CHAPITRE 1. — MOUVEMENT SIMPLE D'UN POINT
tuellemenl, fécondées par le génie de Newton, ont été l’origine de la magnifique découverte de l'Analyse infinitésimale.
Occupons-nous d’abord des formules qui se présentent quand on rapporte la trajectoire d’un point à un système de coordonnées polaires, en nous bornant d’ailleurs au cas où le mouvement s’effectue dans un plan.
Soit PM le rayon vecteur correspondant à une époque quelconque, t (Jig. 20); menons la tangente et la normale à la courbe (M ), et soit i l'angle de la normale avec le rayon vecteur.
On a, par la Géométrie élémentaire :
Voici maintenant quelles sont les différentes vitesses simultanées dont il est intéressant de s’occuper (Jig. ni).
Vitesse de circulation. — Considérons le mouvement du rayon vecteur assujetti à contenir toujours le point décrivant M. Pans ce mouvement, tous les points de la droite PM décrivent simultanément des arcs de cercle concentriques autour du pôle P; et, en particulier, le point qui coïncidait avec le mobile M, dans la position PM du rayon vecteur, décrira pendant le temps dt un arc de cercle MM, , dont le rayon est égal à PM ou à r. Nous donnerons à la vitesse du point dont le mouvement est ainsi defini le nom de vitesse de circulation.
Vitesse de glissement. — Considérons un point qui soit entraîne avec le rayon vecteur, et qui glisse en même temps sur la droite PM, de manière à coïncider constamment avec le point de cette droite qui décrit la trajectoire. Pendant le temps que le rayon vecteur aura mis à venir de PM en PM', ce nouveau mobile fictif aura décrit l’espace M,M'; la vitesse correspondante s’appelle vitesse de glissement, ou vitesse le long du rayon vecteur.
Vitesse angulaire. — Prenons sur le rayon vecteur une longueur constante Pm égale à l’unité. Le déplacement de ce point m, assujetti à rester ainsi à l’unité de distance du
centre P, mesure Y angle décrit par le rayon vecteur. La vitesse du point m est ce qu'on appelle la vitesse angulaire; on la désigne habituellement par w (*).
Vitesse arêolaire. — Enfin, considérant l’aire décrite par le rayon vecteur, limité à la courbe que nous étudions, j’adopterai le nom de vitesse arêolaire pour désigner le quotient de l'aire PMM' par le temps dt, sans rapporter d’ailleurs cette vitesse à un point déterminé du rayon vecteur mobile.
Relations entre les vitesses précédemment définies. — On a d’abord, en désignant par tv la vitesse de circulation, par v m la vitesse arêolaire, par v t la vitesse de glissement :
. d 9 dr
w = rfT’ ‘'' = dt ' dQ
I)’un autre côté, en considérant le triangle infinitésimal MM'M,, dont les côtés sont proportionnels respectivement, à la vitesse sur la trajectoire, à la vitesse de circulation et à la vitesse de glissement; ou bien le triangle fini semblable au précédent, construit en prenant pour côtés ces vitesses ellesmêmes, on a le théorème suivant :
Théorème Y. — La vitesse d’un mobile sur sa trajectoire est la résultante de la vitesse de circulation et de la vitesse de glissement.
(*) Il no faut pas oublier que, pour le calcul de ai, le temps doit être exprimé en secondes, et que l’arc mm l est rapporte a son rayon, supposé égal à l'imite de longueur.
Dans les applications de la Cinématique aux machines, on est dans l’usage de définir une vitesse angulaire constante par le nombre des révolutions effectuées par le rayon vecteur dans une minute. Soit une roue faisant N tours par minute; un point de cette roue, situe à l’unité de distance du centre, parcourra par
. a TT N
minute un arc égal a et par seconde un arc égal à i le mouvement
étant suppose uniforme. On a donc, pour un rayon quelconque de la roue,
ai
