I.IMITB D KLAfTICITK à

Cuivre étiré

— recuit

Platine étiré

— recuit

Acier anglais étiré

— — recuit , • .

— fondu étiré....

— — recuit...

Fer étiré

— recuit

LIMITE D SLABTICIT8 à 15*

14» 5o 43,00 i5,oo 55,60

(*) Fhânkenheiu, Cohdsions lehre^ p. 272. Breslau ;i835.

(-) ExNER, Sitzungsber. d, Akad, d, Wissensch, in Wien^ p. 20; 1874.

(^) Application. — Calculer la longueur maximum d'une sonde cylindrique en acier anglais étiré. Pour qu'il n'y ait pas de déformation permanente, la section supérieure ne doit pas soutenir un poids dépassant 43^^^ par i'^"'^. On a doue

Lrf = 43ooo,

Les nombres, comme on le yoit, diffèrent beaucoup d'un métal à l'autre. Certains corps, tels que le caoutchouc, peuvent éprouver une déformation considérable sans que la limite d'élasticité soit dépassée ; d'autres, au contraire, le plomb par exemple, sont déformés d'une manière permanente par des actions très faibles. C'est dans ce sens que l'on dit le caoutchouc très élastique, tandis que le plomb l'est très peu. Cette expression peut être conservée comme celle de parfaitement élastique par laquelle nous avons désigné tout corps pris en deçà de sa limite d'élasticité.

Pour plusieurs corps, la limite d'élasticité est fort incertaine, la verge filant sous les plus faibles charges : le plomb, l'élain, le zinc sont dans ce cas. D'autres corps, comme l'acier trempé, le verre, le marbre, peuvent au contraire être, pendant quelques instants, chargés presque jusqu'à la rupture sans prendre d'allongement permanent : leur ductilité est nulle.

Pour tous les métaux étudiés, à l'exception du zinc, le recuit abaisse la limite d'élasticité : l'abaissement est surtout considérable pour le platine et le fer ainsi que l'acier. En général aussi la limite d'élasticité s'abaisse rapidement lorsque la température s'élève.

Quand on a dépassé la limite d'élasticité, le corps débarrassé des actions extérieures s'arrête à une forme nouvelle sous laquelle il est encore parfaitement élastique jusqu'à une certaine limite et, chose assez remarquable, avec le même coefficient d'élasticité qu'il avait dans son premier état (Gerslner, Wertheim). Dépasse-t-on la nouvelle limite d'élasticité, le corps soulagé des forces extérieures prendra une troisième forme permanente en conservant toujours même coefficient d'élasticité, et ainsi de suite tant que la verge ne filera pas. Ce fait s'observe très nettement avec presque tous les métaux.

Le temps pendant lequel la traction se continue exerce sur la

L étant la longueur cherchée en mètres, et d la densité 7,8 de Tacier. On tire delà

L=:55io».

Sous rinfluence de son propre poids P cette barre s'allonge, comme on le reconnaît facilement, de la longueur l

looo^K étant le coefficient d'élasticité de Tacier.

VioLLB, Court de physique» — I. î 7

4t8 PRINCIPALES PROPRIÉTÉS DES SOLIDES.

production de rallongement permanent une influence remarquable : l'action prolongée d'une charge bien inférieure à celle qui mesure la limite d'élasticité pour un effort passager amène une déformation permanente, la grandeur de la déformation dépendant de la durée de l'action . Vicat a observé sur des fils de fer un allongement progressif pendant près de 3 ans, Feffort étant à peine le

-7 de la charge de rupture. Wertheim a constaté maintes fois des

faits analogues.

Il est probable que sur tout métal la plus faible charge agissant pendant un temps assez long produirait un allongement permanent. Nous retrouverons pour la flexion et la torsion des faits semblables, montrant que la limite d'élasticité, loin d'être absolue, dépend singulièrement des circonstances.

En faisant vibrer un fil métallique tiré par un poids, Savart l'a vu s'allonger notablement et conserver ensuite un allongement permanent, bien que le poids employé fût très inférieur à celui qui mesurait la limite d'élasticité.

En même temps que la longueur d'une verge étirée augmente, sa section diminue. Quand l'allongement est considérable, comme ceux que l'on peut produire avec le caoutchouc, il y a en même temps déformation, la partie moyenne se rétrécissant plus que les extrémités ; mais cet effet est absolument insensible pour les faibles allongements : le rétrécissement peut alors être considéré comme identique sur toute la longueur.

Théories de Navier et de Poisson. — D'une théorie incomplète, Navier (*) avait déduit que le coefficient de contraction transversale c est le quart du coefficient d'allongement longitudinal. En partant de certaines hypothèses sur la manière dont s'attirent les molécules d'un corps solide dérangées de leur position d'équilibre. Poisson (^) arrive à la même conclusion :

(•) Navier, loc, cit.

{*) Poisson, loc, cit.

Expérience de Cagniard-Latour. — Une expérience classique, due à Cagniard-Lalour, confirme celte valeur. Un fil de cuivre, de !i",o3 de longueur, fut placé dans Taxe d'un tube cylindrique

Fig. ai3

en verre et fixé solidement à une plaque métallique fermant le tube par le bas. En haut, le fil venait s'adapter à l'extrémité du petit bras d'un levier au moyen duquel il pouvait être tiré dans le sens de sa longueur. Le tube de verre était rempli d'eau.

Détachant le fil à la partie inférieure, on le souleva de 6"" : le niveau de l'eau baissa de 5"". Remettant le fil en place, on exerça une traction suffisante pour l'allonger de 6"°; le niveau de l'eau descendit de 2™"',5. Ces données suffisent à résoudre la question.

Appelons 5 la section du fil, S la section annulaire du tube (surface comprise entre la paroi intérieure du tube et le fil); de la première expérience on déduit

Dans la deuxième expérience, on a produit un allongement de 6"""; L étant la longueur primitive du fil, La est l'allongement,

La:^6.

Transversalement, Tunité de longueur s*est contractée de c, par suite Tunité de section est devenue (i — c)* ou, à cause de la petitesse de c ('), I — 2c. La section s a donc diminué de acs et la variation de volume de la partie immergée est, abstraction faite de la longueur sortie de Teau (longueur très petite par rapport à L), qlLcs. On a par conséquent

2LC5=2,5S.

Des deux dernières équations on tire

c 2,5S - ou ff=

et, comme d*après la première on a

il vient

Mais celte expérience ne comporte pas grande précision, les ménisques rendant les lectures incertaines, et la quantité d'eau emportée par le fil, quand on le soulève, n'étant pas négligeable.

Si Ton admet cette valeur de a=7, le changement de volume

\u d'une verge, tirée dans le sens de sa longueur seulement, Wu = L{i-\'a)s{i--2c)-'Ls, ou, si Ton néglige le terme en acy V(a — 2c), est

c'est-à-dire que la variation u de l'unité de volume d'une verge étirée est la moitié de la variation de l'unité de longueur, cette varia-

(*) Il ne s*agit toujours que de faibles déformations.

tien étant d'ailleurs elle aussi une augmentation. Le volume s'accroît donc par la traction, et en conséquence la densité diminue.

La compression, exercée dans le sens de la longueur seulement, produirait des résultats exactement inverses : diminution de la longueur; accroissement de la section, l'accroissement de l'unité de section étant moitié de la diminution de l'unité de longueur; diminution du volume, la diminution de l'unité de volume étant encore moitié de la diminution de l'unité de section; accroissement de la densité.

Recherches théoriques de Cauchy, de Lamé et de Kirchhoff. — Les

raisonnements sur lesquels repose la valeur de (>==- n'étant pas absolument concluants, pas plus que l'expérience de Gagniard-Latour, la question fut reprise au point de vue mathématique par Cauchy(*) et par Lamé qui, après s'être rangé à l'opinion ff=- dans un premier travail avec Clapeyron (*), revint ensuite sur cette manière de voir (') : la conclusion de ces investigations théoriques, auxquelles il faut ajouter celles de M. Kirchhoff (^), fut que 9 est compris entre o et -.

Expériences de Wertheim. — Wertheim effectua de nouvelles recherches expérimentales.

Il fit d'abord une expérience très simple : un prisme de bon caoutchouc, long de 3o centimètres et de section carrée, le côté du carré étant compris entre 9""" et 47"°, était saisi à chaque extrémité dans une monture en fer munie d'un crochet. Par le crochet supérieur on suspendait le prisme à un support fixe ; au crochet inférieur on attachait un poids. Le caoutchouc s'allongeant beaucoup, on mesurait facilement l'allongement ; on mesurait aussi aisément la contraction transversale à l'aide d'un compas d'épaisseur. Tant que l'allongement ne dépasse pas moitié de la longueur primitive du

(*) Cauchy, loc, cit

(') Lamé et Clapeyron, Mémoires des savants étrangers, IV ; 1833.

(') Lamé, loc, cit,

(*j Kirchhoff, loc. cil.

prisme, il n'y a pas de déformation sensible et Ton trouve assez

exactement - ou 5=77.

Sur le conseil de Regnault, Wertheim opéra ensuite avec des tubes creux en cristal ou en laiton, et chercha quelle yariation de volume éprouve la cavité intérieure du tube lorsqu'on exerce une traction suivant Taxe. Il est aisé de voir, en effet, que cette variation de volume doit être précisément celle qu'éprouverait une verge de la même substance remplissant le vide intérieur du tube si elle était soumise à la même traction par unité de surface. Cela résulte du principe évident, sur lequel nous nous sommes déjà appuyés (142), que, si Ton accole deux ou plusieurs barres de même section, de manière à former une barre unique, chacune des barres constituantes, sous Faction d'une traction parallèle à Taxe, se comporte comme si elle était seule. D'après ce principe, en effet, deux plans AB, CD,

Fig. ai3

parallèles entre eux et à l'axe du tube, se rapprocheront de la même quantité que si le tube était plein, la traction par unité de surface restant la même ; car chacun des prismes élémentaires mn^ que l'on obtient en menant entre AB et CD une infinité de plans parallèles aux deux plans considérés, se comporte exactement de même dans les deux cas.

Les tubes étaient soudés ou mastiqués à leurs deux extrémités dans des pièces cylindriques épaisses en métal : la pièce inférieure a fermait le tube PQ par le bas et portait un crochet auquel on attachait le poids tenseur; la pièce supérieure b présentait un rebord par lequel on fixait solidement le tube à un étau ; elle était en outre percée d'un canal continuant la cavité du tube

et surmonté lui-même d'un tube capillaire en verre t. Tout pareil était rempli d'eau distillée jusqu'en haut du tube capillaire. Deux traits avaient été tracés sur le tube PQ aussi près que possible des cylindres extrêmes : l'espace compris entre ces traits changera seul de volume, les parties du tube contenues dans les cylindres n'éprouvant aucune variation sensible par suite de l'épaisseur de ceux-ci. On a mesuré à l'avance le diamètre extérieur du tube (au sphéromètre) et son diamètre intérieur (par un jaugeage au mercure), on connaît donc sa section intérieure S et sa section annulaire (utile seulement pour savoir la charge par unité de surface) ; on a mesuré également la section intérieure (1) du tube capillaire. On relève la longueur L du tube avant toute traction. On fait agir le poids tenseur : on observe l'allongement La du tube et

l'abaissement X de l'eau en ( ; ^ est la variation u

de l'unité de volume : on a donc immédiatement le