X=OD-OF =5(J A

2 \cos a J

D'autre part, la considération du triangle rectangle DFK donne immédiatement :

p = X tang 2a

Les lentilles plan convexes très minces étant fort employées dans les instruments d'optique, leur aberration mérite une mention spéciale. Le calcul montre qu'il existe sur Taxe principal deux points M et N situés du côté de la face plane, l'un un peu en deçà, l'autre un peu au delà du foyer, pour lesquels l'aberration est sensiblement nulle ; c'est-à-dire que, si un point lumineux est placé en M ou en N, les rayons marginaux réfractés coupent l'axe au même point que les rayons centraux. Pour un point lumineux placé sur Taxe entre M et N, l'aberration longitudinale est positive, tandis qu'elle est négative si le point placé sur Taxe ost en dehors du segment MN. L'expérience vérifie l'existence des points sans aberrations M et N : si l'on place en ces points un petit objet et qu'on en examine l'image réelle ou virtuelle donnée par la lentille, on la trouve aussi nette soit qu'on couvre les bords de la lentille pour ne conserver que les rayons centraux, soit qu'on couvre le centre pour ne conserver que les rayons marginaux, sans qu'il soit nécessaire de déplacer l'appareil optique qui sert à examiner l'image. Nous verrons plus loin une importante application de cette propriété.

Pour nous rendre compte de l'influence des aberrations sur la netteté des images, calculons la valeur de l'aberration transversale dans le cas d'un point A à l'infini placé sur l'axe principal d'un miroir concave sphérique de 2 mètres de rayon de courbure et de 10 centimètres de rayon de base. En faisant R = 200e et r = 10e dans la formule. (2) on trouve p = 0%0i25. Ainsi dans le plan focal, il se forme, non pas un point comme image du point A mais un petit disque lumineux ayant un peu plus de deux dixièmes de millimètre de diamètre. Si le point de l'infini est en dehors de l'axe principal, au lieu d'un disque on a dans

Du reste, le triangle rectangle IHO fait connaître les valeurs de a en fonction de r :

sma= - d'où : = et tang 2ot = -— —

R co9 a y/Rf— r1 Rf — 2r

et, en substituant, on obtient les formules indiquées dans le texte.

APLANÉTISME 893

le plan focal une tache lumineuse ovale, dont le plus grand diamètre est supérieur à celui du disque, et d'autant plus grand que Taxe du point A est plus incliné sur Taxe principal.

Il semble que ces aberrations soient assez fortes pour rendre Timage d'un objet confuse, les taches lumineuses correspondant aux points voisins empiétant les unes sur les autres, surtout si, comme dans les télescopes, Timage réelle que donne le miroir est grossie par un oculaire. Pourtant l'expérience prouve que, même dans ce cas, Timage n'est pas trop confuse. Gela tient à ce que le disque ou la tache ovale qui correspond à un point A de l'objet est très inégalement éclairé par ce point. Si Ton a bien disposé un écran au foyer conjugué A' de A, la tache qui 6e peint sur celui-ci présente en ce point A' (image donnée par les rayons centraux) un maximum de lumière très prononcé; en effet, ce point A' est, comme nous le savons, un foyer dû â fa. rencontre des deux caustiques. Il en résulte que dans les conditions les plus ordinaires d'intensité relative des différents points d'un objet, la partie visible de la tache lumineuse qui correspond au point lumineux a un diamètre moindre que celui qui a été calculé ci-dessus.

5. APLANÉTISME. — Les aberrations de sphéricité sont un défaut pour la parfaite netteté des images. Aussi a-t-on cherché à les faire disparaître en donnant aux surfaces optiques une courbure convenable. Un système optique qui donne d'un point lumineux une image dépourvue d'aberrations de sphéricité est dit aplanétique. On ne peut réaliser Taplanétisme rigoureux que pour un seul point lumineux; mais, quand Timage d'un objet n'est pas trop grande, si les aberrations sont rigoureusement nulles pour un de ses points, elles sont tellement faibles pour les autres que pratiquement Timage est parfaite.

On voit aisément quelle est la forme que doit avoir un miroir pour donner d'un point A placé à distance finie une image réelle dépourvue d'aberrations en un autre point donné A' : c'est une portion d'ellipsoïde de révolution, ayant pour axe la droite AA\ et engendré par la rotation d'une ellipse dont A et A' sont les deux foyers. En effet, considérons un rayon quelconque AI émis par le point A; prenons comme plan de la figure 87 le plan A' AI, Tome II -X

qui coupe suivant une section méridienne l'ellipsoïde; ce plan, contenant la normale IN au point I, est le plan d'incidence du rayon AI. Le rayon réfléchi 1R est contenu dans ce plan; en

outre, comme il forme avec la normale IN à l'ellipse un angle égal à celui que forme le rayon AI, ce rayon IR passe, comme on le sait, par le second foyer A' de l'ellipse.

Nous venons de supposer que F|C- *7- la réflexion se

faisait sur le côté concave de l'ellipsoïde. On voit tout de suite que des rayons, tels que SI, qui se dirigeraient vers le point objet-virtuel A et se réfléchiraient sur le côté convexe de l'ellipsoïde, donneraient une image virtuelle A sans aberrations.

Le même raisonnement fait voir qu'un miroir formé par une portion d'un hyperboloïde de révolution autour de l'axe des foyers, donne d'un point A situé à l'un des foyers une image A' située à l'autre foyer et qui est dépourvue d'aberrations (fig. 88). Si la réflexion se fait du côté concave, un point-objet réel placé au foyer A correspondant à la nappe qui forme le miroir donne une image virtuelle placée à l'autre foyer A. Réciproquement, un objet virtuel placé au foyer A donne une image réelle en A. Si la réflexion se fait du côté convexe, on peut obtenir d'un objet réel placé en A une image virtuelle placée en A, et, réciproquement, d'un objet virtuel placé en A une image réelle placée en A.

Ainsi, pour obtenir d'un point réel une image sans aberrations, il faut employer un miroir concave elliptique, si l'on désire avoir une image réelle, ou un miroir concave hyperbolique,

APLANÉTISME

si l'on désire une image virtuelle. Plus l'image réelle ou virtuelle doit être éloignée plus les foyers doivent être écartés, et, à la limite, si l'image doit se former à l'infini, il faut un miroir elliptique ou hyperbolique dont un des foyers est à r infini, c'est-à-dire un miroir parabolique.

Réciproquement, un miroir parabolique concave donne d'un point à l'infini situé sur Taxe de révolution une image réelle sans aberrations placée à son foyer.

Du reste, si Ton néglige les aberrations, comme nous l'avons fait en traitant des miroirs sphériques au chapitre II, les formules fondamentales

A+i-i et i-t

Fie b8.

trouvées dans ce chapitre sont applicables à tous ces miroirs quelle que soit la position d'un point lumineux situé sur l'axe principal (axe de révolution) ou situé en dehors de cet axe mais dans son voisinage; il suffit pour s'en convaincre de considérer les rayons centraux, ceux qui tombent vers le sommet du miroir. En effet, au point où l'axe de révolution rencontre la surface du miroir (sommet), il existe une sphère osculatrice à la surface; des rayons qui tombent en des points infiniment voisins du sommet se réfléchissent comme si le miroir était formé par la sphère osculatrice. Cette sphère a son centre sur Taxe à une

certaine distance, dont la moitié est la distance focale f de ce miroir; par conséquent, pour ces rayons les formules ci-dessus sont applicables et, aux aberrations près, chacun de ces miroirs jouit des mêmes propriétés qu'un miroir sphérique.

Les miroirs des télescopes employés aujourd'hui sont paraboliques. Un miroir parabolique ne diffère, du reste, d'un miroir sphérique de même diamètre, de même distance focale et dont le sommet occupe la même position qu'en ce que les bords sont reculés d'une quantité extrêmement faible. Ainsi, même en prenant comme exemple un grand miroir de 80 centimètres de diamètre et de 5 mètres de distance focale, pour amener celui-ci de la forme sphérique à la forme parabolique, il faut enlever sur les bords une couche de matière dont l'épaisseur n'atteint que 32 dix-millièmes de millimètre (3,2 microns) (4). Une quantité

(1) Soient, en effet,

y* = kfx et (X — S/)f + Yf = kf*

les équations d'une parabole et d'un cercle qui lui est osculaleur en son sommet, puisque le centre de ce cercle est sur l'axe de la parabole à une distance du sommet égale au double de la distance focale f. En tournant autour de Taxe, ces courbes engendrent les surfaces des miroirs paraboliques et sphériques remplissant les conditions indiquées plus haut. Or, pour Y = y (demi-diamètre du miroir), on tire des formules ci-dessus:

d'où :

!.»•,■=-, -&-tr-iy=?f-f(.-v^)'

On voit que X est plus grand que x ; par conséquent les bords du miroir sphérique sont en avant des bords du miroir parabolique. Comme la quan-

tité — est très petite, on peut, dans le développement de la racine carrée,

négliger les puissances supérieures à la première, ce qui donne

pour 2y = 80 cent.

x=*- et X = 2f - y/4/" - y»

et

= 500 cent.,

il vient:

= 0,00082 cent.

APLANÉTISME 397

de matière aussi faible est de Tordre de celles qu'on enlève par le polissage. Or les miroirs en métal se ternissent en s'oxydant ou se sulfurant à l'air ; il faut de temps en temps les repolir et l'on a dès lors à refaire tout le travail extrêmement laborieux qui est nécessaire pour avoir un miroir aplanétique.

Foucault a eu, en 1857, l'heureuse idée d'utiliser pour la construction des miroirs, un procédé d'argenture sur verre découvert par Steinheil de Munich, et retrouvé par Drayton(f). Les miroirs de Foucault sont en verre ; quand on leur a donné la forme parabolique on les argenté à la surface: la couche d'argent déposée est tellement mince et d'une épaisseur si égale que la forme parabolique est parfaitement conservée après l'argenture. L'argent réfléchit une plus grande quantité de lumière que le bronze des miroirs employé autrefois ; mais le plus grand avantage que présentent ces miroirs est que, quand la couche d'argent s'est ternie par sulfura tion, il suffit de la dissoudre avec de l'acide azotique, ou simplement de l'enlever avec un linge un peu rude, et d'argenter à nouveau le miroir, sans avoir à retoucher à sa forme qui n'est pas altérée par ces opérations.

En outre, Foucault a indiqué aux opticiens un procédé sûr pour donner aux miroirs la forme parabolique, ce qui a rendu tout à fait pratique la construction des miroirs aplanétiques, si difficile à obtenir autrefois (*).

(1) Ce procédé d'argenture du verre est fondé sur la réduction de l'azotate d'argent par le sucre interverti ; il a été successivement perfectionné par Foucault et par M. Martin.

(i) Pour s'assurer de l'aplanétisme et reconnaître les imperfections d'un miroir, Foucault a indiqué trois méthodes différentes (Annales de l'Observatoire de Paris, T. V, p. 197) ; nous n'en décrirons qu'une, la plus sensible et celle qu'il a toujours employée, du reste.

On place devant le miroir un point très lumineux, obtenu en faisant converger sur un trou très petit A, pratiqué dans un écran, les rayons d'une lampe. Le miroir donne une image de ce point A au foyer conjugué A'. Si le miroir est aplanétique pour la position du point A, l'image A' par suite des phénomènes de diffraction, est non un point, mais un petit disque brillant. Si l'on place l'œil derrière le disque A' de façon à y recevoir la lumière réfléchie par le miroir, celui-ci apparaît avec un éclat uniforme. Or, chaque point du disque A' reçoit de la lumière de tous les points du miroir, et presque toute la lumière renvoyée par celui-ci passe par ce disque. Si l'on place alors au devant de l'œil, et dans le plan du disque, un écran E, dont le bord

On peut trouver aussi quelle doit être l'équation d'une surface réfringente pour obtenir d'un point une image sans aberrations; mais la difficulté de réaliser ces surfaces a fait renoncer à les employer dans la construction des lentilles.

rectiligne coupe une partie du disque, la lumière provenant de chaque point du miroir et reçue par l'œil sera affaiblie dan9 le même rapport: le miroir paraîtra encore uniformément éclairé, mais avec une intensité d'au* tant plus faible que l'écran E masque une plus grande partie du disque A'.

Si, au contraire, le miroir n'est pas aplanétique pour la position du point A, la présence de l'écran E au devant de l'œil diminue dans des proportions différentes la lumière provenant des diverses régions du miroir: l'éclat de celui-ci n'est plus uniforme ; les parties qui sont en saillies sur la surface idéale qui donnerait une image sans aberrations de sphéricité, apparaissent cemme si elles avaient un relief exagéré et qu'elles fussent éclairées obliquement par une lumière placée du côté opposé à l'écran E.

Les moindres défauts de la surface réfléchissante sont ainsi rendus apparents.

Foucault corrige ces défauts par un procédé de retouches locales : à l'aide d'un polissoir, il fait disparaître les saillies jusqu'à ce que le miroir paraisse d'un éclat uniforme.

Les miroirs, tels qu'ils sortent des mains des constructeurs, sont à peu près sphériques ; car on les obtient par l'usure du verre sur un bassin sphérique, en interposant entre les surfaces un peu d'émeri.

Pour s'assurer do la parfaite sphéricité, ou la corriger par le procédé des relouches locales, Foucault se sert de la propriété que possède un miroir sphérique d'être aplanélique pour un point placé au centre de courbure 0 : il place le point lumineux A très près de celui-ci, et l'écran E au foyer conjugué A', qui est très près aussi du centre 0.

Le miroir étant rendu parfaitement sphérique, on rapproche un peu de celui-ci le point A le foyer conjugué A' s'écarte, et le miroir n'est plus aplanétiqne pour cette nouvelle position de A. On corrige par le procédé des rstouches locales le défaut d'aplanétisme, ce qui rend le miroir elliptique, avec A et A' pour foyers. On approche de nouveau le point A, et ainsi progressivement on transforme le miroir en un miroir elliptique dont les foyers sont de plus en plus éloignés l'un de l'autre. Quand on a écarté autant les deux foyers que le permet la longueur de l'atelier (15 ou 20 mètres) le miroir est bien près de la forme parabolique. Pour effectuer la légère retouche qui l'amènera exactement à celte forme, Foucault s'est fondé sur le fait suivant : quand, à partir du point A pour lequel le miroir est aplanétique, on recule d'une très petite quantité a le point lumineux, le miroir, examiné à l'aide de l'écran E, prend le même aspect do creux et de reliefs pour deux formes très voisines de ce miroir, si a possède la même valeur dans les deux cas. Quand le miroir a été rendu un ellipsoïde de révolution à foyers A et A' très écartés, on mesure les distances a de A au foyer

APLANETISME 399

Du reste, on arrive à un apianétisme approché par un autre procédé. La formule

montre que, quand on s'est fixée la distance focale /*, on peut établir encore une autre relation entre les deux rayons de courbure R et R' des faces de la lentille. Le calcul permet de trouver la relation qui donne à la lentille un minimum d'aberration. Ainsi, dans le cas où l'objet dont on veut obtenir une image réelle est à l'infini (cas d'un objectif de lunette), la lentille qui donne le minimum d'aberration est biconvexe, le rayon de courbure de l'une des faces ayant six fois la valeur de celui de l'autre face, et la face la plus bombée étant tournée vers l'objet.

On voit qu'une lentille plan-convexe dont la face convexe est tournée vers l'objet lointain n'est pas très loin de réaliser la forme précédente ; l'aberration longitudinale qu'elle donne n'est que d'un dixième plus considérable. Ainsi on obtient les meilleures images, dans l'emploi des lentilles plan-convexes, en tournant la face bombée vers l'objet quand celui-ci est à une distance notablement supérieure à la distance focale. Nous avons vu au paragraphe précédent, qu'au contraire, si l'objet est à une distance un peu supérieure ou un peu inférieure à la distance focale il y a avantage, au point de vue des aberrations, à tourner vers l'objet la face plane.

6. COURBURE DE LIMAGE D'UN OBJET PLAN. — Nous savons que l'image d'un objet plan se forme dans un plan parallèle

principal F du miroir, qui est situé un peu plus près de celui-ci que le point A. On recule alors le point lumineux, qui était en A, de la quantité a et Ton examine l'aspect de creux et de reliefs que présente le miroir. On ramène ensuite le point lumineux en A et, par le procédé des retouches locales, on donne au miroir l'apparence de creux et de reliefs qu'on vient d'observer, ce qui le rend exactement parabolique.

On s'assure de la perfection du travail final en montant le miroir dans le tube d'un télescope et se servant de celui-ci pour viser une règle très éloignée à divisions rapprochées. On obtient ainsi le pouvoir définissant du télescope •dont fera partie le miroir concave.

quand l'objet s'écarte très peu d'un axe qui lui est perpendiculaire, cet axe devant, en outre, dans le cas des lentilles, être confondu, ou à peu près, avec Taxe principal.

Lorsqu'il n'en est pas ainsi, un miroir sphérique ou un système de surfaces réfringentes sphériques centrées peut encore donner des points qui s'écartent notablement de l'axe une image assez nette si, par un diaphragme ou par suite de la petitesse du diamètre des lentilles, il n'y a qu'un faisceau de rayons voisins qui concourent à la formation de l'image de chaque point. Mais alors >

FiG. 89.

en général, les images des divers points de l'objet plan ne sont pas dans un même plan : l'image est courbe.

Il y a donc là un nouveau genre d'aberration, c'est-à-dire une nouvelle cause de déformation de3 images, dont il est nécessaire de tenir compte pour la construction des instruments d'optique.

Dans le cas d'un miroir ou d'une seule surface réfringente sphérique, les lois que nous avons établies permettent immédiatement de voir dans quel sens l'image sera courbée. Dans le cas d'une lentille ou de plusieurs surfaces sphériques centrées, on arrive aussi à ce résultai en examinant la forme des images fournies successivement par les surfaces réfringentes, l'image

ÀPLANÉTISME 401

donnée par un certain nombre de surfaces servant d'objet par rapport à la surface suivante.

Dans quelques cas le problème est très simple. Par exemple, considérons une lentille pi an- convexe (fig. 89); un point situé à l'infini du côté de la face plane envoie sur la lentille un faisceau de rayons parallèles qui, après avoir traversé cette face plane, restent parallèles entre eux et vont, par conséquent, concourir sensiblement en un point de la sphère focale correspondant à la seconde face, après avoir traversé celle-ci. Les images des points d'un objet placé à l'infini sont donc situées sur une sphère F1FFi concentrique à la seconde face de la lentille et passant par le second foyer F de celle-ci.

Réciproquement, supposons un objet placé suivant FtFF9 et regardé du côté de la face plane par un œil disposé pour voir à l'infini; celui-ci en verra une image virtuelle plane à l'infini. Si le même œil regarde à travers la lentille un objet plan A^A^ coupant Taxe en un point A placé un peu en avant de F et coupant en Ai et Aa la sphère focale F,FFa, les images A\ et A'a des points A1 et Aa se formeront à l'infini, tandis que l'image virtuelle A' du point A se formera à distance finie. L'image virtuelle A^A'A'j de l'objet plan sera donc courbe et tournera sa convexité du côté de la lentille.

Ces remarques trouveront leur application plus loin.

DISPERSION

La lumière blanche est due à la superposition dune inûnité de lumières simples diversement colorées et possédant chacune un indice de réfraction différent*

S'il en est ainsi, on voit bien que les diverses lumières colorées qui composent le blanc, subissant une déviation différente par le prisme, se trouveront séparées à leur sortie.

Newton a démontré, de la façon la plus nette, la justesse de cette explication. Nous allons reproduire ses principales expériences et prouver :

i9 Que les couleurs du spectre sont simples, c'est-à-dire ne s'étalent pas en un nouveau spectre lorsqu'on les fait tomber à la surface d'un prisme ;

2° Qu'elles possèdent des indices de réfraction différents;

3° Que la réunion de toutes les' couleurs du spectre produit sur l'œil l'effet du blanc.