SA S . S

0%X'=^ — • 1- -;%X H ; • or,

d» * Il X ou j:=- h •

Concevons maintenant qu'on fasse dans le triangle DEC, la même construction que dans le triangle BAC. Alors le triangle DEC sera décomposé en un parallélogramme et en deux triangles partiels; de sorte qu'en nommant jt" la distance analogue à x ^ et observant que la hauteur

des nouveaux triangles partiels est -7 ou la moitié de la

hauteur du triangle DEC, on aura comme ci-dessus

h al'

En continuant la même construction , on aura de même

ifi '*' X

x"\ x^^'y,. désignant, pour les triangles partiels successifs, les distances de leur centre de gravité à la base BC^ distances qui vont sans cesse en diminuant , et sont toujours plus petites que les hauteurs des triangles relatifs, de sorte que la dernière x^ peut être rendue plus petite que toute quantité donnée.

Si donc on met successivement dans la première équation, à Xj x'\ ;r'",...a:^ leurs valeurs tirées des équations suivantes , on aura

DBS CBRTRBS DB GRlTTui. II7

dont le dernier terme peut être rendu plus petit que toute quantité donnée, en prenant m suffisamment gcand. On a donc rigoureusement (*)

On prouvera de méme^ en prenant AB pour base du Fig. 47 triangle ABC , que la distance de son centre de gravité à a base AB se trouve au tiers de la hauteur â' en partant de la base. Donc ce centre est au point dlntersectien G des deux parallèles EF, HL, menées aux côtés

BC, AB,aux distances ' tt-. Or, d*après la construction,

Dn a

CF = :^, et AL=^;

donc les points F, L, partagent CA en trois parties égaes. Or de AL = LF, on conclut EG = GF, et par suite 3D = DC. Donc enfin le centre de gravité G du triangle ABC se trouve sur la droite AD , menée du sommet V. au milieu de la base BG^ et à une distance de cette )ase , égale au tiers de la hauteur du triangle.

i4y» CoROLLÀiRB I. La distance du centre de gravité Vun triangle y a un plan situé dUme manière quelconque lans l'espace y est égale à la moyenne distance de ses trois ommets au même plan,

(*) Nous avons fait voir dans notre Algèbre (n** 286, 3**} u'une progression décroissante et prolongée à Tinfini, dont le remier terme est a et dont la raison est q^ a pour somme de

>us ses termes l'expression

11 8 fcftA»tTÂi IV.

Car si Ton conçoit trois masses égalée dont les centres Fig* 47* de gravité soient aux trois sommets d*un triangle ABC, la distance dû centre de gravité du système à un plan quelconque égalera (iSj) la moyenne distance des centres de gravité des trois masses à ce plan. Or on trouYe le centre de gravité du système^ en prenant d'abord, par exemple, celui des deux masses B, G, qui est au milieu D de BG, et divisant AD au point G, en dbux parties réciproquement proportionnelles àùx hôihbt^ a et i. Gomme la même cohstructioii donne aussi {i^iy ^^) ^ centre de gravité du triangle ABCi on en conclut l'énoncé du corollaire.

i48. Problème III. Déterminer le centre de granté (Tûn trapèze?

La détermination du centre de gravité d'un trapèze serait peut-être mieux placée comme corollaire ou re" marque du n^ i44; niars nous atohs préféré l'exposera part, pour mieux séparer les articles.

Fig. 4^* Soit le trapèze ABGD. Si Ton prolonge les deux côtés non parallèles jusqu'à leur rencontre en E, on aura deux triangles semblables EBC, ÈAD. La droite EG menée du sommet commun A, au milieu G de la base AD , passant aussi par le milieu F de la base BG , contiendra donc les centres de gravité des deux triangles , et par suite (i36) celui du trapèze ABGD ifprmé par leur différence. On obtiendra donc le centre de gravité du trapèze, en déterminant, soit sa distance ^ à la base AD, soit sa distance / à la base BG , ou bien, ce qui est plus simple ici, le rapport de ^ à j.

Or, si Ton désigne par kl, A, les hauteurs des triangles AED , BEG , et par H* la surface ou le poids clu triangle AED, h^ sera le poids du triangle BÈG, et (H* — /**) celui du trapèze ABGD. Prenant lés moménià

DES cbutrbs db «mAviTB, 119

de ces poids par rapport à la base AD, on a H* • -^ pour

celui de H% h^f-^ + U — n\ pour celui de h% et

or (H — h) pour celui de H* — A*. Le premier moment devant égaler la somme des autres, on a donc

d'où Ton tire 3(H» — A»)^=ff — 3A'H + 2h\

On trouverait de la même manière une équation en^; mais on l'obtient plus simplement en observant qu'on a ^zzz(H — A) — ar, d'où a? = H — A—/. Substituant à a: cette valeur dans l'équation précédente, il vient, après la réduction ,

Divisant les deux équations, membre à membre, on a

:g H3— 3A'H+2A^ (H— A)' (H+2 A) H + >A X~ A3— 3H^A+2ff ~(H— A)' (A 4-2H)~ A + aH'

d'où ^:7::H + aA: A + 2H;

et enfin^ en remplaçant les hauteurs H, A, par les bases B| by qui leur sont proportionnelles ^

^ :/ :: B + ai : i •+• aB.

Par conséquent,

Le centre de gropité d*nn trapèze est sur la droite joi^ gnaht les pûinti milieux des deux bases ^ et divise cette droite en deux parties proportionnelles aux deux sommes qv^on obtient en ajoutartt i^ la première base à deux fols lu seconde y !i® la seconde basé à deux fois la première.

D'après cela, si Ton prolonge BC, vers la droite, d'une lon^enr CH égale à AD , et AD, tcts la gauche , d'une iMguetÉt AI ^^M « BO, fa ^oitè meàréé dti point H

laO GHÀPITHB IT.

au point I, coupera FG en un point O, qui sera le cen* tre de gravité du trapèze ÂBGD.

En effet, les triangles semblables OIG, OFH donnent la proportion

OG:OF::IG:FH:: ifi+A :-i+B::B + ai: i + aB.

i4g. Remarqué. On peut observer que, i^ La proportion précédente convient à tous les trapèzes qui ont des bases proportionnelles ; car elle ne dépend pas de la hauteur du trapèze, mais seulement du rapport des bases.

a® Lorsque les bases sont égales, on a :r =/. En effet, le trapèze devient alors un parallélogramme.

3** Lorsque Tune des bases b est nulle, on a^=-?

comme cela doit êtrej car le trapèze devient un triangle dont la base est B.

i5o. Problemb IV. Déterminer le centre de gravité i^du volume d^un prisme triangulaire^ a® du volume d*un prisme quelconque?

Pîg'AQ. 1° Soit le prisme triangulaire ABCDEF. Si Ton mène, à égale distance des bases ABC, DEF, un plan HIL, qui leur soit parallèle, ce plan partagera chacune des arêtes latérales AD^ BE, CF, en deux parties égales aux points H, I, L, et coupera le prisme suivant un triangle HIL, dont les côtés seront égaux et parallèles aux côtés des bases. Or , il est facile de faire voir que le centre de gravité du prisme n'est autre que le centre de gravité du triangle HIL.

En effet, concevons le prisme comme composé d'une infinité de tranches très-minces, telles que adjc, parallèles à Tune des faces latérales ADFG. Le plan HIL coupera toutes ces tranches suivant des droites, telles que A/, parallèles à HL, et la droite IM, menée du point I au

DE5 GBRTRBâ DB GEÂTITE. I^I

milieu M de HL, passera de même par le milieu 6 de toute droite telle que hl. Or (i43) 1^ points M^ G sont les centres de gravité des parallélogrammes ADFC, adfc\ donc la droite IM contient les centres de gravité de toutes les tranches parallèles à la face ÂDFC^ et, par conséquent, celui de leur système ou du prisme AF. Par la même raison, le centre de gravité du prisme doit se trouver sur la droite LN menée du point L au milieu N de HI. 11 sera donc au point d'intersection G des droites IM, LN, qui est (141) le centre de gravité de la section HIL. Donc, le centre de gratuité d'un prisme triangulaire se trouve au centre de grai^ité de la section faite dans le prisme parallèlement aux bases y à égalé distance de chacune déciles.

De plus, si Ton mène par le point G une parallèle G'G" aux arêtes latérales du prisme, il est clair que les points G', G", où elle rencontrera les bases ABC, DEF, seront situés dans ces triangles, absolument de la même manière que le point G dans le triangle HIL; donc les points G', G" seront les centres de gravité des bases du prisme.

Donc aussi , le centre de graifité d^un prisme triangu^ taire est au milieu de la droite qui joint les centres de graifité des deux bases.

a® Gomme un prisme quelconque peut se décomposer en prismes triangulaires, si Ion détermine, comme cidessus, le centre de gravité de tous lesprismes partiels, les poids de ces prismes seront des forces verticales proportionnelles à leurs volumes, et applic^uées à leurs centres de gravité. Déterminant alors le centre de ces forces parallèles par leur composition successive, on trouvera facilement le résultat suivant :

Le centre de gratuité d'un prisme quelconque est le même que celui de la section faite dans le prisme parai'

UleniéHt àU± halfèà^ à égale éHsmnce de chacune d^ellei, Oil bien eiiiK)iie : Le centre de granité d*an prisme qUelèonque est au miUeu de la droite qm joint tes centrés ii jgràvité des deux baèeÈ opposées.

iSï. Remarque. On peut appliquer aci {irtstne trian* gulaire une dëmonstration tout à fait analogue à cdie qu'on a donnée plus haut (i46) poùl' le triangle. Gaflâ théorie des moments fournit le moyen de déterminer très-simplement la distance du centre de gravité du prisme à chacune de ses faces latérales et de ses bases. Fig. 5o. Pour trouver, par exemple, la distance x du centre de g^atîté du prisme ABCDEF, à la face ABED , «iénons par le milieu a de AB, deux plans adfcy adeb^ respectivement parallèles aux faces ADFC, BEFC. Le prisme donné sera décomposé en un parallélipipède aF, équivalent à là moitié du prisme, et en deux prismes triangulaires AbaDedj acBdfE , égaul entf e eux. Le moment du prisme, par rappott à un plan quelconque, égalera donc la somme des moments du parallélipipède et des deux prismes partiels. Or, si Ton représente par V le volume du prisme donné , et par h la distance de l'arête CF à la face parallèle ABED , on aura

vol. ABCDEF =V, vol.aF=-,

vol. AiàDed=zv6l, acBd/E = — •

Donc, en prenant les moments par rapport à la face ABED,

1° Le Qiotnent dii prisme donné sera Y^;

VA 2* Le moment du parallélipipède sera — • - ; car

son centre de gravité , se trouvant au milieu de la diagonale a¥ (ï45)) ^st donc à une distance ~ de la fiice ABÈD;

DBS CBtrikEè n Ifi^ftàyiTB. liS

3^ Lé hiottiént dfe tiiâctin deé f>rtitkilâ ^nids sert

-T • y^ en désignant par x' les distances de leurs centres

de gravité au plan ABED, distaAcésr évidemment égalée entre elles.

On atihi donc