ÇHILQSÇ.PHIE POÇITIV.Ç

être réellement assujettis, quoique rien , sans doute, n’en doive indiquer l’impossibilité radicale. Ainsi, la thermologie mathématique embrasse exclusivement aujourd’hui les phénomènes du premier genre, dont elle est destinée à compléter et à perfectionner l’étude fondamentale.

On conçoit , en effet , qüe la thermologie physique, ci-dessus examinée , puisse nous conduire jusqu’à connaître selon quelles lois la température s’élève successivement sur la surface extérieure de. l’un des deux corps, et s’ahaisse sur celle de l’autre, par suite de leur action réciproque. Mais là s’arrête évidemment , en générai , par la nature même de cette question physique ,1e domaine de l’exploration directe; et, néanmoins, une semblable étude ne saurait être envisagée comme vraiment complète que dans le cas purement idéal d’un point géométrique. Comment la chaleur, une fois introduite dans un corps par son enveloppe extérieure, se propage-t-elle peu à peu en tous les points de sa masse, de manière à assigner à chacun d’gux, pour un instant désigné,, une température déterminée j ou * en sens in« verse, comment cette chaleur intérieure se dis*» ripe- 1- elle au dehors, à travers la surface;, par june déperdition graduelle et continue ? C’est ce qu’il faudrait évidenuttent renoncer à connaître

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avec exactitude, si l'analyse mathématique, prolongement naturel de l’observation immédiate devenue impossible, 11e venait ici permettre à notre intelligence de contempler, par une exploration indirecte, les lois suivant lesquelles s’accomplissent ces phénomènes internes , dont l’étude semblait devoir nous être nécessairement impénétrable. Telle est la destination essentielle de la doctrine admirable que nous devons au beau génie du grand Fourier, et qu’il s’agit maintenant de caractériser nettement dans son ensemble.

Cette doctrine comprend deux parties générales bien distinctes : l’une, relative aux lois de la propagation proprement dite de la chaleur, d’une manière graduelle et continue , par voie de contiguité immédiate; l’autre, qui concerne la théorie de l’action thermologique exercée à des distances quelconques, ou l’analyse du rayonnement. Je considérerai surtout, et d’abord, la première partie, principal objet des travaux de Fourier, et qui constitue, en effet, par sa nature, l’élude la plus fondamentale.

Afin de mieux circonscrire le sujet propre et essentiel de notre examen philosophique, il finit, eulin, décomposer cette étude en deux branches fort différente», suivant qu’on euvisage les lois de la propagation graduelle de la chaleur dans les

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solides ou dans les fluides. Outre que le premier cas est jusqu’ici le seul réellement exploré, c’est nécessairement celui où ces lois peuvent être contemplées dans toute leur pureté élémentaire. Quant aux masses fluides, la température effective de chacun de leurs points, à une époque donnée, ne tient pas seulement à l’action thermologique que les diverses molécules exercent, de proche en proche, les unes sur les autres; elle est surtout , en réalité, comme l’expérience le montre clairement, le résultat des mouvemens plus ou moins rapides que l’inégalité des températures fait naître inévitablement dans l’intérieur du système : en sorte que les recherches purement thermologiques se compliquent de questions hydrodynamiques, dont elles sont nécessairement inséparables. A la vérité, Fourier a su étendre à ce cas diflicile sa théorie fondamentale, du moins en ce qui concerne les équations différentielles du problème. Mais, on conçoit que, la simple étude analytique des mouvemens réels produits dans les fluides par la seule pesanteur étant jusqu’ici, d’après la vingt-neuvième leçon, presque inextricable, la question , bien plus diflicile, de la propagation mathématique de la chaleur y sera long-temps encore essentiellement inaccessible. Du reste, il convient d’observer que

c’est principalement envers les gaz que les hautes difficultés propres à une telle recherche se trouvent profondément combinées, dans le cas, par exemple, des températures atmosphériques. Car les liquides pouvant être échauffés , dans les expériences des physiciens , de manière à prévenir la formation des courans intérieurs, ils constituent par leur nature, à cet égard comme à tant d’autres, une sorte d’intermédiaire entre le cas des solides et celui des gaz. Quoiqu’un tel mode d’échauffement soit, sans doute, essentiellement artificiel, son observation exacte et approfondie n’en serait pas moins très précieuse, par la facilité que procure l’état fluide de mesurer directement les températures internes, et de vérifier ainsi, d’une manière fort sensible, les lois fondamentales de la propagation de la chaleur, qui doit alors s’accomplir presque aussi régulièrementque si la masse était solide. Néanmoins, c’est , évidemment, au seul cas des solides que nous devons ici restreindre nos considérations générales.

Le phénomène fondamental de la diffusion de la chaleur dans l’intérieur d’une masse solide par la seule action graduelle et continue de ses molécules consécutives, est toujours modifié nécessairement par deux sortes de conditions générales, qu’il faut d’abord caractériser, afin que l’ensemble

du problème soit nettement défini. Les unes se rapportent à l’état initial arbitraire , qui , dans chaque cas particulier, détermine la température primitive propre à un point quelconque du corps.

Les autres concernent l’état thermométrique de la surface extérieure, en vertu de l’action , variable ou constante , inégale ou commune , du système ambiant. Ces deux ordres'de données sont indispensables pour fixer exactement , à l’égard de chaque *5,* question spéciale, l’interprétation analytique de l’équation fondamentale de la propagation de la chaleur, qui, par son extrême généralité nécessaire, ne saurait renfermer aucune trace immédiate , ni de l’état initial propre aux -diverses ,» molécules, ni des circonstances permanentes particulières à l’enveloppe. Mais, par cela même que ces conditions sont essentiellement modificatrices , il importe de considérer, avant tout, la loi principale; quoique, en elle-même, elle ne puisse avoir de relation directe qu’avec un phénomène purement abstrait, dont l’entière réalisation immédiate ne saurait avoir lieu que dans le seul cas d’une masse solide indéfinie en tous sens

Quant à l’objet analytique d’une telle recherche, il consiste toujours à découvrir la fonction qui exprime, à tout instant, la température d’un point quelconque de la masse solide. Celte fonc-

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tion sc rapporte donc, en général, à quatre variables indépendantes, puisque, outre le temps, elle doit contenir les trois coordonnées géométriques de chaque molécule : cependant , le nombre des variables est souvent réductible à trois, ou même à deux, quand la forme du corps et son mode d’échauffement permettent de supposer que la température change uniquement d’après une seule coordonnée.

Il paraîtrait d’abord nécessaire de distinguer deux cas essentiels dans la question fondamentale, suivant qu’on examine l’état variable des températures successives , ce qui constitue l’étude la plus complète, ou qu’on se borne à cousidérer l’état permanent vers lequel tend finalement l’ensemble de ces températures , sous l’influence d’une cause quelconque constante. Le système approche toujours très rapidement de ce dernier étal, et d’autaut plus que la perméabilité est plus parfaite, quoiqu’il ne pût jamais y atteindre rigoureusement que dans un temps indéfini. Quand on l’envisage isolément, la fonction cherchée, qui devient alors indépendante du temps, peut se réduire, dans les cas les plus simples, à ne contenir qu’une seule variable. Ce problème est susceptible, sans doute, d’être étudié, jusqu’à un certain point, indépendamment du premier, comme l’avait

fait l’illustre Lambert à l’égard des températures permanentes d’une barre prismatique dont une extrémité est soumise à l’action d’un foyer constant. Mais une telle étude serait évidemment très imparfaite, et surtout peu rationnelle, puisque l’état final ne saurait être bien conçu qu’à la suite des modifications successives qui l’ont graduellement produit. On ne doit donc pas traiter cette question séparément de l’ensemble du problème; elle constitue seulement une des conséquences générales les plus importantes de la solution totale.

Relativement à la loi physique élémentaire , base nécessaire de cette théorie mathématique, elle consiste à supposer toujours l’intensité de l’action thermologique proportionnelle à la différence des températures , sans qu’on ait d ailleurs besoin de lien préjuger habituellement quant au mode suivant lequel elle dépend de la distance. Si cette proportionnalité n’était point admise, il importe de remarquer, avant tout, que le véritable esprit fondamental de la doctrine generale créée par Fourier n’en saurait être aucunement altéré, ce que les physiciens ont quelquefois trop méconnu ; mais l’obligation d’introduire , dans les élén^ens de cette doctrine, une fonction nouvelle et moins simple, compliquerait necessaire*'

ment beaucoup les équations différentielles , et pourrait ainsi rendre inextricables les difficultés purement analytiques. Or , les expériences de divers physiciens, et surtout celles de MM. Dulong et Petit, ont clairement constaté, comme je l’ai indiqué dans la leçon précédente, que cette loi , primitivement imaginée par Newton , ne pouvait plus être adoptée quand, la différence des températures devenait très considérable. Toutefois, un tel résultat ne peut nullement affecter la formation des équations différentielles fondamentales relatives à la propagation intérieure de la chaleur. Car, en parvenant à ces équations, on n’a jamais à considérer que l’action thermologique instantanée de molécules infiniment voisines, dont les températures diffèrent infiniment peu. Dès lors il suffit que cette action dépende seulement de la différence des températures, ce qui demeurera toujours incontestable, pour qu’on doive la supposer ici simplement proportionnelle à cette différence , quelle que puisse être d’ailleurs la vraie fonction naturelle, conformément à l’esprit général de la méthode infinitésimale , si clairement prononcé dans toutes les recherches géométriques et mécaniques. Lorsque, en complétant chaque application effective, on arrivera à considérer l’état thermologique de la surface extérieure,

modifié par voie de rayonnement, c’est seulement alors qu’une telle hypothèse deviendra purement approximative , et qu’on ne devra plus l’employer qu’avec la réserve convenable et en soumettant ses conséquences définitives aux diverses restrictionsindiquées par l’expérience. Mais la théorie fondamentale ne peut jamais en être radicalement affectée.

Après ces considérations préliminaires indispensables sur la nature propre d’un tel problème, et sur l’esprit général de la solution, examinons directement la formation des équations fondamentales qui expriment les lois mathématiques de la propagation de la chaleur. 11 faut, pour cela , envisager préalablement deux cas élémentaires , essentiellement abstraits sans doute, et constituant neanmoins une préparation nécessaire , puisque toutes les notions essentielles de cette théorie y trouvent leur véritable origine, et peuvent y être étudiées dans leur plus grande simplicité. Ils consistent, suivant la judicieuse expression de Fourier, dans le mouvement uniforme de la chaleur, d’abord en une seule direction, et ensuite en tous sens; ils remplissent, en effet , envers l’ensemble de la thermologie mathématique , le même office essentiel que la théorie du mouvement uniforme à l’égard de la mécanique rationnelle.

Le premier el le plus simple de ces deux cas concerne l’état final et permanent des températures dans un solide indéfini compris entre deux plans parallèles, dont chacun est supposé constamment entretenu à une température invariable, commune à tous ses points, et différente seulement de l’une à l’autre base. Quelles que soient les températures initiales des divers points intérieurs d’une masse ainsi définie , leur ensemble tendra vers un certain système définitif, qui ne serait exactement réalisé qh’au bout d’un temps infini , mais qui aurait la propriété caractéristique de subsister éternellement par lui-même s’il était une fois établi. Ce système est , par sa nature , entièrement indépendant des circonstances primitives, susceptibles seulement d’influer sur l’époque de sa réalisation, et sur les modifications qui l’auraient graduellement amenée. La définition de la masse proposée montre clairement que cet état final et fixe doit être identique en tous les points d’une même section quelconque parallèle aux deux bases, et varier uniquement d’une tranche à la suivante, d’après la distance à ces bases données. Toute la difficulté est donc réduite ici à connaître la loi précise de cette variation. Or, une telle loi doit être déduite de cette condition , caractéristique de la fixité : une tranche quelconque

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transmet à la suivante autant de chaleur qu’elle en reçoit de la précédente. Ce principe évident conduit aussitôt à reconnaître aisément que la température de chaque point est exprimée par une fonction du premier degré de sa distance à l’une des bases : puisque , en vertu d’une semblable distribution des températures , l’échaufTement que tendrait à produire sur la molécule consi-1 dérée une quelconque de celles qui l’avoisinent, serait toujours exactement compensé par le refroidissement dû à la molécule Symétrique; en sorte que toutes les actions thermologiques du système, ainsi comparées, se détruiraient mutuellement. Dans cette formule, le terme indépendant de l’ordonnée est égal à la température de la base à partir de laquelle cette ordonnée est comptée; le coefficient du terme variable, a pour valeur le rapport de la différence des deux températures extrêmes données à la distance connue dès deux bases.

Ce dernier coefficient est extrêmement remarquable, comme fournissant la première source élémentaire d’une notion fondamentale commune à toute la thermologie mathématique , celle de ce que Fourier a nommé le flux de chaleur, c’està-dire la quantité de chaleur plus ou moins grande , qui, en un temps donné, traverse perpendicu-

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lairement une aire plane de grandeur déterminée (i). La différence des températures de deux tranches quelconques étant ici toujours proportionnelle à leur distance, le flux relatif à l’unité de temps et à l’unité de surface, a pour mesure naturelle, le rapport constant de ces deux nombres, qu’exprime le coefficient proposé multiplié par la perméabilité propre à la substance considérée. Ce cas est le seul où le flux puisse être immédiatement évalué, et c’est d’après lui qu’on l’estime en toute autre circonstance, quand l’état dn système varie, et que les températures ne sont pas uniformément réparties.

La même démonstration convient à l’analyse du second cas préparatoire , où l’on envisage l’égale distribution de la chaleur, non plus dans une seule direction, mais en tous sens. Il s’agit ilors de l’état final et permanent d’une masse solide comprise entre trois couples de plans pa-

(i) Contraints de penser à l’aiJc de langues jusqu’ici toujours formées sous l’influence exclusive ou prépondérante d’une philosophie théologique on métaphysique, nous ne saurions encore entièrement éviter, dans le style scientifique, l’emploi exagéré des métaphores. Ou ne doit donc pas reprocher Ji Kourier ce que les expressions precedentes contiennent, sans doute, de trop fignré. Mais il est aisé de sentir, malgré cette imperfection , qu’elles désignent seulement un simple fait thcrmologiquc général , entièrement indépendant de toute vaine hypothèse sur la nature de la chaleur, comme le savent très bien tous ceux qui ont quelque connaissance de cette théorie.