CHAPITRE I. — MOCVEMENT SI MP U! d’cH POIKT. 4>j

celte voie par Fermât, Barrow, Huygens, Newton; et c’est de ces recherches que sont sorties les méthodes analytiques actuelles, basées sur le calcul inventé simultanément par Newton et par Leibnitz.

V ers la même époque, Roberval (*) avait fait connaître une méthode géométrique pour le tracé des tangentes, méthode fort remarquable que nous allons exposer avec détail. Des procédés directs, plus ou moins analogues à ceux de Roberval, ont été mis en usage par plusieurs géomètres ses contemporains, entre autres par le marquis de l’Hôpital, dans son Analyse des infiniment petits; puis ce genre de spéculations s’est trouvé presque complètement abandonné, sous l’influence du vif éclat que jetait la nouvelle invention du calcul infinitésimal. On y est revenu de nos jours : et la méthode de Roberval, convenablement entendue, peut s'employer avantageusement dans un grand nombre de questions auxquelles le calcul algébrique s’appliquerait peu élégamment.

Principe de Roberval. — Pour arriver à tracer la tangente à une courbe définie géométriquement, Roberval considère cette courbe comme la trajectoire d’un point mobile; puis il pose l'axiome suivant :

La direction du mouvement d'un point qui décrit une ligne courbe est la louchante de la ligne courbe en chaque position de ce point.

Si donc nous pouvons trouver, par la définition donnée, soit les vitesses simultanées des projections d’un point de la courbe sur deux axes coordonnés rectangulaires ou obliques, soit la vitesse de circulation et la vitesse de glissement dans un système polaire quelconque, nous aurons, par une construction connue, la grandeur de la vitesse propre du point mobile, et la direction de cette vitesse, qui est celle de la tangente cherchée.

J’ai déjà fait observer que les définitions de la Géométrie ne peuvent donner les vitesses simultanées elles-mêmes; mais elles donnent les rapports de ces vitesses : et c’est tout ce qu’il faut pour déterminer une direction.

(*) Traite des mouvements composes : Divers ouvrage» de Mathématiques et de Physique, par Messieurs de l’Académie des Sciences, p. 8 >.

48 PREMIÈRE SECTIOX. CINÉMATIQUE PURE.

Le principe de la méthode de Roberval est donc extrêmement simple; nous allons en montrer l'utilité par de nombreuses applications.

Tangente à la conchoîde. — La définition de la conchoîde ordinaire, ou conchoîde de Nicomède, peut être généralisée de la manière suivante :

D'un point fixe O ( fi g. ^4 )> 0,1 mène un rayon vecteur qui vient rencontrer une courbe quelconque en M ; à partir de ce point d’intersection on porte sur la direction du rayon vecteur une longueur constante MM'. La courbe que nous considérons est le lieu des points M'.

Pour mener la tangente à cette courbe, élevons au point M une perpendiculaire sur le ravon vecteur; et regardons une longueur arbitraire Mm, comptée sur cette perpendiculaire, comme représentant la vitesse de circulation correspondante au point M. Par le point m, ainsi déterminé, concevons une perpendiculaire mm, sur Mm; la longueur de celle perpendiculaire, limitée à la tangente connue MT, représentera la vitesse du point M le long de son rayon vecteur.

Faisons la même construction pour le point M' : la vitesse de circulation M'm' est dirigée suivant la perpendiculaire à O.M'; d’ailleurs cette vitesse est à la vitesse de circulation M m dans le rapport de OM' à OM; donc le point m' est sur la ligne Ont prolongée. l*'autre part, la vitesse de glissement est dirigée suivant la perpendiculaire à m'M\ et elle est égale à mm,, puisque la distance MM' est constante; donc enfin on aura la tangente cherchée en prenant ni' m\ = mm, , et joignant M'm',.

On peut remarquer que les normales aux deux courbes se coupent en un point N de la perpendiculaire élevée en O sur le rayon vecteur. En effet, nous avons vu t^ue la sous-normale est égale au rapport de la vitesse de glissement à la vitesse angulaire; cette ligne a donc la même valeur pour la courbe (M) et pour la courbe (M').

D'après la remarque qui termine le § 11, la construction précédente s’appliquerait encore si les droites telles que OM, au lieu de passer toutes par un point fixe, étaient menées tangenliellemenl à une courbe quelconque.

La méthode de Roberval permet de trouver la tangente à la