COPIE ET RÉDUCTIONS DES CARTES ET PLANS

268. Si l’on veut reproduire un dessin à même échelle, on en partage la surface en carrés ou rectangles par deux systèmes de lignes parallèles tracées légèrement au crayon : on trace, sur une feuille de papier, un même nombre de carrés égaux à ceux de l’original et l’on y dessine de proche en proche tous les détails compris dans les rectangles correspondants de la minute; cette opération se fait, soit à vue, soit en rapportant chaque point par des coordonnées, soit enfin eu décrivant deux arcs de cercles dont il est l’intersection. Les directions des lignes droites s'obtiendront en plaçant deux de leurs points, ou en les imaginant prolongées jusqu’à la rencontre des côtés du rectangle qui les comprend, et en reportant les points de rencontre au moyen du compas. Dans les parties du dessin plus chargées de détails, on pourra multiplier les carreaux ou les diviser par des diagonales.

259. Si le dessin à copier est trop précieux pour y tracer aucune ligne, on pourra le couvrir d’un papier transparent ou d’un verre sur lequel on établira toutes les lignes de construction. Lorsqu’il n’est pas chargé de détails, ou que l'échelle est un peu grande et le trait assez apparent, on peut le calquer à la vitre sur le papier même qui doit recevoir la copie. Si l’on n’y voit pas assez clair, c'est une feuille de papier transparent (huilé, végétal ou de gélatine) que l’on calque d’abord, puis on reporte cette première copie sur la feuille à l’aide de papier plombé.

260. S'il s’agit de changer l’échelle de la copie de telle sorte que les côtés homologues soient dans un rapport donné on

commence par tracer un cadre dont les côtés soient dans ce rapport avec ceux du cadre de l’original; puis on le divise en un même nombre de carreaux. On opère ensuite comme ci-dessus, en réduisant toutefois dans le rapport indiqué les longueurs prises au compas sur le modèle. On se sert pour cela ou d’un angle ou d'un compas de réduction.

Pour construire un angle de réduction, on trace deux lignes AB,BC (/ig. 197) de longueurs telles que l’on ait ^ =r^ ; on achève le triangle en unis.saul A et (i, puis on mène dans l'inté-

RfÎDUCTIONS DES CARTES. 201

rieur des parallèles à BC, qui forment ainsi une série- de triangles semblables. Il résulte de là qu’une ligne telle que bc est toujours la réduction de la base correspondante A6. II est superflu d’ajouter que les droites AB,BC font entre elles un angle quelconque.

261. Le compas de réduction se compose de deux branches AD, BC {fig. 198) se croisant en un point O, qui est la charnière du compas dont A,B,C et D sont les pointes ; les branches sont disposées de manière que toujours la ligne qui unirait A à B soit parallèle à celle qui irait de C en D : il s’ensuit que l’on a AB ; CD ;; AO ; OD, et par conséquent que CD étant la longueur d’un edté sur le modèle, AB sera son homologue sur la copie, si l'on a pu établir d’avance entre AO et OD le rapport des deux échelles. C’est à quoi l’on parvient facilement en raison de la construction de l’instrument. Le pivot O {fig. 199) traverse les joues du compas par deux fentes longitudinales dans lesquelles on peut le faire glisser, seulement quand elles se superposent. L’une des branches AD porte des graduations qui indiquent que le pivot leur correspondant, le rapport de AO à OD est j, i, J, J, etc.

262. Quelquefois, les points principaux du dessin à réduire sont d’avance placés sur la feuille de la copie, mois dans un autre système de projection : on ne peut alors diviser l’original et la copie en un nombre égal de carreaux, puisque les projections d’un même point n'occuperaient pas identiquement la même position dans deux carrés homologues. On commence, dans ce cas, par unir tous ces points principaux par des lignes qui forment une suite de triangles un peu dissemblables sur l’une et l’autre feuille, en raison de la dilTérence de projection, puis on divise de la même manière les triangles correspondants.

263. Si l’on demande que les surfaces et non les côtés homologues soient dans un rapport donné p: g ; en représentant par S, S', A, A' les surfaces des deux dessins et les deux côtés homologues, on aura Si S'y. A* ; y. pi q, d'où A' = A Pour trouver A', on peut employer la méthode graphique suivante :

Sur une droite, on porte bout à bout deux longueurs BE,CE {fig. 200) entre elles comme p et q. Par le point E, on élève une perpendiculaire, et sur BC, on décrit une demi-circonférence : unissant leur point de rencontre D à BetC, on forme deux triangles semblables qui, ayant même bautour, sont entre eux comme

leurs bases : leurs surfaces sont proportionnelles aux carrés des

cèles homologues, donc BD ; CD' ‘ BE : EG. En faisant le rapport des cùlés pour les deux dessins, le même que celui de BD à CD, on aura donc résolu le problème. On peut, si l'on veut, dans l’angle BDC, mener des parallèles à la base, et l’on est assuré que les portions de l’un des côtés de l’angle limitées à ces parallèles sont les réductions des portions correspondantes sur l’autre.

11 sera toujours facile de déduire l’échelle nouvelle de la construction précédente : en elTel, si l’échelle première est on porte sur BD un décimètre, par exemple de D en G ; il représente 1000“ } et par conséquent DH équivaut également à 1000” sur le nouveau plan. On mesure DH et l’on trouve que cette ligne d 0 ",025, supposons; il s'ensuit que 0'”,025 représente 1000”,etqqe l’échelle nouvelle est . Les différents moyens que nous venons d’indiquer deviennent fort longs quand il s’agit de plans détaillés et d’une grande étendue : on y supplée par l’emploi de deux instruments qui abrègent beaucoup les opérations et dont nous allons donner la description et indiquer l’usage.

264. Pantographe. Cet instrument se compose de quatre règles AB,DC,AD,BC égales en longueur, ou tout au moins égales deux à deux : elles sont unies par quatre articulations A,D,C,D (fig, 20 1), de manière que leur ensemble forme toujours un losange ou un parallélogramme dont les angles seuls varient. A un point fixe K est adapté un calquoir ; en M est placé un axe vertical traversant une douille qui est adhérente à lu branche CD- Tout l’instrument peut ainsi se mouvoir autour de cet axe qui est maintenu par une masse de plomb dans laquelle jl est vissé. Pour rendre plus doux les mouvements du pantograpbc, il repose sur des roulettes placées en A et aux extrémités des côtés AD,AD prolongés.

Cela posé, démontrons que si un crayon est fixé en P sur le prolongement de AD et à la rencontre de la droite MK, il décrira une figure semblable à celle que l’on fera parcourir au calquoir, et de plus le rapport des côtés homologues des deux figures sera le môme que celui des distances de P et K au pivot M : en effet, les côtés AK cl DM étant constamment parallèles et de longueurs invariables de môme que AP et DP, il en résulte que les triangles AKP,DMP sont toujours .semblables et fournissent les proportions {(ig. 202)

AK : DM Af '. oi‘ :: KP ; MP, A'K' c D'M ; ; a'P' ; D'pt ; ; k/|» ; mp'

nitDDCTIPKS DG8 C.AIITRS. ' idtli

etpuiaqae AK m 4%', PM» D'il ou dédail kp ;c<P';:pm : ou KM+MP ; K'M+HP/;:PH ; P'M et enfin km : KW ;; PM ; piM.

11-csl évident maintenant que les triangles KK'M,PP'M sont semblables, puisqu’ils ont un angle égal M compris entre des côtés homologues proportionnels : ainsi, les lignes KK' et PP' parcourues par le calquoir et le rayon sont parallèles, et dans le même rapport que KM et MP.

265. Si l’oD veut que les échelles des deux plans soient entre elles comme m et n, il faut faire en sorte que KM et MP le soient aussi. Reste donc à trouver la position de M sur DC, et celle de p sur AD qui satisfassent à cette conditiou.

La comparaison des triangles semblables AKP,DMP donne AK ; DM ; ; KM H- MP : MP et AD : DP : ; KM : MP. Désignant par O et 6 les longueurs constantes AD et AK, par xely les variables DP et DM, et substituant m et n aux lignes MP et MK, les deux proportions ci-dessus se transforment en

I ÿ ; ’ O ; «1 fl O ; X ; ; n ; m.

d’où

En attribuant des valeurs diverses à m et à n, on a calculé celles de x et dei/ correspondant ù différentes échelles, et on les a tracées sur les deux branches du pantographe. On peut s’assurer de l'exactitude des nombres trouvés pour .r et?/ en plaçant une règle sur K et M ; puis en voyant si elle passe bien par le point P trouvé.

266. Micrographe. Cet instrument, que l’on nomme aussi prq-, topographe^ diffère du précédent en ce que ce n’est pas par déplacement des points P et M [fig. 203) sur les règles DC cl AD qu’on modifie le rapport des échelles, mais par celui des depx pivots R et D. Puisque .M est invariable déposition sur DC, nous pouvons l’établir en C : ceci n’est au surplus d’aucune importance.

267. Comme pour le pantographe, la similitude des trianglea AKP,DMP entraîne toujours celle des figures parcourues par K cl P. Dans ce premier iustrument, nous avons calculé DM et DP en fonction des constantes AD et AK que nous désignions par a et b ; dans le micrographe, e’est en fonction de la même longueur

TOPOGRAPHIB.

AK ou b et de AP qui est ici la seconde constante a qu’il faudra trouver les inconnues MD =}/, DP=x : nous aurons toujours

DM : AK :: PM : pm + KM, c’est-à-dire y—

Pour trouver DP, que nous nommerons x, nous aurons

DP;AP;;CP:PK d’oii * — a-ï-

Ordinairement, les deux règles AK et AP étant égales de longueur, o=à et les expressions de x et de y sont égales entre elles

et représentées par b

S’il s’agit de copier un dessin à la même échelle ou de le réduire, on a

pour

Xr=}4

y=}4, etc

268. Les règles AP et MB portent des divisions AD, Ad, Ad', Ad", etc., mB,mb,mb',mb", {fig. 203), qui sont la moitié, les deux tiers, les trois quarts, etc., de AP ou de son égal AK. Les règles AK,MD seront divisées de manière que AB, Aà, Ab', etc., MD, md,tnd', etc., soient la moitié, le tiers, le quart, etc., de la même longueur AP. Quand on fera correspondre AB avec MB et AD avec MD, on sera certain que la copie aura même dimension que l’original : si ce sont les divisions Aà,mà,Ad, md, que l’on réunit, la copie sera au tiers du modèle, etc.

Des trous sont percés à ces points de division de manière à y pouvoir placer à volonté les pivots B et D {/ig. 204). On pourrait encore mieux pratiquer de longues rainures dans les quatre règles, ce qui permettrait des divisions beaucoup plus rapprochées que ne le comportent les trous entre lesquels il faut, pour la solidité, laisser un certain intervalle. En G est une pointe d’acier qui entre dans la table pour fixer l’instrument et autour de laquelle se meut le micrographe. Des roulettes adaptées en A, B et D rendent plus doux le jeu de l'instrument,

RÉDICTIONS DES CARTES. 265

269. Nous ajouterons à la théorie du pantographe une courte description de sa construction. La figure 202 n'en donne que les lignes mathématiques : la figure 205 présente les coulisses dans lesquelles on place le calquoir K et le crayon P, les roulettes adaptées aux moyens de pinces aux extrémités des branches extérieures de l’instrument, la tige à laquelle tient le crayon et qui est surmontée d’une cuvette dans laquelle on peut placer un poids plus ou moins considérable, en raison de la dureté du crayon et de l’intensité du trait que l’on veut obtenir. Le fil indiqué par une ligne ponctuée passant par l’agrafe du pivot A tient à la partie inférieure du porte-crayon et traverse le tube dans lequel il a la faculté de monter et de descendre. Le dessinateur en tient constamment l’autre extrémité, de manière à soulever le crayon et éviter qu’il trace une ligne sur le papier, lorsqu’il veut porter le calquoir sur un autre point de l’original.

L’axe vertical M traverse la branche CD et est vissé à sa partie inférieure dans une masse de plomb garnie en dessous de pointes d’acier très-courtes et très-aigués qui assurent la position du pantographe. Des vis de pression placées sur les trois coulisses de K, M et P en arrêtent le mouvement lorsqu’elles sont une fois placées convenablement. Deux séries de divisions sont tracées sur les deux branches DC et DP. L’une donne des positions correspondantes de M et de P pour reproduire un dessin de manière que les cAtés homologues soient dans un rapport donné : l’autre sert lorsque c’est le rapport des surfaces qui est déterminé.

270. Pour obtenir les graduations relatives à cette seconde circonstance, nous allons modifier les expressions de x et p trouvées

plus haut ; elles sont x=a^.ÿ=6j^^ pour le pantographe, et

= * micrographe.

Si les surfaces doivent être dans le rapport de pà 7, on aura, en désignant par S, S' les surfaces , et par A, A' deux cêtés homologues de la minute et de la réduction

s ; S' :: A» : Al* ; ; P : 9 ; mais on a aussi A : A' :: w : « donc m : n : ; Vp : i/9

d’où |Xè.2î___±ï IL^~ —

n y (/’m+n Vp+V?

TPPOGBAPIIIE.

et ainsi, pour le pantographe !® micographc,

4j=6^^;r^— , et pour l’un et l’autre

271. t'c serait une opération peu exacte que d’augmenter les dimcnsionsdc la copie, c’est-à-dire depasserd'une petite échelle à pne grande. Si cependant on avait besoin procéder de la sorte pour qn motif quelconque, op conçoit que ftcn ne serait plus simple : il sullirait en effet do changer de place entre eqüt le çalquoirct le crayon ; si les échelles devaient être dans le rapport de 1 à 3, on amènerait les index des coulisses M et P aux divisions qui, sans cette mutation, auraient donné celui de 1 à;-

272. Les deux instruments et leurs mêmes divisions serviraient encore à reproduire les dessins, si le pivot était mis en P et le crayon en M : ici, les figures semblables des deux dessins seraient tournées dans le même sens par rapport au dessinateur, tandis que l'une d’elle est renversée dans l’état habituel de l’instrument. Il y aurait un inconvénient : ce serait d'établir les deux feuilles trop près l'une de l’autre j elles se superposeraient pour peu que leurs surfaces eussent trop d’étendue.

273. Si le pantographe était dépourvu de division.s,on pourrait encore opérer par tâtonnements. On disposerait le pivot, le ealquoir et le crayon en ligne droite, et l’on ferait parcourir au calquoir, une ligne quelconque de la minute : on verrait si le trait produit par le crayon est à cette ligne dans le rapport voulu. S’il n'en était pas ainsi, on déplacerait le pivot dans le sens convenable, on modifierait la position du crayon, pour toujours satisfaire à la condition que K, M et P soient en ligne droite, et l’on ferait un nouvel essai.

274. Si le dessin à réduire est d’une grandeur telle qu’on pe puisse se dispenser de déplacer le pantographe durant l’opération, il faudra, avant ce dérangement, tracer des lignes de repère homologues. Soit AB, ab ces deux lignes : après avoir donné à l'instrument sa nouvelle position, on place lé ealquoir sur A et on amène a de la copie sous la pointe du crayon : par le mouvement général on fait dévier le crayon, pour permettre d’enfoncer une aiguille en a ; on place le ealquoir sur B; puis on fait pivoter autour de a la feuille de la copie, jusqu’à ce que b arrive préci-