FORMULES DE DILATATION DES LIGNES, DES SUR- FACES ET DES VOLUMES

Étant donnée la dilatation qu’un corps solide éprouve dans le sens de sa longueur, on a toutes les données suffisantes pour résoudre les questions relatives à l’augmentation linéaire. On rapporte aune unité de longueur, comme le mètre, ou bien à une mesure abstraite, la quantité qui exprime la dilatation.

L’on a souvent à s’occuper de la dilatation qui a lieu pour les surfaces, et de la dilatation qui a lieu pour les volumes. Par conséquent il faut savoir comment on calcule ces dilatations. Les surfaces ont pour élémens des lignes; il en est de même des volumes ; il en résulte qu’ayant la dilatation de la ligne, on trouve très facilement la dilatation des surfaces et des volumes.

Je suppose que nous ayons une certaine longueur que je désignerai par l’unité, mais au lieu d’appeler cette unité an, je la représenterai par la lettre a. La dilatation est la différence entre la longueur du corps qui a été échauffé et la longueur de ce même corps avant de l’être; de sorte que la dilatation se trouve en retranchant de la longueur échauffée, la longueur qui n’est pas échauffée. C’est là ce qu’on appelle la quantité de dilatation pour l’étendue de la température qui a produit cette variation.

Ainsi a étant la longueur primitive de la barre, appelons x la dilatation ; nous aurons pour la longueur dilatée a-\-x.

Lorsqu’on échauffe une surface, il faut concevoir que

cette surface se dilate dans tous les sens; ce qui arrive en effet quand il s’agit d’un corps homogène, mais ce qui n’aurait pas lieu, par exemple, pour une planche qui se dilate très peu dans le sens des fibres, tandisque , dans le sens perpendiculaire, elle paraît se contracter au lieu de s’allonger. Lorsqu’il arrive que des corps paraissent ainsi s’écarter de la loi générale, c’est qu’il y a un double effet, il y a un corps qui en s’échappant, par suite de réchauffement, permet aux molécules de se rapprocher, et de là résulte une diminution de volume. Dans le cas de l’homogénéité parfaite, comme lorsqu’on prend une plaque de fer, de cuivre, d’argent, les dilatations se font toujours également dans tous les sens.

Par conséquent, étantdonnée une surface métallique ou une surface vitreuse, fîg. 6, il faut concevoir, qu’après l’avoir échauffée, la ligne AB se sera allongée et sera devenue A C , et que la ligne D B se sera également allongée et sera devenue DE ; et en même temps toutes les lignes qu’on peut concevoir dans la surface auront pour des longueurs égales desaccroissemens parfaitement égaux. Par conséquent , nous aurons une nouvelle surface plus grande que la première, et la dilatation de la surface est la différence entre la surface dilatée et la surface primitive. Piien n’est plus facile maintenant que de trouver cette dilatation . Si nqus appelons a le côté de la surface, et x la quantité de la dilatation, le côté a , en se dilatant, devient a -j- x : cette quantité élevée au carré nous donnera pour la nouvelle surface az + lax-^-x2-. La première surface était a 2. Ainsi, retranchant la surface primitive de la surface dilatée , il restera , pour la quantité de la dilatation , 2 ax + xz. C’est-à-dire que la dilatation d’une surface se compose de deux rectangles qui ont pour base le côté de la surface primitive, et pour hauteur l’épaisseur de la dilatation de ce côté, et, de plus, d’un petit carré qui est formé par ^intersection des deux côtés dilatés. Comme les dilatations des solides sont toujours des quantités très faibles, le carré xz est très petit, relativement aux deux rectangles 2 ax, et par conséquent on peut le négliger sans erreur sensible, et se borner au terme 2 ax. Supposons que a soit l’unité, la dilatation serait zx; de sorte que d’une manière simple et abrégée, pour avoir la dilatation en surface, il faut chercher la dilatation linéaire et la doubler.

Il s’agit maintenant de connaître la dilatation en volume. Pour cela imaginons que nous ayons un cube dont a serait le côté. Chacune des lignes qu’on peut concevoir dans le cube va s’allonger. Chaquearête devenante -j-a?, nous aurons pour

le cube dilaté cette quantité a “h x élevée au cube, c’està-dire CL 3 + 3 «• x -J- 3 a x* + x 3 . Le volume primitif est égal à a3; par conséquent retranchant le cube primitif du cube dilaté, il reste pour la dilatation 3 aa#-f-3a2 x-±-xz. Le second et le troisième termes sont très petits relativement au premier, de sorte qu’on les néglige et qu’on se borne à 3 a*æ. Et comme a est l’unité, vous avez 3x pour la dilatation, c’està-dire que l’on n’a qu’à tripler la dilatation linéaire pour avoir le coëfficient de la dilatation de volume.

Tels sont les moyens simples de mesurer les dilatations en longueur, en surface et en volume.