F,V (PD
(NQ), -- (A.T), '
faisant le produit des extrêmes et des moyens, on a .
(F,),X(AJ), = (NQ),X(PD),.
Mais le premier membre n*est autre que le moment de la force F^ par rapport au point M, d'après Tégalité (i), on a donc
ce qui démontre le théorème.
118. Application J. — Moment de la résultante de plusieurs forces par rapporta un point du plan,
La résultante est la force sur laquelle se croisent les rayons initial et final du funiculaire- (fig. 63).
Le moment de la résultante par rapport à un point M du plan s'obtient (n** 117) en menant par le point M une parallèle à la direction de la résultante. Cette parallèle coupe les rayons initial et final en des points N et Q et on a
;mMR = (XQ),X(PD\,
PD étant la perpendiculaire abaissée du pôle sur la résultante, dans le dynamique.
119. Application II. — Moment d^une résultante partielle par rapport à un point du plan.
Considérons quatre forces F^, F^, F,, F^ ^fig. 67) situées dans le même plan, traçons le dynamique ^^fifJJix ? prenons un pôle P et menons les rayons polaires o, i, a, 3, 4- Construisons le funiculaire.
PRINCIPES DE STATIQUE GRAPHIQUE loS
Ceci posé, considérons deux forces Fg, Fg, et cherchons la résultante de ces deux forces. Le dynamique relatif à ces deux forces est ff^f^ et la résultante partielle de FjjFg est /j/à en grandeur et en
Fig. 67.
direction. Pour avoir sa position, du pôle P, on mène les rayons polaires i, 2, 3 ; les rayons initial et final sont alors i, 3 qui se coupent en un point K qui est un point de la ligne d'action de la résultante partielle.
On mène alors par K une parallèle à f/^ on porte sur cette parallèle un segment égal à f/^ et on a la résultante R' des deux forces Fg, Fg.
Son moment par rapport à un point M du plan s'obtient en menant par M une parallèle à la résultante partielle fj'^ ; cette parallèle coupe les rayons initial et final i, 3, en des points N et Q et on a
OILm(R0=(NQVx(PD)„
PD étant la perpendiculaire abaissée du pôle sur la résultante partielle ^^/g.
^'tI
io6
Cette construction ne réussit que pour des forces consécutives dans le dynamique total.
120. Cas des forces parallèles. — Considérons des forces parallèles (fig. 68) F^, F,, F,, F^, de même sens, situées toutes dans un même plan et appliquées à un corps solide. Construisons le dynamique.
Oa
Fig. 68.
Comme les forces sont parallèles, les forces ^, ^, /"g, f^ respectivement égales à F^, F^, Fg, F^ seront, dans le dynamique, en ligne droite sur une droite j??/ parallèle à la direction des forces.
Prenons, au voisinage du dynamique, un pôle P et menons les rayons polaires o, 1,2, 3, 4«
La résultante du système est représentée en intensité par la longueur Of\ ; sa direction est celle des forces.
La distance polaire PD est la même pour toutes les forces et pour simplifier le calcul des moments
on prend quelquefois PD = i, c'est-à-dire que Ton prend la distance polaire égale à l'unité de longueur, ou encore PD = lo.
Traçons le funiculaire : oA^A2AgA^4«
L'intersection des rayons initial et final donne un point I qui est un point de la ligne d'action de la résultante ; et comme elle est parallèle aux forces données et d'intensité donnée par le segment 0/*^ elle est donnée en grandeur et en position par la droite
Le moment de la résultante par rapport à un point M du plan se détermine en menant par M une parallèle à la direction des forces. Cette parallèle coupe les rayons initial et final o, 4 en des points N et Q et on a, si (PD)^ = i ,
011mR=(NQV
Si l'on considère la résultante partielle de deux forces consécutives F^ et F„ elle est égale à leur somme ; les rayons initial et final o et 2 se coupent en un point K qui est un point de la ligne d'action de cette résultante partielle.
On mène alors par K une parallèle aux forces et on porte sur cette parallèle un segment égal à O/^ ; on a ainsi la résultante R' des deux forces F'^, F,.
Son moment par rapport au point M du plan s'obtient en menant par M une parallèle à la direction des forces ; cette parallèle coupe les rayons initial et final o, 2 en des points N et V et on a
DKmR' = (NV)^,
toujours en supposant (PD)^= i.
