Soit, en effet
B la section du corps de pompe,
L la course du piston,
(1) la section du tuyau d'aspiration,
/ la longueur de ce tuyau,
H la pression atmosphérique évaluée en colonne d'eau,
X la hauteur de Teau dans le tuyau d'aspiration, après un certain nombre de coups de piston,
x' cette hauteur, après un nouveau coup de piston. L'eau étant à la hauteur x, le piston est au haut de sa course, et la soupape d'aspiration s'est fermée par son propre poids. On abaisse le piston, l'air du corps de pompe s'échappe, et le tuyau d'aspiration contient un volume d'air (/ — x)ui à la pression H — a?. On soulève le piston, la même masse d'air occupe le volume BL + (/ — x')(û sous la pression H — x', et la loi de Mariotte donne
(H — ar')[BL + (l — x')tù] -- (H — x){l — x)tù = 0, équation du second degré qui fait connaître x' connaissant x, et qui permet
ECOULEMENT DES LIQUIDES 509
de ce moment, les phénomènes vont changer de nature; en effet, le piston en s'abaissant comprimera Tair qui s'échappera au dehors, et Teau elle-même passera au-dessus du piston, de sorte que celui-ci étant au bas de sa course, aura au-dessus de lui la quantité d'eau qui a précêdement pénétré dans le corps de pompe. Si alors on soulève le piston, et qu'on suppose, ce qui doit toujours avoir lieu du reste, que la hauteur totale à laquelle il parvient soit à moins de 10 mètres au-dessus du niveau du puisard, Teau le suivra dans sa course, et remplira la capacité du corps de pompe. Quand le piston descendra ensuite, il fera passer au-dessus de lui cette quantité d'eau et la rejettera à Textérieur par le déversoir dans le mouvement ascensionnel suivant. Mais une nouvelle quantité d'eau ayant pénétré dans le corps de pompe, les choses se continueront de la même manière.
On voit donc que, à partir du moment où l'eau a pénétré dans le corps de pompe, où la pompe est, comme on dit, amorcée^ chaque fois qu'on soulève le piston, on rejette au dehors un volume de liquide égal au volume du corps de pompe.
Pour que l'eau puisse arriver jusqu'au corps de pompe, il faut que la soupape d'aspiration soit à moins de 10 mètres au-dessus du niveau de l'eau dans le puisard; s'il en était autrement, l'eau s'arrêterait en un certain point du tuyau sans que le mouvement du piston pût l'élever davantage. En outre, pour que la marche de la pompe soit celle que nous avons indiquée, il faut que le déversoir lui-même soit à moins de 10 mètres au-dessus du réservoir. On voit donc que la pompe aspirante ne permet pas d'élever l'eau à plus de 10 mètres de hauteur. La pratique a même indiqué que la hauteur du tuyau d'aspiration ne doit pas, pour plus de sûreté, dépasser 7 ou 8 mètres. En effet, il existe toujours des fuites inévitables d'eau et d'air entre le piston et le corps de pompe; l'air dissous par l'eau aérée du puisard se dégage dans le vide du tuyau d'aspiration; le corps de pompe enfin présente un espace nuisible.
ainsi de calculer de proche en proche les hauteurs auxquelles les coups de piston successifs élèvent l'eau. En substituant à a?', dans le premier membre, X, H et + 00, on trouve la succession de signes -f> — , -j-. H y a donc une racine comprise entre x et H, qui convient seule au problème, et une autre
supérieure à H.
Les hauteurs successives de l'eau dans le tuyau d'aspiration, allant en augmentant, finiront par dépasser /; car, s'il en était autrement, elles auraient une limite X, qui satisferait à l'équation
(H — X)[BL + (/ - X)a>] — (H — X){l—X)u> = 0,
ou
et H est supérieur à l, par hypothèse.
Soit u le volume d'air & la pression atmosphérique H, contenu dans l'espace nuisible, quand le piston est au bas de sa course.
Cet air occupe le volume V du corps de pompe sous la pression ^ H, quand le piston est au haut de sa course; si donc cette pression est égale & celle de l'air du tuyau d'aspiration H — h, h désirant la hauteur & laquelle l'eau est parvenue, la pompe ne fonctionnera pas, le jeu alternatif du piston n'ayant d'autre effet que de faire
varier la pression de l'air du corps de pompe de H ii y H- C)ii ^ «îonc « = h(.-,"),
comme limite de la hauteur du tuyau d'aspiration.
571. P*wpe r*ni«nie. — La pompe foulante (fig. 430) se compose
d'un corps de pompe plongeant dans l'eau, et muni t sa partie inférieure d'une soupape s'ouvrant de bas en haut. Un tuyau latéral communique avec le corps de pompe et présente une soupape s'ouvrant de l'intérieur à. l'extérieur. Un piston plein se meut dans le corps de pompe, et il esl visible que, quand le piston s'élève, l'eau s'introduit dans le corps de pompe par la première soupape; que, quand il s'abaisse, l'eau est refoulée dans le tuyau d'ascension. Cette pompe diffère de la ," ,~ ' " pompe aspirante en ce qu'elle
'""; ; ~ ■—— permet, théoriquement du moins,
Fig. 430. d'élever l'eau âi une hauteur arbi-
traire.
572. Pompe à incendie. — La pompe k incendie ordinaire (flg. 431) est formée par la réunion de deux pompes foulantes, dont les tuyaux latéraux viennent déboucher dans un réservoir contenant de l'air. Dans l'eau du réservoir plonge un tube, à. l'extrémité duquel s'ajuste le tuyau en cuir qui forme le tuyau d'ascension de l'appareil. La pompe est installée dans un réservoir portatif où l'on maintient de l'eau, que l'on apporte directement dans des seaux, en faisant la chaîne sur le lieu de l'incendie. Les tiges des pistons sont articulées b. deux points d'un levier auquel on donne, h bras d'hommes, un mouvement alternatif; de cette façon, l'eau arrive sans cesse dans
KCOULESfENT DES LIQUIDES 511
le réservoir. De plus, Tair que celui-ci renferme restreint par sa force élastique les variations de vitesse du liquide, de sorte que le jet qui se produit à l'extrémité du tuyau d'ascension a une grande régalarité.
313. Pompe élévaiaire. — La pompe élévatoire ne diffère de la pompe foulante qu'en ce que le tuyau latéral est placé à la partie supérieure du corps de pompe au lieu de l'être à, la partie inférieure,
et que le piston, au lieu d'être plein, est semblable & celui de la pompe aspirante.
574. Pompe aspirante et élévatoire. — C'est une combinaison de la pompe aspirante et de la pompe élévaloire. La figure 432 représente la disposition généralement adoptée pour les pompes destinées aux usages domestiques.
373. Pompe aa^rante ei foulante. — C'est une combinaison de la pompe aspirante et de la pompe foulante (fig. 433). On l'emploie surtout quand on veut élever l'eau à. une hauteur considérable; les diverses parties de la machine doivent alors être ajustées avec une grande solidité pour résister à l'énorme pression produite par la colonne d'eau. Dans ces conditions, le piston à étoupes et k rondelles de cuir ne peut pas être employé ; on fait usage d'un piston entièrement métallique qu'on' appelle ;)ùfonj:)/on(;etn*.
La figure 434 représente une section des pompes de Marly, qui élèvent l'eau d'un seul jet à ICO mètres. Le corps de pompe n'est pas alésé ; mais il porte k sa partie supérieure une boîte b. étoupes dans laquelle glisse le piston métallique exactement calibré. C'est
Si2 TRANSVASEMENT DES FLUIDES
là qu'est véritablement la fermeture de l'appareil. Quaod le pistou s'élève, la capacité intérieure de la pompe s'aceroH beaucoup, et l'aspiration a lieu par le double clapet placé k la partie inférieure. Dans le mouvement inverse, le liquide soulève la soupape placée dans le conduit latéral et s'échappe dans le tuyau de refoulement.
F^g. 43£. Fig. 433.
Enfin, comme l'air qui se dégage de l'eau pourrait, en s'accumulant dans le corps de pompe, rendre à la longue le jeu de la macbiae impossible, on pratique dans le piston un canal par lequel on peut évacuer l'air. Dans l'état ordinaire, l'orifice de ce canal est fermé par un bouchon t vis.
576. Pompe ft d«nble effet. — La pompe a double effet se compose d'un corps de pompe VV (fig. 435) muni de quatre ouvertures A, A', B, B'. Les ouvertures A et B' sont en communication avec le tuyau d'aspiration C ; A' et B communiquent avec le tuyau de refoulement C Aux quatre ouvertures sont appliquées quatre soupapes qui
s'ouvrent toutes dans le même sens, d'où il suit que A et B' fonctionnent comme soupapes d'aspiration et A' et B comme soupapes de refoulement. Par conséquent, quel que soit le sens du mouvement du piston, il y a & la fois aspiration et refoulement du liquide. Les pompes b. double effet, très commodes pour les usages domes-
rig. «4. Fis. *^-
tiques, parce qu'elles peuvent occuper très peu de place, sont peu usitées dans l'industrie, où l'on préfère accoupler deux pompes dont les pistons sont liés t un balancier de manière & marcher en sens contraire. Leur complication rend, en effet, l'entretien du piston et des soupapes plus difficile que dans les pompes ordinaires.
577. Travail dans an« pitinpe. — Supposons la pompe en pleine activité, et considérons une période telle qu'au commencement et à la fin de cette période, la position du piston soit'la même. La demi-variation de la somme des forces vives des divers points du système matériel sera nulle pendant cette période, puisque
5i4 TRANSVASEMENT DES FLUIDES
Fétat initial et Tétat fînal sont identiques; donc la somme des travaux de toutes les forces appliquées à ces différents points sera nulle pendant le même temps. Pai" conséquent, s*il n'y avait pas de résistances passives, tels que les frottements, les chocs, les mouvements vibratoires des pièces, le travail moteur serait précisément égal au travail résistant, c'est-à-dire au travail nécessaire pour élever directement du niveau du réservoir à celui de Torifice d'écoulement la masse liquide écoulée. C'est ce que nous allons établir directement pour la pompe aspirante et foulante et pour la pompe aspirante et élévatoire, qui comprennent toutes les autres comme cas particuliers.
Soit :
B ]a surface supérieure du piston,
B' sa surface inférieure dans le cas de la pompe aspirante et élévatoire (fig. 432),
e son épaisseur, dans le miême cas,
d la différence de niveau entre le réservoir et l'orifice du tuyau d'écoulement,
z la différence de niveau entre cet orifice et la face inférieure du piston à un instant donné,
dz le déplacement infiniment petit du piston,
H la pression atmosphérique évaluée en colonne d'eau,
8 le poids de l'unité de volume de ce liquide.
i^ Péi'iode ascendante. — La face supérieure du piston supporte, à l'instant considéré , suivant que la pompe aspirante est foulante (fig. 433) ou élévatoire (fig. 432), une action égale à
BHÔ ou à B{H + z — e)S,
et la face inférieure une action égale à
B(H — d + z) 8 ou à B'(H — cf -f 5)$ + (B — B')(H — rf + z — c)ô
La différence de ces actions, ou l'effort à faire pour soulever le pistop, est
B(d — z) « ou B(d — c)ô -h (B — B>« = (Btf — B'e)e,
et le travail correspondant au déplacement dz a pour valeur absolue
— B (d — z) Ô. dz ou — (Bd — B'é) 5. dz.
e déplacement du piston a pour effet : dans la pompe aspirante et foulante, d'élever un poids de liquide égal à — BZ.dz dû niveau du réservoir * à celui de la face inférieure du piston, c'est-à-dire d'une
\, Voir le raisonnement employé, n® 555.
ECOULEMENT DES LIQUIDES 515
hauteur </ — z, ce qui correspond à un travail égal au travail moteur; dans la pompe aspirante et élévatoire, d'élever un poids de liquide égal à — BS.rfz du niveau de la face supérieure du piston à celui de rorifice d'écoulement, c'est-à-dire d'une hauteur z — e, un poids de liquide égal à — B$,ds du niveau du réservoir à celui de la face inférieure du piston, c'est-à-dire d'une hauteur d — s, et un poids de liquide égal à (B — B')«8 d'une hauteur — rfz, ce qui correspond à un travail total
~ Bfi.dz{z — c) — Ba.dz(rf — z) — (B — B') el.dz = — (Bd — B'c) h.dz
égal au travail moteur.
2® Période descendante, — La face supérieure du piston supporte, à l'instant considéré, suivant que la pompe aspirante est foulante (fig. 433) ou élévatoire (fig. 432), une action égale à
BH8 ou à B'(H + z — é)h,
et la face inférieure une action égale à
B(H + z)l ou à B'(H -f z)6.
La différence de ces actions, ou l'effort à faire pour soulever le piston, est
Bz5 ou B'ee,
et le travail correspondant au déplacement dz a pour valeur absolue
BzS.ofz ou B'eô.rfz.
Ce déplacement du piston a pour efifet : dans la pompe aspirante et foulante, d'élever un poids de liquide égal à BS.rfz du niveau de la face inférieure du piston à celui de l'orifice d'écoulement, c'est-àdire d'une hauteur z, ce qui correspond à un travail égal au travail moteur; dans la pompe aspirante et élévatoire, d'élever un poids de liquide égal à B5.rf2 d'une hauteur e, et d'abaisser un poids de liquide
égal à (B — B')e$ d'une hauteur rf?, ce qui correspond à un travail total
BSc.rfz — (B — B')e8.dz = WehM
égal au travail moteur.
