PRINCIPE UE LA MOINDRE ACTION
320. Lorsqu'un point libre, ou assujetti à se mouvoir sur une surface fixe, est soumis à l'action de forces telles que l’on ait
Xrlx Y dy -+- Z dz = d.y[x,y, z), et, par suite,
la eourbe qu’il décrit jouit de la propriété remarquable, qu’en prenant pour v cette valeur en x, y , z , l’intégrale JVr/s, prise entre deux points quelconques A et 15 de cette courbe, est moindre qu’elle ne le serait pour toute autre courbe terminée aux deux points A, 15, et assujettie à rester sur la surface fixe, quand le point s’y trouve lui-même assujetti. Il s’agit donc de démontrer que , y, z) -t-G. ds est un minimum quand x , y, z satisfont aux équations de la trajectoire; et pour cela il faut prouver que la variation à f veh est nulle, e représentant v/ a (x, y, z) -+- C. Remarquons d’ailleurs que si l’on fixait la courbe quelconque que l’on considère entre A et 15, et qu'on assujettit le point matériel à y rester, en le soumettant à l'action des mêmes forces extérieures, sa vitesse serait toujours donnée par la même formule \]' 2 . 9 (a', y, z) -t- C. Or le calcul des variations donne à J / i(vds) — f{Svds -4- vSds),
toutes ces intégrales étant prises entre les deux points A
et 15. Or
et l' équation donne
à p ds — p S p dt = | S ( p' ) dt ,
p' = 2 f{x,y,z) 4- C **(«•’) = Xi r 4 - Y Sy + Z Sz;
et il faut remarquer que dans X, Y, Z les valeurs de x, y, z se rapportent aux points de la trajectoire, et que x -+- ox, y -f- dy, z -4-àz sont celles des points correspondants de la courbe infiniment voisine.
Si le point est assujetti à rester sur une surface fixe, on a à chaque instant
—r~ = X 4- N cos>, — = Y 4- N eus u , — — = Z4-Xcosv; dt ,//* ' Ht*
dt
dt '
et s’il est libre, il suffira de supposer N = o dans ces équations, qui peuvent ainsi représenter les deux cas. On en déduit
il' z
X Sx 4- Y Sy 4- V-Sz = — Sx -H — if + (U , ~
— N (<îxcosi -+■ S y cos p 4- cos v).
Or, la dernière partie du second membre est nulle si le point est libre, parce qu’alors N = o. Elle est nulle encore si le point étant assujetti à rester sur une surface fixe, la courbe infiniment voisine est aussi assujettie à s’y trouver, parce que la droite qui joint deux points correspondants étant perpendiculaire à la normale dont les angles avec les axes sont À, p, v, on a
ox cos >. 4- Sy cos y 4- Sz cosv = o.
On aura donc, dans ces deux cas,
XSx + YSr + Z3z = ^S.r + 'lïSr + f £sz, dt- dt dt ’
COURS DK lltCiKIOVK.
et , par suite ,
* v dt = * [dF 3x + II? 3jr + 1ÎF 0 z ) ■ Maiulcnanl de l’équation
ds’ — dx’ -+- dy' - 4 - dz’
on déduit
dsS ds = dxS dx -+- dy S dy -+■ dzSdz ;
d’où, en divisant par dt, et intervertissant les caractéristiques d et d ,
■> . dx , . dy , „ dz , .
t>0 ds — — do x H — — dSy -t — - d dz.
dt dt dt
Réunissant les deux parties de la variation de fvds, on obtient
dx » dy . rfz — ôz + — i/ + -7 d'z|) r/f rff ^ rft
et celte dernière expression doit être prise anx deux limites de l’intégrale. Or, elle y est nulle, puisque les deux points extrêmes étant fixes, àx, dy, ds y sont nuis; et il suffirait même que le déplacement de ces deux points s’effectuât suivant une direction perpendiculaire à la trajectoire, pour que l’on eût, en chacun d’eux,
dx
dt
3x + -iy+-3z
La variation ôjvds étant nulle, l’intégrale fvds sera, en général , minimum ou maximum. La question ne comporte pas de maximum; mais il pourrait se faire qu’il n’y eût pas non plus minimum.
327. Quand le mobile est assujetti à rester sur une surface fixe et n’est sollicité par aucune force extérieure,
sa vitesse est constante, et Jvds — vs\ donc l’arc parcouru est un minimum entre deux quelconques de ses points, cl, par conséquent, le temps employé à le parcourir est aussi minimum.
328. Application au mouvement d'un point. — La trajectoire décrite par un point libre, ou assujetti à rester sur une surface, satisfaisant à la condition de minimum pour l'intégrale J vds , lorsque l’on a
Xrfj: -f- Y ri/ letz — d.y(x,y , z ) ,
on peut, en exprimant cette condition, parvenir aux équations de cette ligne. Considérons d’abord le cas d’un point libre.
F.n mettant pour v sa valeur tirée de l’équation v ' ~ =?(*,/. 2) + C,
il faudra écrire les conditions de minimum de l’intégrale
/ V dx 1 -+- dy 1 tiz‘ \]-ly(x,yy z) -+- C.
Les règles du calcul des variations conduisent aux équations suivantes :
O 11 sait que ces trois équations se réduisent à deux, et ce sont celles de la trajectoire, en remplaçant v par sa valeur en x t jr, z. Si l’on effectue les différentiations, en prenant s pour variable indépendante , on obtient
fis 1
xÇ+tS+zÎ
as fis as
fl 7 z th i r/x „ fly „dz\
z = "’^ + *( x ;fc +ï i + z 7,)'
COURS 1)K MKCAMQUF.
Si l'on multiplie la première par -~i la seconde par ~
et qu'on les retranche; qu’ensuite ou multiplie la première
dz , . . dx , . ,
par — et la troisième par — , et qu ou les retranche, on
aura les deux équations suivantes, qu'on pourra encore considérer comme celles delà trajectoire:
de
ds
dy
ds
Si l’on veut prendre x pour variable indépendante, et qu'on multiplie les deux membres de ces équations par
on aura
/ dx\* d 7 y \ds j dx ’ I dx\ 1 d- z y ds ) dx ’
Ces équations rentrent dans celles que nous avions déjà obtenues en partant des équations du mouvement d'un point sur une surface; il sullira, pour les en déduire, de supposer nulle la force provenant de la surface. On les intégrera après avoirremplacé e* par a o (x, j. -f- C, et X, Y, Z, par leurs valeurs données en fonction de x , y, z.
I.e principe de la moindre action donnerait de même les équations de la trajectoire quand le point est assujetti à se mouvoir sur une surface fixe.
329. Si l’on considère un point libre sollicité vers un centre fixe par une force dépendante seulement de la distance, la courbe est plane, et l’on peut se borner à deux
coordonnées .r, y ; de plus, Xdx -f- Y dy est une différentielle exacte, de sorte que le principe de la moindre action a lieu , et ou peut l’appliquer à la détermination de la trajectoire. Mais, dans ce cas , il sera plus simple d’employer un système de coordonnées polaires r, 9 en prenant pour pôle le centre d’action.
Soit f la force dirigée vers le centre , on aura , en supposant la constante renfermée dans l’intégrale indéfinie,
i>’ = — 2 j rp dr, ds ~ \'dr 1 -+- r 1 dO 3 , et I intégrale qu’il faudra rendre minimum sera f \irlr~* -t- r'dO 1 y — 2 J'<? dr.
Le caleul des variations conduit à l'équation
ou
r’dO ^ — 2 J y dr ^ tir 1 -+- r*d(P
/•’ dO — 2 ) f dr \ dr* -t- r* d'i*
c désignant une constante arbitraire.
On tire de là
ou
La force ç étant donnée en fonction de r , f <fdr sera une fonction connue de r, et I on aura ainsi l’équation polaire delà trajectoire, que nous retrouverons plus tard par une autre méthode.
flr 7 - • d 0 ’
COU ns DE MECANIQUE
