I.IVUE V. - ClIAPITnE V

moitié, e&l d'une iriLensilé plus faible ('i. Ainsi, en anulysafll la lumière solaire pnr le prismo, on voit de nombreuses raiea de ce genre, donl les posilions relatives sont parrailemenl lixea (planclie i n" 2). Nous ferons plus loin l'élude des raies da sppclre solaire (*).

La longueur du speclre du rouge au violet dépend de pi*fiieurs causes. Evidemment celte longueur est d'autant iiloagrande i[U6 l'i^cran est plus loin Jn prisme. Klle ilcpend aussi du pouvoir dispcrsir de la substance qui forine le prisme et de 11 valeur de son angle. Enfin elle dépend de l'incidence des rayoi sur la face dVnlrée du prisme. Quand l'incidence est presque rasante, le specli-e est court; en l'aisanl tourner le prisme autour de son arête, afin de rendre l'incidence moins oblii{uc et de s'approcher du minimum de déviation, on voit le spectre s'ï^-lalef davantage. 11 continue à s'étaler, si l'on dépasse la position da minimum de déviation, et devient très long au moment où, la réflexion tolale se produisant sur la seconde face du prisi spectre s'évanouit. Nous ferons remarquer, à ce jiropos, que le violet ayant l'indice de réfraction le plus grand est la première couleur qui disparait du spectre en subissant la réflexion totale; le rouge est la dernière.

10. SPECTRE VIRTITEL. — Sî l'on regarde a travers un prisme P (lig. d7) une fente lumineuse F parallèle à l'arête, on voit) ^i le prisme est au ininimuui de déviation, une image virtuelle nello

(1) Le plus souvent, quiind la fenle est étroite od voit le speclre sillooM 1 de raies noires pei'psndiculaii'es à l'an'le du prisme ol suppriumnl >i parcours toutes Ica couleurs du speclre du rouge au violet. Ces raie* pr» vicuueiil gimplcmenl de quelques poussières ou do quelques bavura V boucbenl la Cenle en certains points ; ce seul les inuigee de c obscurs dans toutes les couleurs du speclre.

\i) Quand on emploie pour éclairer la Tente les rayooa directs du Soleil renvoyas pur un miroir plan {porte-Iumivrc], il se lorme dans le plia i de la leulille une image du Soleil. Tous les rafona qui oal traversé la fn et la lentille passent à travers cette ti-ês pciite image. Or, c'est là qu'il ec Tient de mettre le prisme (tlg. OG), parce qu'ainsi on n'en utilise politc portion, et que les détsuis qui peuvent eniater sur les bords du pi ne produisent pas d'clTeta fSclieui.

de cette fenle dans cliacune des couleurs simples qui composent la lumière écleiraut la fente; on a donc un spectre virtuel de cette lumière.

Faisons remarquer que le violet étant plus dévié que le rou^, on voit dans le specirevirtuel le violet du coté de i'aréle et le rouge du côté de la base.

11, IRISATION DES IMAGES TUES ATRA- TBR8 CK FRISHE OD DHE LEMTILLE. ""' "''

— Un objet qu'on

regarde à travers un prisme ou une lentille paraît le plus souvent bonlé de couleurs bleues ou jaunes , qui sont dues au phénoniéae de la dispersion qui accompagne la réfraction.

Considérons, par exemple, le cas d'un prisme et supposons qu'on regarde à travers lo prisme un objet blanc sur fond noir. Le prisme donnera naissance à une image virtuelle de cet objet daos chacune des couleurs simples qui composent la lumière blanche. Ces images n'auront pas la même position : l'image violette sera la plus près de l'aiête du prisme, l'image rouge la plus éloignée. S'il existe une partie commune à l'image rouge et à l'image violette, cette partie sera commune aussi à toutes les autres couldui's du spectre, et l'œil verra du blanc en cet endroit; mais, plus près de l'arête du prisme, le rouge et les couleurs les moins réfrangibles manquant, l'œil verra une bande colorée passant du bleu au violet à mesure qu'on s'écartera de la partie blanche; inversement du côté de la base du prisme, le violet et les couleurs les )>lus réfrangibles manquant, l'œil verra une bande colorée dont la teinte variera du jaune au rouge à mesure qu'on s'éloignera de la partie blanche.

La dislance focale d'une Icnlille infiniment mince étant donnée

410 LIVRK V. — CHAPITRE V

par la formule 7 = (^ ^ ^) ( ô? — Tt) (Chap. III g 21), on voit

(]uc pour chaque couleur il y a une distance focale spéciale, puisque l'indice de réfraction n dépend de la couleur. Par

conséquent, en vertu des formules fondamentales — \ — - = -

et — = —, on voit (jue la distance ff à laquelle se forme l'image

nette d'un objet et la grandeur de cette image dépendent de la (!Ouleur. Si l'objet est blanc, il y a une série d*images dans chaque couleur, inégalement distantes de la lentille et, par conséquent, de grandeurs différentes : l'image d'un objet blanc sera donc bordée d'une bande colorée.

Ces irisations sont un défaut pour la netteté des images (uberration de réfrangibilité). Nous allons voir qu'en combinant convenablement deux prismes, ou deux lentilles, fonnés de verres inégalement dispersifs, on parvient à obtenir la réfraction de la lumière sans irisation appréciable dos images. On désigne de pareils systèmes sous le nom de prismes ou XeniWWs achromatiques.

Newton ne croyait pas à la possibilité de l'achromatisme. Les idées de Newton ayant paru inexactes à Euler (*), d'après ce fait que l'œil est achromatique, ce savant mathématicien démontra théoriquement la possibilité de Tachromatisme et donna des règles pour le réaliser, vers 1758. Mais c'est l'opticien anglais Dollond {^) qui, en voulant réfuter les idées d'Euler par l'expérience, se convainquit de leur justesse et réalisa les premiers j)rismes et les premières lentilles achromatiques.

Nous conimcncorons i)ar étudier rachromalisme des prismes.

12. ACHROMATISME DES PRISMES. — L'achromatisme parfait est irréalisable ; mais on peut obtenir, en combinant deux prisme> formés de substances n'ayant pas le mémo pouvoir dispersif, une même déviation pour doux rayons de couleurs différentes

(1) Léonard Kulcr esl né h Dalo en 1707 cl csl mort à Sainl-Pélersbour,; eu. 17S.n.

(lij Juhn Dollond e*l ni à Spilalflelds ec 170J et esl mort en 17ôl.

ACHROMATISME

iiiéaa. Ainsi l'on peut faire, par exemple, que rimogo jaune ge bleue d'un objet blanc soient confondues ; l'objet parait peu près sans irisation, quoique les images dans les auileurs ne soient pas exactement superposées. )mbinant trois prismes do trois substances dilTérentes, on t obtenir la superposition exacte do trois couleurs, et ! suite. Mais, en gént-ral, on se borne à réunii- deux couachromatisme est assez parfait poin- qu'il soit inutile île uor davantage le système.

allons nous occuper de l'achromatisme dans le cas seulee prismes à angle très faible ; ce cas est plus facile à :]ue le cas général, et c'est le seul qui soit intéressant on

n fait tomber un faisceau de lumière blanche sur le sysi deux prismes dont les lu-fitcs ?s sont tournées d'un même . est clair que, les déviations '.s par chacun des prismes r-'a-

il en sera de mënie des dilTéentro les déviations des rayons et des rayons violets : la ilis-

produite par le système des *isines sera plus grande que i-oduile par un seul prisniu.

•.i le second prisme, tout eii on arêlc parallète A celle du , est renversé par rapport à

98), les déviations produites :un des prismes se retranclienl, ^'"" "*■

est de mémo des différences s dêvintions de deux rayons de couleurs différentes. Il

faire ulor.s que ces déviations deviennent les mêmes ■0 nulles; c'est ce que nous allons montrer, : d et a' les valeurs des angles de ces prismes ; comme vous dit, nous sujiposons ces angles très petits. Suppo-

outre, que le faisceau de lumière blanche tombe sur la ntréu du premier prisme sous une incidence voisine de île ; il en sera alors de même pour les incidences des

ACHHOMATISMF: 4i9

^^d*achromalisme : il faut choisir les •çfaire à la relation (5).

*». le système achromatique donne -e, il faut (|ue a et à satisfas- '" ' ^ s (3), qui sont identiques Tune à

'^- *a condition d'achromatisme (5).

. elations (5) et l'une de relations (3) ; il indice de o ;

. osons que l'indice 4 se rapporte au bleu et l'indice 1 au

'*^; alors M^ — rii est une quantité positive. D'ailleurs si

^t^^ n^ se rapportent au crowii (jlass et n'^ et n', au fllnt glass^

convttie ce verre à base de plomb est plus dispersif que le pre-

^^^T, on a :

^^^ -77 — r > "if — r

n^ — 1 Hi — 1

La quantité entre crochets dans la relation [G) étant positive, on voit que 8 est positif, c'est-à-dire (juc Je rayon est dévié pur le systcme acbromatique vers la base de celui des deux prismes qui est formé du verre le moins dispersif,

La relation (5j montre, du reste, que c'est le prisme le moins dispersif qui doit avoir le plus grand angle (*).

Nous verrons plus loin (Chap. VllI g â) comment on mesure les indices de réfraction des diverses couleurs, qu'il est nécessaire de connaître pour obtenir un prisme achromatique donnant une déviation déterminée. Nous verrons aussi comment le diasporamèlre (Chap, VIll § i'^) permet d'obtenir directement

(1) Newton croyait que pour toutes les substances l'expression » ' '

avait la même valeur. S'il en était uinsi, d'après la n-lntion ifij, la déviation •erait Dalle ; on ne pourrait achroiuatiscr un prisme qu'en annulant Li dcviatiOD qu'il produit. C'est pour celte raison que Newton ne croyait pas â la possibilité de l'achromatisme.

rayons sur les trois autres faces réfringentes <lu système, si, comme nous le supposons aussi, les faces voisines des deux prismes sont parallèles. Dans ce cas, nous avons vu (Chap. lU JH 7), que les déviations d et d données par les prismes sont indépendantes de l'angle d'incidence, étant fournies par les relations:

dans lequelles n et n' représentent les indices des deux prismes pour la couleur considérée.

La déviation S du rayon à travers le système des deux prismes est donc donnée par :

(2) a = rf — rf' z= {n — 1) fl — {n' — 1) a'

D'après cette relation si S est positif d est plus grand que/: le rayon est rejeté du côté de la base du premier prisme ; si S 6:1 négatif d est plus petit que d' : le rayon est rejeté du côté de la base du second prisme.

Soient maintenant S|, ni ot n'i la dévialion et les indices co^ respondants à une couleur déterminée, le jaune, par exemple, et ^, n^ et n'^ la déviation et les indices pour une autre couleur déterminée, le bleu, par exemple. On a :

ûj = (n, — 1) a — (n'i — ^)a' ôj = (Wj — 1) a — (n'j — 1) a'

Si Ton veut que les rayons de ces deux couleurs différentes, confondus dans la lumière incidente, sortent parallèlement, il faut avoir : Oj — 3| = 0 ; c'est-à-dire :

(4) (Wj — tu) a— (M'i — n'i) rt' = 0

d'où :

a n'a — n\ ^ a n, — Hi

ACHROMATISME 419

Telle est la condition d'achromatisme : il faut choisir les angles a et a! de façon à satisfaire à la relation (5).

Si nous voulons, en outre, que le système achromatique donne une petite déviation 8 déterminée, il faut (juc a et d satisfassent à Tune des deux relations (3), qui sont identiques Tune à Tautre si a et a' satisfont à la condition d*achromatisme (5).

Eliminons a! entre les relations (5) et l'une de relations (3) ; il vient, en supprimant l'indice de 5 ;

Supposons que l'indice î2 se rapporte au bleu et l'indice 1 au jaune; alors ii^ — W| est une quantité positive. D'ailleurs si iii et fij se rapportent au crown glass et n'j et n', au flinl glass^ comme ce verre à base de plomb est plus dispersif que le premier, on a :

^7) ^^,^n.iu--n.

La quantité entre crochets dans la relation (C) étant positive, on voit que 8 est positif, c'est-à-dire que le rayon est dévié par Je systùme acbvomatique vers la base de celui des deux prismes qui est formé du verre le moins dispersif.

La relation (5) montre, du reste, que c'est le prisme le moins dispersif qui doit avoir le plus grand angle (*).

Nous verrons plus loin (Chap. VllI g 2) comment on mesure les indices de réfraction des diverses couleurs, qu'il est nécessaire de coniialtre pour obtenir un prisme achromati(|ue donnant une déviation déterminée. Nous verrons aussi comment \e diasporamètre (C\iSL]f. VIll § 12) permet d'obtenir directement

(1) Newton croyait que pour toutes les substances l'expressioD » * '

avait la même valeur. S'il en était uinsi, d'après la relation (C), la déviation Serait Dttllc: on ne pourrait uchroiuatisor un prisme qu'en annulant Li déviatioD qu'il produit. C'est pour celte raison que Newton ne croyait pas à la Pcftsibilité de l'achromatisme.

h' — II'

lo rapport — , c'est-à-dire le rapport des angles des deux

prismes.

13. ACHROMATISME DES LENTILLES. — Considérons un système formé de deux lentilles infiniment minces, placées au coatact Tune de l'autre, de façon que leurs axes principaux soient confondus, et baignées par Tair sur leurs deux faces. Soient p la distance d'un point lumineux A à la première lentille, n la «li»lance à cette lentille de rimagc A' qu'elle donne du point A, etf sn distance focale. On a :

L'image A' de A va fonctionner comme objet par rapport à la seconde lentille; soit ry, la distance de A' à cette lentille. On a [)Our la distance p' de la nouvelle image A' donnée par la seconde lentille :

en désignant par f la distance focale de la seconde lentille. Or, les deux lentilles étant iniiniment minces et inilniment voisines, n et CT| ont la même valeur absolue. Seulement si A' est une image virtucîUe, n est négatif, et, comme A' fonctionne alors comme objet réel, ui est positif : on a donc CT| = — u; si A est une image réolle, n est i)Ositif, mais cette image fonctionne alors comme objet virtuel par rapport à la seconde lentille, Ui est négatif, et Ton a encore cj| = — ci. La formule (2» peut donc s'écrire :

ajoutons membre à membre les relations (1) et (3) ; il vient :

ACHROMATISME 421

Pour la distance à laquelle se forme Timage, on voit que le système des deux lentilles se comporte comme une lentille unique dont la distance focale F serait donnée par

Il en est de même aussi pour la grandeur de Timage. En effet, un rayon qui se dirige vers le centre optique de la ))remière lentille passe aussi par le centre optique de la seconde qui en est inflniment voisin et, par conséquent, sort du système sans dévration : c'est un axe secondaire. Par consé([uent, le rapport entre la grandeur de Timage et la grandeur de Tobjct est égal au rapport des distances de l'image et de l'objet au système.

La démonstration que nous venons de faire s*étend d'ellemême au cas de trois, de (juatre, d'un nombre quelconque de lentilles inflniment minces et iniiniment voisines :

Un systrme de plusieurs lentilles centrées infiniment minces et infiniment voisines est équivalent (pour la distance et la grandeur des images) à une lentille unique dont la convergence

— serait vgale à la somme algébrique des convergences des len^

tiUes qui composent ce système : I -t. , t:^ , p, , "tt;; ^tc. . 1

Faisons remarquer que, (juand la lentille est convergente sa convergence -7 est positive; (juand une lentille est divergente,

l'étant négatif,8a coiivcrgenc(î --. est négative.

Si, en juxtaposant deux lentilles, on peut obtenir un système dont la dislance focale F soit la même pour le jaune et pour le bleu, en vertu de la relation

p ' !>' F ce système fournira d*un objet ({uelconque une imago jaune qui

coïncidera en position et en grandeur avec Timage bleue : il j aura achromatisme parfait pour ces deux couleurs et, par conséquent, achromatisme suffisant pour toutes les autres.

Or, il est possible, comme nous allons le montrer, de trouver deux lentilles formant un système achromatique en les taillant dans des verres inégalement dispersifs.

Désignons par R| et R^ les rayons de courbure des faces de la première de ces lentilles, et par 7ii son indice de réfraction pour le jaune ; la distance focale fi pour les rayons de cette couleur est donnée par

De môme, en désignant par R\ et R'^ les rayons de courbure des faces de la deuxième lentille et par n\ son indice de rëfraclion pour le jaune, sa dislance focale fi pour cette couleur est donnée par

Le système formé par la superposition des deux lentilles aura pour les rayons jaunes une distance focale F| donnée par:

De même, pour les rayons bleus, il aura une distance focale F| donnée par :

r;=(«*-*)(4-ir.) +(«'*-*) (ïJ;-i^)

en désignant par n^ et 7Ï^ les indices des lentilles pour ceM couleur.

Pour que le système soit achromatique, il faut avoir:

ACHROMATISME 423

d'où, on retranchant membre à membre (8) de (9) :

t"^ ("*-««>(il;-ïï;)+^«'*-«''Kïï;-ik)='

Comme n^ — ni et ji^ — n\ sont des quantités, positives on voit que (-=r -rr- ] ot (rr; t-- ) doivcut ôtro do signes

contraires :

L'une des lentilles du système achromatique doit être convergente cl l'autre divergente,

La condition d'achromatisme (6) peut se mettre sous la forme

1 1 Tla — «1

Le diasporamctre (Chap. VIII g 12) permet de déterminer le second membre de cette relation.

Comme on désire que le système achromatique possède une

convergence — dcHerminée, il faut que les rayons de courbures

des faces des lentilles satisfassent, en outre, a l'une des deux relations (8) ou (9), qui sont identiques quand les rayons de courbure satisfont à la condition d'achromatisme (11).

(1) En désignant par n et n' les indices de réfraction moyens pour les deux verres, on peut écrire cette relation :

Lês ralôura absolues des couvoryences des deux lentilles doitent être imreraemeat proportionnelles aux pouvoirs dispersifs.

Eliminons -r- r— entre la relation (11) et la relation (8j;

tMi supprimant l'indice de F, il vient : (13) ^ ^ (». - «.) (^ - j^) [^j^ - „-rbir]

Supposons que la première lentille soit formée du verre le moins dispersif ; on a alors :

Wj— Hi n'^ — n\ ;ii — 1 ^ 7i\ — 1

la quantité entre crochets étant alors positive ainsi que la quantité ;2^ — 7i|, on voit que le signe de — dépend du signe (— rr-

et, par conséquent, du signe de — r :

Le systcme nchromalique est convergent si la lentille formée (la verre le moins dispersif est convergente ; le système acbro* malique est divergent si la lentille formée du verre le moios dispersif est divergente.

La condition d'achromatisme (11) et la condition pour le système d'avoir une distance focale déterminée F (18), permettent d'établir encore deux autres conditions entre les quatre rayons de courbur(3 Hj, H^, R\ et H'a.

Les opticiens prennent, en général, comme troisième condition U^-^ — H'i , de façon que les faces en regard des deux lentilles s'adaptent exactement l'une sur l'autre.

La ({uatrième condition que s'imposent les opticiens dans la taille (les courbures des lentilles est la condition d*aplanétisme; c'est-à-dire (ju'ils s'efforcent de rendre minima les aberrations de sphéricité du système.

Far exemple, supposons que la lentille achromatique soit des* tinée à donner une image réelle d'objets lointains, comme un

ACHROMATISME 42B

' de lunette astronomique. Nous avons vu qu'une lentille ixe, dont la face tournée vers l'objet a un rayon de re qui est le sixième do celui de l'autre face, donne Rium d'aberration, quand la lentille est iue. Comme les indices de réfraction 1 du crown-glasâ et du flinl-glass, qui

dans une leniille achromatique, sont rérents l'un de l'autre, la lentille achro- 3 présente encore un minimum d'aberquand la face extérieure de la lentille wn a un rayon de courbure six fois *and que celui de la face extérieure de ille de ilint qui doit être tourné vers

La lentille de flint est alors un médivergent et, par conséquent, la lentille va est biconvexe (ftg*. 99) .

-ègles que nous venons d'indiquer pour natisme, concernant les lentillas infini- ''"' ""

linces, ne peuvent donner que des réapprochés pour les lentilles réelles. La théorie de Gauss

lentilles épaisses permettrait de trouver des régies tout ixactes; mais dans le cas de lentilles achromatiques à

distance focale, comme celles qui forment les objectifs lettes, ces règles cxiicles diffèrent à peine des règles élë- 'es établies pour les lentilles inllniment minces. Aussi, iciens no se servent que de ces règles élémentaires : ;nnent ainsi un achromatisme approché, et, en retouchant !S des lentilles, ils arrivent, par un tâtonnement régulier,

disparaître ou du moins à rendre extrêmement faibles rrrations de sphéricité et de réfrangibilité, tout en con- , au système la même distance focale (').

» quelques cas, on omptoie trois lenliUes de trois verren difTérenti n coïncider les iiDigefl de trois couleurs et oblonir un icbrome- ■■ parraït, par exemple, dans le cas des lentilles qui servent pour la tloa dcf luoelles de Oaljlce. Lu problûin», ea coasidéraal les Unlilles ■UloimeDl miucaa l't iiiQaiinent voisine», aa traite absolu meol cooims BU de deux leatlUea.

IJVRE V. — CHAPITEtE V

14. ACHROHAnSHE DES IMAGES DONNÉES PAR RÉFLEXION SOI U BASE D-DK PEISHE ISOCÈLE. — Soit (dg. 100) ACB la sectioo principale d'un prisme dont les angles C et B sonl égaux enlni eux (prisme isocèle). Considërons <lans cette section principale un rayon SI tombant sur la face AB, se réfractant suivant IK,

subissant une réflexion (totale ou partielle) sur la base BC el prenant alors la direction KJ, puis sortant suivant JE à traverE la face AC. Menons les normales NIN', MKM', PJP aux troit faces par les points I, K et J. Toutes ces droites sont dans um même section principale, ainsi que les diverses parties du rayon SIKJE. Or, on a les égalités suivantes:

N'IK + N'Kl = IBK ^' P'JK + P'KJ=4GK

et, comme IBK égale JCK par hypothèse, et que N'Kl i

ACHROMATISME 421

PKJ, puisque l'angle d'incidence est égal a l'angle de réflexion, on tire de (1) :

(2) N'IK = P'JK

Il en résulte que les angles extérieurs NIS et PJE sont égaux y puisqu'on a:

(3) sin NIS = n sin N'IK = n sin P'JK = sin PJE

Par conséquent, quelle que soit leur couleur, des rayons qui tombent parallèlement entre eux sur la face AB et qui se réfléchissent sur la base BC, sortent par la face AC parallèlement entre eux, comme s'ils avaient traversé une lame de verre à faces parallèles (la face symétrique de AB par rapport à CB ei la face AC).

Il en résulte que les images données par réflexion partielle ou totale sur la base d'un prisme isocèle sont parfaitement achromatiques. Il n'en serait plus de même si les angles du prisme «n B et C n'étaient pas égaux.

Les prismes isocèles et, en particulier, les prismes isocèles et rectangles sont constamment employés dans les instruments d'optique au lieu de miroirs plans. Quand le rayon tombe sur la base de façon à subir la réflexion totale, il y a autant de lumière réfléchie qu'avec un miroir plan en argent, les images ne présentent pas plus d'irisation, et Ton a l'avantage d'avoir un miroir inaltérable.