III. — Achromatisme
440. Aberration de réfrangibilité. — Décomposition de la lumière par une lentille. — Une lentille offre d'un point autant d'images séparées qu'il y a d'éléments distincts dans la lumière blanche. Par suite de cette aberration de réfrangibilité, en quelque endroit que Ton coupe le faisceau émergent on n'a jamais qu'une image colorée.
Histoire de f achromatisme. — Newton crovait ces colorations inévitables : d'après lui, la dispersion étant proportionnelle à la réfraction, on ne pouvait supprimer Tune qu'en annulant l'autre. Euler (*) fit observer que cependant l'œil donne des images incolores et, comme cet organe est composé de plusieurs milieux réfringents, il en conclut que l'on devait pouvoir faire des lentilles achromatiques au moyen de deux ou plusieurs verres unis par quelque liquide. Peu après, un professeur d'Upsal, Klingens-
(*) Euler, Sur la Perfection des verres objectifs des lunettes, dans les Mémobt* de l'Académie de Berlin; 1747. Déjà, Gregory avait avancé que « peut-être il serait utile de réaliser l'objectif d'une lunette par une combinaison de différents milieux, comme en a usé pour l'œil la nature qui ne fait rien en vain » (Gregoby, Catoptricm et dioptricae sphaericœ elementa; 1695). Voir plus loin, p. 593.
tjerna (*) montra qu'en effet les expériences de Newton étaient inexactes. 11 communiqua son travail à l'opticien anglais Dollond qui, avec un prisme de verre et un prisme d'eau à angle variable, réussit à faire disparaître la coloration tout en conservant une certaine déviation. De là Dollond passa à la combinaison du crown avec le flint, et bientôt (1557) il réussit à construire des lunettes achromatiques ( 2 ).
Lentilles achromatiques. — Une combinaison convenable de deux lentilles permet effectivement de superposer les foyers relatifs à deux couleurs données.
Soit un système de deux lentilles infiniment minces juxtaposées. Examinons d'abord l'action de ce système sur une lumière simple déterminée (le rouge par exemple).
La puissance du système est égale à la somme des puissances respectives des deux lentilles
OU
n et n' étant les indices des verres constituant les deux lentilles pour la lumière proposée, R 4 , R a , R 3 , R 4 , les rayons de courbure des quatre surfaces dirimantes.
Pour une autre lumière simple (le violet, par exemple), les indices étant Ti-f- Ara et rc'-f-Arc', la distance focale du système devient F-f- AF; et AF sera nul si
^^^"'(^irjH- (3)
An et An' étant de même signe, les deux parenthèses doivent être de signes contraires : si l'une des lentilles est convergente, l'autre doit être divergente. Quant au système total, il sera convergent si la lentille convergente est formée du verre le moins dispersif,
(') Klingenstjerna , Kongliga Svensha Vetenskaps-Akademiens Handlingar ;
(*) La priorité lui fut contestée par un gentilhomme de More Hall (Essex), nommé Chester ; mais le parlement donna gain de cause à Dollond.
An
— — — étant le pouvoir dispersif ('). En effet ■& est proportionnel
An'
: c'est donc la lentille dont le pouvoir dispersil 1 eS
le plus faible qui décide du signe de F.
Kg. 3;8 L'équation (3) pouvant s'écrire
an i An' i
on voit que dans un système achromatique de deux lentilles, les pouvoirs dispersifs respectifs des deux lentilles sont proportionnels à leurs distances focales principales.
A l'équation (a) qui définit la distance focale que l'on veutassurer au système, à l'équation (3) qui règle l'achromatisme ('),ilW encore joindre deux conditions pour déterminer les quatre rayon». Généralement, on prend R a =— Rj, de manière que les faces en regard des deux lentilles s'adaptent exactement l'une sur l'autre.
Reste à fixer une dernière condition : on s'imposera que l'aberration de sphéricité soit minimum (').
(') On appelle souvent pouvoir dispersif total, ou simplement pouvoir dtpWi
le rapport — de la différence des indices extrêmes (au point de nie p-
tique) à l'excès de l'indice moyen sur l'unité. Pour la plupart des verres, M c ' de la température sur le pouvoir dispersif est beaucoup plus marqué que sot la réfraction (Hastings, American Journal of Sciences; 1878).
(■) Ces équations établies dans l'hypothèse de lentilles infiniment minces deviennent presque exactement aux objectifs astronomiques.
( 3 ) L'indice du flint étant peu différent de celui du crown, la condition esl sensiblement la même que pour une lentille unique. Le rayon de courbure « la face d'entrée doit donc être à très peu près le i/6 de celui de la face de sort*
La condition d'achromatisme (3) suppose la connaissance du
rapport . ,• Si les différents indices des verres sont fournis par le
fabricant ou ont été mesurés directement, Ara et An' se trouvent en effet connus.
Sinon, on taillera dans les deux verres deux prismes d'angles quelconques, mais petits, a et a', on achromatisera successivement chacun de ces prismes à l'aide d'un prisme d'indice 91, en amenant l'angle variable de ce prisme d'abord à la valeur a puis à la valeur a\ ce qui donnera deux équations d'où l'on tirera le rapport cherché.
Prismes achromatiques. — En effet, un prisme de petit angle A, traversé à peu près normalement par un faisceau de rayons homogènes (rouges), imprime à ce faisceau une déviation
Un second prisme, placé en sens contraire, produit une déviation
inverse
La déviation totale due au système des deux prismes est donc
Elle aura la même valeur pour un second faisceau de rayons (violets), si l'on a
AAti-A'A/i'=o, (4)
Telle est la condition d'achromatisme d'un couple de prismes. Appliquons-la aux deux phases de l'expérience décrite plus haut :
i° Le prisme a est achromatisé par un prisme a
aAw — aA9l=o; ( f ) On a en effet, vu la petitesse des angles,
ï = nr\
2° Le prisme a' est achromalisé par un prisme a'
a'àn' — a' A9l=o.
De ces deux équations on déduit
Diasporamètres : Roscowitch, Rochon, Brewster. — Le diaspor mètre (fecumpci, dispersion; |*itpoi>, mesure) est un prisme à ang variable, disposé pour la mesure en question.
Kg- 3?9
Le plus simple théoriquement est le diasporamètre de Bosc< witch : une gouttière cylindrique DE creusée dans un bloc d verre reçoit un demi-cylindre ABC, du même verre, qui peut étt mis à l'inclinaison voulue. Mais la taille des pièces est délicate, c le frottement dépolit assez vite les surfaces en contact.
Le diasporamètre de Rochon se compose de deux prismes re« tangles, égaux, ACB, ACD, pris dans le même verre, et accolt par une de leurs faces AC : l'un des prismes ACB est fixe, l'auti est mobile autour de l'axe de l'appareil Om, de manière qu l'angle compris entre les faces externes varie de zéro au doubl de l'angle y de chacun des prismes. Un calcul facile permet d déterminer l'angle x du prisme total correspondant à une rola
(') Si o = A, A' = -, ii : tel serait l'angle du prisme d'indice n' achroma lisant le prisme d'angle À et d'indice n. La déviation, proportionnelle
—^ ■ , , se produit vers la base du prisme formé du verre le moin
dispersif.
tion bi du prisme mobile à partir de l'azimuth zéro, pour lequel il y a parallélisme. Soient en effet Om l'axe de rotation, On la normale par à la face AB, Op la normale par le même point à la position actuelle de la face CO. Le plan Omn est section principale du prisme AGB, le plan Omp section principale du prisme
Fig. 38o
ACD, le plan Onp section principale du prisme total. Si donc nous décrirons de comme centre une sphère avec un rayon égal à l'unité; dans le triangle sphérique mnp nous avons m = m, mn = -{, mp = y, pn=x, et par suite
cosx = cos 1 y-f-sin ï YCOs«, ou, en remplaçant cosx et coswpar i — a sin 1 - et i — 2 sin a ->
formule calculable par logarithmes.
Pour se servir de l'instrument, on le dispose à la suite du prisme à essayer éclairé par la lumière du jour, et l'on reçoit dans l'œil cette lumière à travers le système. On fait tourner le prisme mobile du diasporainètre jusqu'à ce que toute coloration ait disparu. On a alors achromatisé le prisme en expérience, non pas pour deux lumières choisies à l'avance, mais, ce qui est plus pratique, pour les deux lumières (le jaune et le bleu) qui donnent le mieux satisfaction à l'œil.
Il y a toutefois dans le maniement de l'appareil quelques tâtonnements provenant de ce que, quand on fait tourner le prisme m* bile, la section principale du prisme résultant tourne également, el il faut déplacer le prisme à l'étude de façon à remettre les déni sections principales dans le même plan. On évite cet inconvénient en rendant mobiles les deux prismes du diaspora mètre, et en les faisant tourner de quantités égales et contraires, comme Fa indiqué Jamin: la section principale du prisme résultant demeure alors fiie, et l'angle o> est le double de l'angle dont a tourné chacun des prismes.
Le diasporamètre de Brewster est plus simple et plus précis. II repose sur ce principe : si Ton regarde une fente à travers un prisme
Fig. 38 i
déterminé d'angle faible y dont l'arête fait un angle w avec la direction de la fente, le spectre est égal en largeur à celui que fournirait un prisme de la même substance, d'angle y cos <o. En effet, soit / la largeur du spectre quand le prisme est parallèle à la fente, si nous inclinons le prisme d'un angle w, l'épanouissement du spectre d'un point de la fente restant le même dans le plan de la section principale du prisme, quelle que soit l'orientation de ce plan, la largeur comptée perpendiculairement à la fente, c'est-à-dire dans une direction inclinée de a) sur la section principale, sera /cosw; elle sera la même que celle du spectre produit par un prisme d'angle Ycoswdont l'arête serait parallèle à la fente. Cela posé, on observe la fente an travers du prisme à étudier a, établi parallèlement à la fente. et au travers d'un prisme-type y, placé d'abord exactement en sens inverse. Nous admettrons que dans cette position la dilatation causée par le prisme-type soit supérieure à celle que provoque b
prisme a. On pourra toujours trouver une position <*> du prisme y pour laquelle la fente sera vue sans irisation; on aura alors
a&n=y cos o) A9I.
En opérant de même avec le prisme a\ on sera conduit à une équation toute semblable
a'Arc'=YCOS<o'A9l,
d'où Ton tirera
An __d cosw A/i' a cosw'
Spectre secondaire, tertiaire,... — Quand par un système de deux prismes (ou de deux lentilles) on imprime même déviation à deux rayons simples, on résout à la fois la question pour une infinité d'autres couples satisfaisant à la même condition
AA7i=A'A/z f . (4)
Dans le spectre résultant ou spectre secondaire, suivant chaque direction se superposent deux rayons de réfrangibilités différentes, la déviation présentant un maximum ou un minimum pour la couleur de longueur d'onde X telle que
Si cette longueur d'onde est le vert par exemple, le spectre est replié sur lui-même à partir du vert et forme une bande sensiblement blanche dans toute sa partie moyenne, mais verte sur l'un des bords et teinte sur l'autre de pourpre provenant de la superposition du rouge et du violet.
Avec trois prismes ou trois lentilles on aurait un spectre tertiaire
(') Si nous nous reportons à l'équation (4) (p. 495) qui définit la dispersion élémentaire, et si nous écrivons que la dispersion relative à une variation dk de la longueur d'onde est nulle pour un système de deux prismes inverses, i et a, juxtaposés, nous avons
sin A 2 dn 2 sin A t dn
cos t's cos r'2 dx cos i\ cos r â rfx '
équation qui se réduit à celle du texte quand les angles sont très petits.
replié deux fois sur lui-même et par conséquent encore plus resserre et plus décoloré. Si par exemple la déviation était maximum pour le jaune et minimum pour le bleu, le spectre se réduirait à un
Kig. 38a
trait blanc, à peine teinté de rouge sur l'un des bords et de violet sm l'autre. On construit en effet des lentilles à trois verres ('), formées d'une lentille divergente en flint comprise entre deux lentilles codvergentes en crown.
