -= •
^2 g (2 a — z) sfz
On pourrait intégrer celte expression en la rendant rationnelle par les méthodes ordinaires ; mais on peut y parvenir
dz plus simplement en observant que — p est la différentielle
de ^z , et que la fraction peut être décomposée de
la manière suivante :
la — z 2^2a\fiîa-{- sfz slia — \[z)
On aura ainsi , pour le mouvement descendant ,
dz dz
sfza -f- sfz \fiïa — s]z d'où Ton tire
2 V S sFTa — dz
y/2~tf — si'* La constante se déterminera par la condition que Ton ait
en même temps £ = o , s = A , et il en résultera
*\ g ' y/ïH—yfl *\ g ' fi^—)fh' Lorsque le mobile arrive au point le plus bas , on a
~~ 2 V g ' s/*a.— sfh
^2a, — sjh
dz À partir de cet instant, — étant positif, on doit changer de signe la première partie de la valeur de t , ce qui donne
, = i./gi,vgEJi^ ■ A L v^ + ^.
2 \ g s/za—fz îVf \fïï — s/h
A mesure que t augmente, z augmente nécessairement, mais il est toujours plus petit que ia\ et l'on trouverait , t = oo si Ton faisait z = 2û. Le mobile n'arrive donc jamais au point le plus élevé du cercle, mais il s'en approche indéfiniment.
306. Considérons maintenant le cas où le mobile oscille de part et d'autre du point le plus bas du cercle. Nous pouvons supposer nulle la vitesse initiale ; car cela revient à prendre pour point de départ un point plus élevé du cercle. On aura alors, pendant que lé mobile descend ,
a dt=z —
dz i fa dz / z \ 2
fôg s^iaz — z' sjh — z 2 V g y[h
et comme — est plus petit que l'unité, on peut développer
su. a
le dernier facteur de la manière suivante :
\ 2fl/ 2 \2tf/ 2.4 \2<*/
Or on a > d'après une formule donnée dans le calcul intégral ,
r z» dz __ s"-' sjhz — z 2 (2/1—1)/* Ç * B ~ ! A
et, par conséquent , on pourra intégrer, entre des limites quelconques , autant de termes que l'on voudra de la série qui exprime la valeur de dt .
Bornons-nous à calculer le temps que met le mobile à arriver au point le plus bas, et qui est le même que celui qu'il mettrait à remonter à la hauteur h où se termine l'oscillation , puisque ces intervalles sont exprimés par la même intégrale prise entre les mêmes limites o et h,
La formule de réduction que nous venons de rappeler, devient
Çh z *dz ^ (zn — i)h r h z*~*dz J s/àz — z*~~ 2/1 J ^hz — s' '
par A n , sjhz — * 2
Cette formule conduit à la suivante, en observant que
Ao=7T,
