COMPOSITION DES FORCES SITUÉES DANS UN MÊME PLAN

Si plusieurs forces appliquées n un corps solide sont situées dans un même plan, elles peuvent toujours être remplacées par une résultante ou par un couple résultant.

En effet, si deux forces ne sont pas parallèles, ou peut les transporter l'une et l'autre au point de rencontre de leurs directions et ensuite les remplacer par une force unique en les composant suivant la règle du parallélogramme. En opérant de même avec chaque résultante et une autre force qui ne lui est pas parallèle, ou arrivera soit à (*om[)Oser toutes les forces en une seule, soit à obtenir un certain nombre de forces ])arallèles entre elles. Dans ce dernier cas, on peut composer toutes les forces d'un certain sens en une seule force A et toutes les forces de Tautre sens en une seule force B. Alors, si ces deux forces

A et B sont inégales, elles sont remplaçablesparune seule force : les forces primitives admettent une résultante. Si, au contraire, les forces A et B sont égales, elles constituent un couple : les forces primitives peuvent être remplacées par un couple résultant.

30. MOMEHT D'UNE FORCE PAR RAPPORT A UN POINT. — On appelle moment dune force ka (flg. hQ)pnr rapport à un point 0, le produit F X OK de la valeur F de cette force par la distance OK du point 0, à la direction de la force. b

Le jioint 0 est appelé le X y y

centre des moments. j/^ /' ,^--'"" :**

Uuand la direction d'une ? ^'cV.lll.. jjc

force passe par le centre 0 ;

des moments, son moment |

est nul puisque le facteur 1

OK du produit F X OK est ^^^ ^

nul. Réciproquement , si le moment d'une force est

nul, ou celte force est nulle, ou sa direction passe par le centre des moments, puisqu'un produit FXOK ne peut être nul que si l'un des deux facteurs est nul.

Joignons le centre des moments 0 aux points A et â qui sont les extrémités de la droite représentative de la force F. L'aire

du triangle OAa est égale à-^Aa X OK =-^FXOK. Ou voit

que Taire de ce triangle est numériquement égale à la moitié du moment «le la force.

Lorsque plusieurs forces sont dans un même plan, et que le centre des moments 0 est un point du plan, on considère comme positifsles moments des forces qui tendent à faire tourner le corps autour du point 0 dans le sens des aiguilles d'une montre pour un observateur placé de l'un des côtés du plan (exemple \a lig. 50), et comme négatifs les moments des forces qui tendent a faire toui*ner le corps en sens inverse du mouvement

lies aiguilles d*une montre pour le même observateur (exemple BA fig. 50).

31. MOMENT D'UN COUPLE. — On appelle moment d*un couple le produit de la valeur F de Tune des forces du couple par la distance MN (lig. 51) des deux forces égales et parrallèles qui le

composent. Si le couple tend à faire tourner le corps dans le sens des aiguilles d'une montre pour un observateur placé de Tun des côtés de son plan, le moment est considéré comme posUif; s'il tend à le faire tourner en sens inverse pour le mémo ob- ^.'''' servateur, le moment est

,^''' considéré comme négatif,

•q La somme algébrique des

Fie. a!. moments des deux forces

du couple par rapport à un point ({uelconque de son plan est égale à la grandeur que nous venons d'appeler moment du couple.

Pour le voir, supposons d abord ipie Ton choisisse comme centre des moments un point, tel que 0, appartenant à la partie «lu plan qui n'est pas compr.se entre les directions des deux forces. Alors, si le moment de lune des forces est positif, le moment de l'autre est forcément négatif, .\baissons de O une perpendiculaire ON.M sur la direction connnune des deux forces; on a, d'après la figure, pour le moment de la force \a la valeur ~ F -(OM et pour le moment de la force Ub la valeur — F -ON. La somme de ce ces deux moments est donc :

F OM — F y ON = F . MN

Supposons maintenant que Ton choisisse comme centre des moments un point, tel que 0 , appartenant à la partie du plan

ronpi'ise enlre les (liroclions dus rleus forces. Alors le moment «iechaounc des forces n le même signe ; dans le cas de la figuru ils sont loua les deux positifs. En abaissant de 0' une perpendiculaire N'O'M' sur la direction des deux forces, on a pour le moment de la force \a In valeur + F X O'^I' et l'our le moment île l« force FJ/j la valenr -f- f"XO'N'. La somme île ces deux moments est donc :

Ainsi dans l'nn et l'outre cas, la somme des moments des fleux lorces a pour voleur le moment du couple.

Dans le ces de la â^^ure 51, le couple tend à Faire tourner le corps dans le sens des aiguilles d'une montre, et nous avons iroiivé une valeur positive pour In somme des moments ries rteiix forces. Nous aurions trouvé une valeur négative pour wile somme si le couple avait été disposé de façon à faire tourner le corpâ en sens inverse du mouvement des aiguilles ■l'une montre.

On voit donc qu'on valeur absolue et en signe le moment du couple représente bien la somme des moments des deux forces qui le composent pai* rapport à un point quelcoiniue de son plan.

On dit qu'un couple est nul quand son moment est nul ; en elïft, *>" les forces sont nulles ou leur dislance est nulle ; dans ro derotcr cas, les deux forces du couple étant directement opposées, ®* détruisent mutuellement ; dans les deux cas l'erfct du couple *"!• le corps est nul.

32- TBËORÉHE DES MOMENTS. — Deux sj^tèmes de forces si- Ittocs tliitis lin même /ilaii, qui pvoduiionl le même effet sur un ''°^f-s,sont ti-ls quti lu somme (1rs moments des forces par rop- Pori ,i a„ point quekoiiquo du pliin osl lu même pour les deux 'fsu-wes (•).

'') l'our dcmomrer ce llniorème tuisoDs romnrquer d'aboril que deu» forces

*lat«,

dirvclcment oppoaAca ont, par rapport i un pnint quelconque du momeots éguui 00 valeur absolue mais de signes c

En particulier, le moment de la résultante ou le moment d couple résultant de plusieurs forces situées dans un même phi

peut donc ajouter au système des forces, ou en retrancher, deux forces égilt et directement opposées sans changer la somme des moments de toutes V forces.

D'nutrc part, nous allons montrer que la somme des moments» p4 rapport à un point quelconque de leur plan, de deux forces ayant mên point d'application est égale au moment do leur résultante.

Pour faire celle démonstralion, distinguons doux cas. Supposons d'aboi le centre des moments 0 à Texlérieur de l'angle AMB formé par les deu forces ou de l'angle opposé A|MB, (Ûg. r>2) ; dans ce cas, les moments de c< forces étant do même signe, leur somme algébrique est la somme de leui valeurs absolues, affectée de leur signe commun. Soient Pa, P/», Pc les pn jections des deux forcosi MA et MB et de leur résultante MC sur lU perpendiculaire Pc à la droite OM; on a Pc = Pa -|- ac = Ps -j- PA, c«' P/;^=AC comme projections de lignes égales et parallèles MB et AC; d'oà

OM X Pc = OM X Pa + OM X P^'

Or les produits OM X P'», OM X ^^ cl OM X Pc représentent le double de aires des trois triangles OM A, OMBelOMC, c'est-à-dire représentent les moment des forces MA, MB, et MC ; le théorème est donc démontré dans ce cas.

Supposons, en second lieu, que le centre 0 soit à l'intérieur de Pangl AMB formé par les deux forces ou de l'angle opposé A«MB| (flg. ^3); daji

Fie. a3.

ce cas les moments de ces deu.x forces étant de signes contraires, leii somme algébrique est la différence des \aleurs absolues. Or oo a, en fsisac

psr rapport à un point quelconque de ce plan, est égal à la somme des moments des composantes par rapport à ce point.

Quand la somme des moments par rapport à un point 0 de forces situées dans un même plan est nulle, ces forces ne peuvent se réduire à un couple, puisque le moment d'un couple qui n'est pas nul n*est jamais nul. Les forces ont alors une résultante unique et, comme le moment de cette résultante est nul, la direction de celle-ci passe par le centre des moments 0.

Si Ton peut démontrer que la somme des moments des forces est nulle par rapport à trois points 0,0, 0" non en ligne droite, la résultante des forces, ne pouvant être dirigée à la fois vers ces trois points 0,0', 0", est nulle nécessairement : les forces se font équilibre. Il en est ainsi, en particulier, si la somme des moments des forces par rapport à un point quelconque du plan est nulle.

Réciproquement, si plusieurs forces situées dans un même plan se font équilibre, leur résultante étant nulle, la somme de leur moment par rapport à un point quelconque du plan est nulle.

33. PROPRIÉTÉ DES COUPLES, — On peut remplacer un couple dont les deux forces sont appliquées à un même corps solide,

la mUrae construction que dans le premier cas Pc = PA — />c = ?/) — P«; d'où:

OM X Pc = OM X I^^ — OM X P«

Le moment de la résultante est donc encore égal à la somme algébrique des momeuts des composantes.

Ces deux points étant clublis, faisons remarquer maintenant que tout pusage d'un système de forces à un aulre système de forces équivalent (déplicement d'une force suivant sa direction, composition de forces ayant nême point d'application ou parallèles entre elles, décomposition d'une force en plusieurs autres ayant même point d'application ou parallèles, etc.) M fait par une série d'opérations qui sont soit des additions ou des soustractions à» forces égales et directement opposées, soit des compositions de deux forces ifant même point d'application ou des décompositions d'une force en deux •Qlres ayant même point d'application. Dans chacune de ces opérations partielles la somme des moments des forces ne variant pas, il en est de même pour l'ensemble des opérations et, par conséquent, la somme des mo- Beats, par rapport à un point quelconque du plan, des forces formant Tun <Lit System 8 est égile à la somme des moments des forces formant Taulre ifitème éioiTjlent.

pur un autre couple situé soit dans le même plan soit dans un plan parallèle et ayant même moment que le premier, sans que Peffet sur le corps soit changé.

Cette propriété de pouvoir remplacer un couple L par un autre couple M sous les conditions que nous venons d'indiquer est d'une application très fréquente (').

(1) Démontrons d'abord celte proposition dans le cas où les couples L et M sont dans le mémo plan. Imaginons pour cela que dans ce plan se Iroave un troisième couple N d'un moment égal et de signe contraire à celui des couples L el M. L'ensemble de ces trois couples produit le même effet que le couple L seul, car la somme des moments par rapport à un point quelconque du plan des quatre forces qui composent les couples M et N étant nulle, ces quatre forces se font équilibre. Pour la même raison l'cffei des trois couples L, MetN est le même que l'effet du couple M seul, por conséquent, l'effet du couple L est le même que l'erfel du couple M. Pour démontrer le proposition, dans le cas où les couples L et M sont

dans des plans parallèles P et Q, pre- 7^ nons comme couple L dans le plao P

un couple dont les forces A« et Bb de

valeur F soient perpendiculaires à It

^ , droite AD qui joint leur point d appli-

-à cation (flg. 54) ; ce couple est uqui^'alenl

à tout autre pris dans le même plia P

J et ayant même moment (FXAU).

^ Menons maintenant dans le plan Q

y une droite CD égale et parallèle à AB

Z et appliquons en C el en D des forces

O et De/ égales et parallèles à Aj et ^*^* ^*' hb de façon à constituer un second

couple N ayant un moment égal à celui de L, on valeur absolue, mai.s de signe contraire

Il est aisé de voir que les couples L et N se font équilibre. En effcl, composons ensemble les deux forces A/i et Dd qui sont égales, parallèles et de même sens; leur résultante Or,, égale à 2F, est appliquée au milieu 0 de lo droite AD, centre du parallélogramme ABCD. De même la résultante dos forces Ce et Bb est une force Or, égale à 2F el appli«;uéo au centre 0 du parallélogramme. Or, cos doux résultinles Or, et Or,, étant égales et diaméira'enumt opposées, se font équilibre.

Plaçons maintenant dans le plan Q un troisième couple M ayant même moment en grandeur et ^n signe que le couple L. L'ensemble des trois couples L,M,N produit le même effut que le couplo M seul, puisque les couples L et N se font équilibre. D'autre part, l'ensemble de ces trois couples produit le même effet que le couple L seul, puisque les couples

Elle permet, par exemple, de placer où l'on veut le pomt d'applicalion 0 de Tune des composantes du couple M, et de prendre pour ces composantes telle valeur F qu'on désire ; puisqu'on plaçant la seconde composante de façon que le plan qui passe par sa direction et par le point 0 soit parallèle au plan du couple L et en prenant les dislances l des deux composantes telles que le produit FI soit égal au moment du couple L, le couple M ainsi formé lui est équivalent.

34. REPRÉSENTATION ET COMPOSITION DES COUPLES . — Un couple n'est caractérisé quo par la direction de son plan, par la valeur (le son moment et par son signe, puisque tous les couples pour lesquels ces trois qualités sont les mêmes produisent le même effet.

Il e-t commode de représenter graphiquement ces trois qualités; voici la convention qui a été adoptée.

Prenons un axe perpenliculairc au plan du couple et portons sur cet axe une longueur Pp ifi;. 55) qui contienne autant de fois une unité de longueur déterminée qu'il y a d'unités dans la valeur du moment du couple. Celte droite Pp nous fait connaître la direction du plan du couple et son moment

en valeur absolue. Pour représenter le signe du moment du couple, on convient de terminer la droite Pp par une flùclie dirigée ver» un obser\'ateur pour lequel le couple tend à faire tourner le corps autour de Taxe dans le sens des aiguilles d'une

Net N s^ font aussi équilibre. Il en résulte que lo couple L produit sur le corps le m£me effet que le couple M do même moment et placé dans un plan pmll'^le.

montre. Il résulte de là que, si le moment du couple change de signe, pour que le mouvement qu*il tend à produire maintenant sur le corps paraisse le faire tourner encore dans le sens des aiguilles d'une montre, il faut que Tobservateur regarde de l'autre côté du plan du couple. On voit ainsi que la flèche est dirigée dans un sens ou dans Tautre suivant que le moment du couple est positif ou négatif (sur la figure 55, Pp représente le couple L et O7 représente le couple N).

Le point F ou Q d'où part la droite représentative du couple est absolument arbitraire; aussi, quand plusieurs couples agissent sur un même corps solide peut-on prendre un même point de départ pour toutes les droites représentatives des couples.

Cette représentation graphique est très commode pour formuler la loi de la composition des couples :

Un nombre quelconque de couples peuvent toujours être remplacés pai^ un seul couple {couple résultant) produisant sur le corps solide le mrme eiïet que T ensemble des coaphs qui lui sont appliqués. Dans le cas de deux couples^ on obtient le couple résultant en composant ceux-ci suivant la régie du parallélogramme. C'est-à-dire qu'on construit un parallélogramme ayant pour côtés adjacents les droites représentatives des deux cou[)les et la diagonale de c j parallélogramme représente le couple résultant.

Cette dernière règle étant démontrée (*), on en conclut immè-

(i) Soient Oa et 0/> les lignes représentatives des deux couples à composer (tig. IA\). Prenons, dans le plan aOb, une force OA ayant une direction perpendiculaire a Oa et numériquement égale à Oa) joignons à cette force une autre force O'A' égale, parallèle, de sens contraire, et appliquée en un point O' d*unc droite OX perpendiculaire au plan aOh^ la distance 00' étant prise égale à l'unité : Tensemble des deux forces OA et O'A' est précisément un des couples représenté;^ par Oa, puisque son plan AOO'A' est perpendiculaire à 0«, et que 00' étant égal à l'unité, on a :

OA X 00' = OA = Oa.

Or, ce couple OAO'A' produit sur le corps le même effet qu'un autro couple quelconque représenté par 0^.

Si, de même, nous prenons dans le plan aOb une force OD perpendiculaire

à'atement, comme on Ta fait pour les forces ou les vitesses, qu'on obtient la résultante d*un nombre quelconque de couples en construisant une ligne polygonale dont les côtés sont les droites représentatives des couples à composer; la droite qui joint les deux extrémités de la ligne polygonale représente un couple qui à lui seul produit le même effet que l'ensemble des couples composant : c'est le couple résultant.

î O^ct numériquement égale à 02), et si nous menons par 0' une force O'B' ^ale, parallèle et de sens contraire, ces deux forces forment un des couples représentés par 06, et ce couple produit sur le corps k même effet qu'un autre couple quelconque représenté pir Ob. Or, les forces OA et OB, d'une part, et les forces OA' cl O'B', dune eolre, peuvent être remplacées par leurs résultantes 0(> et OC; celles -cl sont les <liifoDales des parallélogramm AOBC, A'O'B'C. qui eoot égaux entre eux comme tiaat deux cdtés respective- Beat égaux, parallèles et de leas Inverses; par conséqiMQt, les diagonales OC et (yCf sont égales, paraUèles et de sens opposés. On volt éoBc que les deux couples OA O'A' , OB O'B' peuvent Ctre remplacés par un seul couple OC O'C.

8i, maintenant, nous construisons le parallélogramme Obca qui a pour c4(és les lignes Oa et Ob représentatives des couples composants, ce parallélofrtfflme est égal à OBCA comme ayant ses côtés adjacents respectivement Apni et perpendiculaires à ceux de OBCA. Il en résulte que la diagonale Oe de ce parallélogramme est égale à OC et Ini est perpendiculaire. Comme 00 a alors :

OCXOO' = 0C = 0c

FlO. 56.

et comme la direction de Oc est perpendiculaire au plan du couple OC O'C, cette diagonale Oc du parallélogramme Obcû représente bien le couple résultiot OC O'C.

35. COMPOSITION DE FORCES QUELCONQUES. — Quand deslorces quelconques sont appliquées à un même corps solide^ elles peuvent être remplacées par F ensemble dune force (résultante) et dun couple [couple résultant). En outre, on peut se fixer a priori le point d'application de la résultante. La valeur et ia direction de cette résultante ne dépendent pas du choix fait pour son point d'application; mais le moment du couple résultant en dépend généralement (*).

La résultante tend à entraîner le corps dans sa direction, le couple résultant à le faire tourner sur lui-même.

Il peut se faire, du reste, que, dans certains cas, en choisissant convenablement le point d'application de la résultante, 1c=î couple résultant soit nul. C'est ainsi que toutes les pression exercées par un liquide sur la surface d'un solide baigné par lu

(1) Voici la démonstration de ce Ihcorème.

Soit (i\ç;. 57) 0 le point du corps quo nous choisissons comme point d'ap —

pHcation de la résultant Ajoutons au système de forces deux forces Oa^ et ayant 0 pour point d*appl cation, de sens opposés, toutes les deux égales parallèles à une des appliquées au corps Aa.

deux forces Oa^ et Oa^ se d truisant mutucllemftnt, refî( des forces n*est pas changé Or, la force ka et la fore égale, parallèle et de sen

contraire AA| constituent u Pic. 57. couple. On peut ainsi rem-

placer chacune des forces telles que Aa par un couple et une fo:*ce égale, parallèle et do même sens appliquée au point G (Oa, dans le cas lie Aa). Toutes les forces, telles quo Oa, ayant même point d'application « peuvent être remplacées par leur rcsultanlo et, d'autre part, tous les cou;/.cs peuvent être remplacés par un couple résultant. Ainsi se trouve dômoniro le llicorcme.

On voit que, quel que soit le point 0 choisi pour point d'application de la résultante, la valeur el la direction do celle-ci restent les mêmes. Au contraire, le couple résultant change en général quand le point d'application de U résultante varie.

peuvent être remplacée» par une seule force (la poussée): ici lu couple r(''suUant peut être nul, en choisissant convenablement le point d'application 0 de la résultante: les pressions ne peuvent pas faire tourner le corps autour d'un axe passant par ce point 0.

Par contre il peut se faire, dans certains cas, que la résiiltanlo soit nulle, toutes les forces se réduisant à un couple. C'est ainsi que les forces magnétiijues exercées par le Globe terrestre sur tous les points d'un aimant, se réduisant à un conple seulement, l'aimant n'est entraîné dans aucune direction; il t»'nd seulement à s^orienter sous raclioii du couple, jusqu'à ce que ses deux composantes, qui, dans ce cas, ne changent ni de gran deur ni de direction pendant la rotation de Taimant, se soient disposées suivant la même ligne droite : toutes les forces magnétiques se font alors équilibre.

On peut prendre pour point d'application de l'une des deux forces qui composent le couple résultant le point d'application même de la résultante : du reste, tout en conservant au plan de ce conple la même direction et au moment du coiqjle la même valeur, on peut prendre pour ses composantes des forces ayant une valeur F choisie ù priori; il suffit, en effet, de donner y la distance/ des deux composantes du couple une valeur telle que le produit FI soit égal au moment du couple résultant. Si nous composons maintenant en une seule force la résultante et la force du couple qui est appliquée au même point, o:i ▼oit ([ue :

Toutes les forces appliquées ii an mémo corps solide peuvent ^Ire remplacées par deux forces seulement (résultantes) , le poiût d'application de F une des résultantes et la valeur de l'autre pouvant être assignés a priori, la valeur de la première résultante et le plan qui contient le point d'application de celle-ci et la seconde résultante étant aloi-s déterminés par le nombre , la grandeur et la disposilion des forces à composer.

31. THtoRÉME DES PROJECTIONS SUR UN AXE. — La projection wr aa axe quelconque de la résultante de deux ou do plu^ ^iears forces ajvnl même point d'application est égale à la

somme algébrique des projections des composantes sar le même axe.

De ce théorème très facile à démontrer (*), il résulte, en particulier, que la force tangentielle (mv'j) est égale à la somme des

projections sur la tangente à la trajectoire du point matériel des forces réelles qui agissent sur lui, et que la force centripète

est égale à la somme des projections de ces forces réelles

sur la uormale principale. Ces relations sont souvent appliquées.

Un théorème beaucoup plus général résulte du précédent : La projection sur un axe quelconque de la résultante de toutes les forces appliquées à un corps solide est égale à la somme algébrique des projections des composantes.

En particulier, si plusieurs forces agissant sur un corps solide se font équilibre^ la somme algébrique de leur projection sur un axe quelconque est nulle.

(1) Ce théorème est presque évident, si Ton se reporte à la manière dont on obtient la résultante de plusieurs forces appliquées en un môme point. On forme une ligne polygonale OABCDE (ûg. 58) dont les différents côtés

sont respectivement égaux et parallèles aux forces à composer et, par conséquent, ont même projection sur un axe quelconque; la droits OB qui ferms

our !o voir, faisons remarquer d'abord que les deux compoi:itesd*un couple ayant toujoui*s des projections égales et de ^-nes contraires sur un même axe, la projection d*un couple est to TA jours nulle : il n'y a pas lieu de s'en occuper.

Faisons remarquer ensuite que, pour passer du système des ooinposanles au système formé de la résultante et du couple résultant, nous avons fait une série d'opérations qui rentrent dans l'une des trois catégories suivantes : 1** addition de deux forces ^g:aies et directement opposées; 2° composition de plusieurs Toroes ayant même point d'application en une seule; 8® composition de couples. Or, dans chacune de ces opérations partielles, l«à somme algébrique des projections de toutes les forces sur un n:^ème axe n» variant pas, il en est de même pour l'ensemble des ojjérations.