PRINCIPE DES CALCULS C R I ST A LLO G R A P H I Q U E S

Définition du problème cristallographique. — Le problème cristallpgraphique a pour objet le plus habituel la détermination de la forme cristalline simple à laquelle appartient une lace faisant partie d'un cristal donné. Il faut pour cela que les éléments fondamentaux de la forme primitive de l'espèce soient connus, ou par eux-mêmes, ou à l'aide d'éléments dérivés, d où il soit facile de les déduire. Alors, ayant li\é la position de la face, ou plutôt sa direction, d'après les angles qu'elle fait avec deux faces de notation connue, il s'agit d'obtenir, avec ces données, la notation de la forme correspondante.

Or nous savons que la notation de la face déterminante d'une forme s'établit à l'aide de trois quantités, respectivement proportionnelles aux longueurs que cette face intercepte sut trois axes conjugués. Supposons donc que, par le centre de la sphère, sur laquelle nous avons coutume de rapporter les éléments des formes cristallines, on mène tig. ■2o'i) trois lignes Ox, Qy, Oc, respectivement parallèles aux trois axes en question. Soit QRS une face quelconque. Du centre 0, abaissons OP perpendiculaire sur QRS et joignons PQ, PU, PS.

On a, dans les triangles rectangles OPQ, OPR, OPS :

Dont

( )P = 00 cos PO.r = OR cos POy = OS cos POz. OQ OR OS

ras- POy cos P< )z

Ainsi les longueurs interceptées, par une face quelconque, sur les trois axes cristallographiques, sont respectivement proportionnelles aux inverses des cosinus des angles que la normale à cette face fait avec les axes conjugués. Ces angles ont d'ailleurs pour mesures les arcs de grands cercles compris entre le pé>le de la lace QRS et les points où les trois axes rencontrent la sphère.

Les longueurs OQ, OR et OS sont celles que nous avons constamment dési-

gnees par - . a, -. b,-. c, a, b et c étant les paramètres des trois axes. < »n a

donc

CALCULS CRISTALLOGIUPIIIQUES

ëôsFOx cosiJOi/ CUS P(>3

d'où 1 on lire, si l'on veut.

POe

cos PO./ ci] cos PO/y c r

cos POz a' s cos PO; b s cos P(Jy a r

Ainsi la solution du problème cristallographique revient à la recherche des arcs de grands cercles, compris entre le pôle d'une lace et les points où la sphère est percée par des parallèles aux axes.

Cela posé, concevons, dans le cas le plus général (Qg. a'55), que la forme primitive d'un système soit représentée par les trois pôles p, m, t, des faces de son parallélépipède générateur. Si, par le centre de la sphère, nous menons O.r, Oy, Os, parallèles aux axes conjugués, supposés concordants avec les arêtes de ce parallélépipède, les lignes en question perceront la sphère en des points X, Y, Z, dont chacun sera à 90 degrés de deux des pôles p, m, t. En effet, la ligne 0/?, perpendiculaire à la face p, est perpendiculaire à la fois aux arêtes OX et OY, qui sont contenues dans le plan de /;. Le pôle p doit donc être à 90 degrés des points X et Y. De même, le pôle m sera à 90 degrés des points X et Z, si OX est l'intersection de p a\ ec m.

En résumé le triangle sphérique X") Z, formé par les normales aux faces du triangle sphérique pmt, est polaire de ce dernier. Ses angles plans sont doncégaux aux suppléments des angles dièdres de pmt ai réciproquement. Par conséquent on a, pour la valeur des dièdres X, Y, Z, p, m, t des deux triangles :

X = 1 80" — mp p= 1800— XY

1 8o° — tp XZ

I 1S0" Dit

.Su" — YZ.

Formules usuelles. — I) après ce qui vient d'être établi, on devra, dan- chaque cas particulier, fixer la position des point-, X. Y et Z et, ce résultat obtenu, déterminer, par des résolutions de triangles sphériques, les cosinus de leurs dislances angulaires au dont on veut connaître la notation.

Lorsque les triangles sphériques sont obliquangles, si l'on appelle A, B, C Iresel a, b, des côtés (fig. 256), on a :

FORMULES GENERALES

cos a = cos b. cos c -j- sin b. sin c. cos A.

sin a sin b sin c

liOT

. sin A sut B s*« C cof b. sin c = cos c. cos A -f- */n A. co/ B. ros A = — cos B. cos G -f- sin B. s/// C. cos a,

Les formules se simplifient beaucoup dans le cas, fréquemment réalisé, de triangles sphériques rectangles. Une règle mnémonique fort simple permet alors d'écrire très facilement ics équations dont on a besoin. 11 suffit de

remplacer Bg. a57 les notations b et c des côtés de l'angle droit par - — b et - — c. Cela posé, si l'on fait abstraction de l'angle droit A, de telle sorte

que les éléments, angles el côtés, se succèdent dans l'ordre suivant :

en tournant, C ('-tant regardé comme contigu à la fois à a et à — b\, on peut dire que le cosinus d'an élément est égal

au produit des sinus des cléments opposés et au produit des cotangentes des éléments adjacents.

Ainsi, les éléments opposes à C étant (- — c) et B, on a

cos C = sin I - — c ] X sin B = cos c. sin B,

;t, f- — c ) étant adjacent à B et à I- — b J,

•ot B. cot { - — b

sin c = cot B. ts b.

Formules immédiatement calculables par logarithmes. — Alin de faciliter les opérations qu'on pourrait avoir à faire pour résoudre des triangles sphériques quelconques, nous donnerons le tableau des diverses formules. applicables à tous les cas et rendues immédiatement calculables par logarithmes i .

(i) Ce tableau est extrait de C. Klein, Einleitung in Jie Kryitallberecknung, 1 s 7 • . . pp. '1. 3, C.

CALCULS CRISTALLOGRAPHIQIF.S