X. — ABERRATION DE SPHERICITE DES LENTILLES
143. Abcrratloii d*ane lentille. — Supposons qu'on recouvre une grosse lentille convergente d'un écran percé de deux trous voisins du bord et diamétralement opposés, et de deux autres voisins de Taxe, puis qu'on fasse tomber sur cet appareil un faisceau de rayons solaires. On constatera facilement que les deux pinceaux de rayons marginaux iront, après leur réfraction, se couper plus près de la lentille que les deux pinceaux de rayons centraux.
Soit Pj (fig. 122) un point lumineux placé à une distance suffîsam-
Fig. 1-22.
ment grande d'une lentille convergente 0 pour donner une image réelle. Considérons les rayons qui se propagent dans un même plan d'incidence; les rayons centraux vont couper Taxe au point Pj, foyer conjugué de Pj, les rayons marginaux au point S, plus près de la lentille. L'enveloppe des rayons est une courbe ayant en P^ un point de rebroussement et cette courbe est la méridienne d'une première nappe de la caustique par réfraction. Groupons maintenant les rayons par cônes ayant pour axe commun l'axe de la lentille ; chaque cône réfracté a son sommet entre lé point P, et le point S ; le segment de droite P2S représente une seconde nappe de la caustique.
Si nous considérons seulement un pinceau très étroit d'axe P^ITS, on peut dire, comme dans le cas des miroirs sphériques(71), que les rayons réfractés s'appuient sur deux petits segments de droite, l'un situé en S le long de l'axe principal de la lentille, l'autre situé en T et perpendiculaire au plan d'incidence moyen. Vues en perspective d'un point quelconque M du pinceau réfracté, ces deux droites paraîtront rectangulaires.
Si le point P, n'est pas sur Taxe principal, les deux nappes de sa caustique prennent des formes plus compliquées, mais si Ton se borne à un pinceau étroit, on démontre que le pinceau réfi*acté s'appuie toujours, quelle que soit la forme et le nombre des surfaces réfringentes, sur deux segments de droite situés respectivement dans deux plans passant par le rayon moyen et rectangulaires entre eux. Pour le vérifier expérimentalement, on place une source lumineuse de faible dimension vis-à-vis d'une lentille convergente recouverte d'un diaphragme qui ne laisse passer qu'un faisceau de rayons étroit, et de telle sorte que ce faisceau fasse des angles assez grands avec les normales aux surfaces. En déplaçant un écran derrière la lentille, on trouve deux positions pour lesquelles la trace du faisceau réfracté prend la forme d'une pefite tache allongée presque linéaire ; la position plus rapprochée de la lentille montre une tache allongée perpendiculairement au plan qui contient l'axe de la lentille et le rayon moyen du pinceau, la plus éloignée une tache allongée perpendiculairement à la première.
Ces phénomènes donnent lieu à des considérations analogues à celles que nous avons développées pour les miroirs sphériques (71). Nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, à étudier l'aberration d'une lentille mince pour un faisceau incident parallèle à l'axe.
144. Foyer par réfraction dans une surface sphérique ^. — Soit P^I
(fig. 123) un rayon lumineux émanant d'un point lumineux P^ et ren-
Fig. 123.
contrant en I une surface sphérique de centre C séparant deux milieux d'indices n^ et n^\ soit Pg le point où la direction du rayon réfracté rencontre la ligne P^C. Appelons :
pj et Pj les segments SP, et SPj,
y la perpendiculaire IT abaissée du point 1 sur PjC,
1. Le calcul de l'aberration des lentilles a été perfectionné surtout par J.-F.-W. Herschell {Sur les aberrations des lentilles composées et sur les objectifs. Transactions philosophiques, vol. CXI, 1821). C'est à lui, en particulier, qu'est dû le changement de variables dont nous faisons usage plus loin.
i^ et îg les angles du rayon avec la normale dans chacun des milieux,
r le rayon de la surface sphérique.
Les deux triangles CIPi et CIP^ donnent respectivement
CPj sin ti CP, __ sin i,
TP7 sin G ^ IP, — sin C
d'où Ton tire, en éliminant C entre ces deux égalités,
Pi— r __ n[ IPa Pi—r Hi IP,*
Dans le triangle ITP,, on a
et I?! est représenté par une expression semblable.
La distance p^ est donc une fonction de y' qu'on peut imaginer développée suivant les puissances croissantes de cette variable. Nous avons exposé jusqu'à présent la théorie des lentilles en supposant, par une première approximation, IP, égal à sa valeur principale Pj — r, c'est-à-dire en négligeant y*. Nous nous bornerons ici à une seconde approximation en ne gardant, dans le développement de /?„ que les termes en if.
Or, remarquant que le développement de »/ i H- e est de la forme
i -+- 5 H- ..., nous réduirons d'abord IP, aux deux premiers termes ' de ce développement, ce qui donne
En faisant de même pour IPj, et remplaçant les longueurs de ces deux lignes par leurs valeurs approchées, on a
Pi — r Ux ^^ \r pj 2
Posons
il vient
^.tiJii = k 1 - q^ {^ - ^2) g»
« — 9i . 1 — ^1 (* — 71) z^ d'où, en ne gardant que les termes en z*,
i22 OPTIQUE
Enfin, dans le terme en z*, remplaçons q^ par sa valeur principale
s—k {s — gi), il vient
(1) g,^ = 5 (1 - A) + *7, - A (1 - k) {s - «7i)» [çi (l + *) - ski, zK
145. Foyer principal d'une leniiiie. — Supposons que le rayon PJ rencontre une seconde surface sphérique ayant son centre sur la ligne es et assez voisine de la première pour qu'on puisse négliger leur distance. Si s' et k' désignent, pour cette seconde surface, les quantités analogues de s et de k^ q^ Tinverse de la distance du point de rencontre du rayon réfracté avec CS, on aura
(2) ^3 = 5' (1 - AO -f k!qt - A' (1 - k) {^ - 9î)2 [q^ (l + k') - s'k^l z\
et les deux équations (1) et (2) permettront de calculer q^ en fonction de ^j.
Proposons-nous, en particulier, d'étudier le foyer principal d'une lentille d'indice n, placée dans les conditions ordinaires. La quantité 7j est nulle, et l'équation (i) donne
9j =• « (1 - k) (1 + k^sH^),
Appelons <p la valeur particulière que prend alors pa, et remarquons que l'on a
l'équation (2) devient
Remplaçons, dans cette équation, y^par sa valeur, en nous bornant, dans le coefficient de z*, à la valeur principale s(l — k)\ on trouve
i = ^(l-A)(5-5') + i(l A)(5-5')[y2 4.(Aï + 2^-2)^^4.(243-2^+1) ^8] 32.
En appelant / la seconde distance focale principale pour les rayons centraux, c'est-à-dire le segûient qui était désigné par f^ dans la théorie générale des lentilles, et A le polynôme écrit entre crochets, on met l'expression précédente sous la forme
OU bien, en ne gardant toujours que les termes de l'ordre de z^,
9 = Al - j-, -^A).
146. Lentille d'aberration minlma. — L'aberration correspondant à une valeur déterminée de z est
La lentille aurait une aberration nulle, aux termes de Vordre de z^près^ si Ton pouvait satisfaire à Téquation
A = 0 ou ^2 4- (A2 + 2A — 2)S8' + (2» — 2k + 1>2 = 0,
dana laquelle le rapport - = -7 est Tinconnue. Or, la condition de
réalité des racines se réduit à
A:>4 ou n<2 ;
aucune substance n'ayant, par rapport à l'air, un indice inférieur à l'unité, il n'est pas possible d'annuler la fonction A.
Mais il sera toujours avantageux de donner à 5 et à s' des valeurs telles que cette fonction ait la plus petite valeur possible ; ces valeurs devront annuler la dérivée de A et satisfaire, par conséquent, à Téquation
2^05' + (48 + 2A — 2j (5D5' + 5'Ds) -f 2(2A3 — 2A + i)s\Ss =r 0.
Supposons donnée la distance focale principale de la lentille, c'està-dire f déterminé par la relation
on en tire, en prenant la dérivée,
Dff — D/= 0.
Éliminons Ds et D«' entre ces deux équations ; il vient
OU
Le dénominateur de cette expression est positif pour toute valeur
de n inférieure à
1,686 environ;
les indices des verres employés pour la confection des lentilles ne dépassant presque jamais cette valeur, on voit que r et r' seront presque toujours de signes contraires, c'est-à-dire que la lentille d'aberration minima sera biconvexe ou biconcave.
Considérons en particulier un verre d'indice ^î l'expression précédente donne
La face dont la courbure est la plus prononcée doit être tournée vers la source lumineuse, et l'aberration serait toute différente si Ton intervertissait les rayons de courbure r et r\ Avec ce même indice
^, les expressions de la distance focale principale, de la fonction A
et de Faberration deviennent
7=2 i?-?j' ^ = 27 \P5-f^ + f5J» a^-^z^kf.
r' Connaissant le rapport - , on peut, à l'aide de ces équations, exprimer r, r' et a en fonction de f; le tableau suivant donne le résultat du calcul pour quelques lentilles :
Lentille d'aberration minima r = 7^ /*, r' = — 4 /*, a = -— ^,
La même, retournée r ^ ^ f, 1^ = — tô A ^ = ^ -T'
10 z2 Lentille à rayons égaux ^* = /> '"' = — A ^ =^ t Tf
Lentille plan-courbe r =^ {-, r' =3©, a = - -j-,
La même, retournée ?» :=oo , j-' = — ^, a = 9 -^.
On voit que la lentille plan-courbe a une aberration presque aussi faible que la lentille d'aberration minima; comme elle est d'une construction plus facile, c'est elle que les opticiens emploient de préférence dans la construction des instruments d'optique.
147. Aberration d*an système de plusieurs lentilles. — Nous avons
VU (140) qu'une lentille de foyer déterminé pouvait être remplacée par un système de plusieurs lentilles telles que la somme des inverses des distances focales fût égale à Tin verse de la distance focale donnée. Au point de vue de l'aberration de sphéricité, il y a avantage à employer plusieurs lentilles au lieu d'une seule ; l'expérienqe et la théorie montrent en effet qu'on peut toujours déterminer les rayons de courbure de telle sorte que l'aberration d'un système de deux lentilles soit moindre que l'aberration d'une lentille unique de même diamètre et équivalente pour la distance focale.
148. Réflecteurs catadloptrlques de Man^in. — En appliquant la
méthode de calcul qui vient d'être exposée à une lentille de verre
argentée sur Tune de 3es faces, on trouve qu'on peut déterminer le rapport des deux rayons de courbure de façon que le terme en y* disparaisse dans le développement de Taberration du miroir sphérique équivalent (138) à la lentille argentée. Un pareil système fait alors concourir presque rigoureusement en un même point un faisceau incident de rayons parallèles ou transforme en un faisceau parallèle les rayons émanés d'un point lumineux placé au foyer.
Ces considérations ont été appliquées par Mangin à la construction de réflecteurs catadioptriques fort usités actuellement dans la télégraphie optique. Voici, comme exemple, les éléments d'un de ces réflecteurs, construit en crown-glass de Saint-Gobain d'indice 1,53 :
Diamètre
Epaisseur au centre
Rayon de la face argentée
Rayon de Tautre face
Distance focale
Ces réflecteurs donnent des faisceaux conservant, à de très grandes distances, un pouvoir éclairant sensible (voir n*** 125 et 303) ; ils ont permis, pendant les opérations de triangulation destinées à relier l'Espagne et l'Algérie, d'avoir des signaux visibles à l'œil nu à 300 kilomètres.
149. Surfaces apianétlques. — Nous appellerons surface aplanétique par réfraction une surface faisant passer rigoureusement par un même point Pg les rayons émanés d'un alitre point P^.
/. — Le point Pj est à une distance finie.
Cas de la réfraction. — 1° Les deux foyers sont de même nature, — D'après la loi de la réfraction (78), un rayon PJPj, allant du point Pj au point Pg, traverse une surface
réfringente AB en un point I tel ?., A ^. . -
que le temps employé par la lu- ^^^^^:^^^^^
mière à parcourir le chemin PJPj ..,.,-rrrT^!!^^!^/ ...7!!*^^ soit minimum; si, pour tous les ^i » Pa
points de la surface, ce temps est Pig 124
le même, tous les rayons réfractés
iront passer par le point P, et la surface sera aplanétique. En désignant par Vi et v^ les vitesses de la lumière dans les deux milieux, l'équation des surfaces aplanétiques sera donc
îfi + lEs = cte.
Elle^ représente des surfaces de révolution dont les méridiennes sont des ovales de Descartes. Cela convient au cas de deux foyers conjugués virtuels comme au cas de deux foyers réels, à cause de la réciprocité des rayons.
2^ Les deux foyers sont de natures différentes, — Supposons Pj virtuel et Pj réel. Le temps que la lumière mettrait à venir de son origine au point P^ (fig. 125) est le même sur tous les rayons. Si, sur tous ces rayons, nous considérons des longueurs égales P^M, P^M',... le temps mis pour arriver de Torigine primitive en M,M',... sera le même sur tous les rayons correspondants; par suite, le temps employé serait le même aussi pour parcourir les chemins tels que MlPg :
MP
Retranchons des deux membres - — ^ ; il vient
lEi 4- !£? =, cte.
Le cas où P, serait réel et Pj virtuel ne diffère pas de celui que nous venons de supposer, à cause de la réciprocité des rayons.
Fig. 125, Fig. 126.
Cas de la réflexion, — Les vitesses v^ et v^ sont égales. L'équation correspondant à deux foyers de même, nature devient
IPj + IP2 = cte
et représente une ellipse. L'équation qui convient à deux foyers de natures différentes devient
— IPi + IPj = Cte
et représente une hyperbole.
IL — Le point Pj est à Vinflni,
Cas de la réfraction, — Il n'y a pas lieu de faire une distinction suivant la nature des foyers, car l'origine d'un faisceau parallèle peut être regardée indifféremment comme réelle ou virtuelle, et le foyer, à cause de la réciprocité des rayons, peut être considéré comme réel ou virtuel suivant la position respective des milieux par rapport ài la surface réfringente. Supposons, par exemple, P^ réel. Soit P^M (fig. 126) un plan perpendiculaire au faisceau incident; appelons x la distance MI d'un point d'incidence à ce plan, et p la distance P^I. Depuis l'origine jusqu'au plan P^M, le trajet de la lumière aurait la même
durée sur tous les rayons; en employant le même raisonnement que plus haut, on trouve
— ~ + 2. = cte ou p = l^ x + Cte.
Si Wj > w^, l'équation représente une ellipse. Par exemple, un ellipsoïde de révolution convexe en verre fait converger rigoureusement à Tun de ses foyers un faisceau parallèle au grand axe, si l'excentricité de la méridienne est convenablement choisie; au contraire, une masse de verre creusée d'une cavité ellipsoïdale transforme un faisceau parallèle en un faisceau divergent.
Si rij < n^, Téquation représente une hyperbole. Une masse de verre limitée par une nappe d'hyperboloïde de révolution convexe transforme en un faisceau convergent rigoureusement aplanétique un faisceau parallèle se propageant d'abord dans le verre; si la surface est concave, elle donne un faisceau divergent.
Cas de la réflexion. — Si n^ = n^, l'équation représente une parabole. Une surface parabolique réfléchissante transforme en effet un faisceau incident parallèle à l'axe en un faisceau aplanétique convergent si le miroir est concave, divergent si le miroir est convexe.
150. Remarqae. .— Il serait facile, d'après ce qui précède, de combiner des lentilles de verre rigoureusement aplanétiqués pour un point situé sur l'axe à une distance finie ou infinie, en donnant aux faces la forme de surfaces du second degré convenablement choisies. Mais leur construction présenterait de grandes difficultés, et les lentilles usuelles sont toujours à courbure sphérique.
