CHAPITRE VII

ABERKATION DE RÉFSANGIRtLITÉ.

342. Au numéro 287 nous avons énoncé ce fait, qu’un rayon lumineux incolore n’est autre chose que l’assemblage de rayons diversement colorés et doués de réfrangibilités différentes. Les sept nuances en lesquelles on les distingue sont : le violet, l’indigo, le bleu, le vert, le jaune, l’orange et le rouge. Le rayon violet est celui qui, en passant de l’air dans un milieu transparent plus dense, dévie le plus de sadirection première -, le rouge, au contraire, est celui qui s’en écarte le moins. 11 ne serait pas exact de dire que le rayon blanc n’est composé que de sept éléments diversement colorés ; il est formé par une infinité dont les nuances passent insensiblement de l’une des sept couleurs primordiales à la suivante. Des expériences nombreuses le prouvent. On reconnaît encore que chacune d’elles est simple, en soumettant à un second prisme l’un quelconque des rayons colorés, séparés les uns des autres par un premier. Le rayon soumis à cette épreuve ne se subdivise pas et ne change pas de couleur. 11 est donc indécomposable.

Si l'on emploie deux prismes de même angle réfringent (fig. 43, planche XXll), tournés en sens contraire, lo faisceau lumineux qu’on fait passer à travers les deux sort parallèle à sa direction première et sans altération de couleur. Le premier prisme avait décomposé la lumière blanche, il faut donc que le second l'oit reconstituée.

Les sept rayons colorés réunis par une lentille convergente reproduisent à son foyer un petit cercle blanc légèrement irisé à l’entour.

Lorsqu’au contraire c’est de la lumière blanche qui arrive, sous forme cylindrique sur la lentille, les rayons décomposés qui sont de même couleur, forment un cône dont le sommet diffère de ceux qui appartiennent aux autres couleurs. Ces sommets sont d’autant plus rapprochés de la lentille que la couleur est plus réfrangible. Le foyer violet est le plus près; le foyer rouge est le plus éloigné. C’est le vert qui occupe la position moyenne.

Un écran placé en AB {fig. 44, planche XXU) entre le premier

ABERRATION DE RÉFRANGIBILITÉ. 539

sommet et la lentille, coupant tous les cônes, oITre à la vue un disque blanc dont ab est le diamètre, entouré de cercles dont les nuances sont le résultat du mélange de toutes les couleurs moins une, moins deux, etc., et dont le dernier est rouge.

Si l’écran s’éloigne progressivement, le disque blanc diminue de dimension, pour se réduire à un point au moment où l’écran passe par le sommet du cône violet. Delà au sommet du deuxième cône, le disque , dont le diamètre est d’abord a'b’, pour aller encore en décroissant jusqu’au foyer des rayons bleus, ne serait pas blanc si les cônes s’arrêtaient à leurs premières nappes. Sa couleur serait le résultat de la superposition de toutes les couleurs, moins le violet : mais cette couleur s’y trouve aussi bien que les autres, parce que les rayons violets n’étant pas matériellement arrêtés à leurs foyers, continuent leur marche première.

Le nouveau disque est donc encore blanc; il en est de même pour tous ceux qui se produisent au moment où l’écran atteint chacun des sommets. Les franges continuent à se présenter dans le même ordre, jusqu’à une certaine position CO de l’écran. A partir de ce point, les deuxièmes nappes enveloppant les premières , la série des nuances est renversée de telle sorte qu’au delà de CD le dernier cercle est violet; après cd l’enveloppe extérieure se compose de deux cercles, violet et indigo; après c'd', de trois, violet, indigo et bleu, etc.

Dans l’emploi des lentilles pour la construction des lunettes, le phénomène de la décomposition des rayons est un grand inconvénient. Pour y remédier, on a été conduit, par les nombreuses recherches des savants les plus distingués, à composer l’objecîifde deux lentilles, l’une convergente, l’autre divergente, de matières transparentes, jouissant de certaines propriétés à différents degrés, de telle sorte qu’après le passage au travers des deux, les rayons diversement colorés concourent vers un foyer unique, où se reproduit la lumière blanche dont ils sont parties intégrantes.

343. Afin de bien comprendre ce qui se passe en cette circonstance, il faut savoir qu’il y a autre chose que la réfraction à considérer dans les corps transparents. Si le rayon était simple, tout se bornerait à énoncer que la réfraction est proportionnel le à la densité du milieu : mais le rayon se décomposant, il y a, entre la direction nouvelle des rayons élémentaires extrêmes, le rouge et le violet, une différence de réfraction que l’on nomme

dispersion, et qui n’est pas exactement proportionnelle à la réfraction du rayon moyen (le vert). S’il en était ainsi , on ne pourrait détruire la colorisation des images sans anéantir aussi la réfraction, et par conséquent, il n’y aurait plus d’images formées.

341. Supposons actuellement qu’un rayon lumineux LM (/ig. . 269) ait traversé un prisme dont ABC soit une section perpendiculaire aux arêtes, le faisceau décomposé sera compris entre les rayons extrêmes NO et PQ, en vertu du pouvoir dispersif du verre, et la direction du rayon moyen sera RS; mais, si à ce prisme on en accole un second BCD {fig. 270), dont le pouvoir dispersif soit beaucoup plus grand que celui du premier, tandis que sapuissanee réfraclive serait moins sensiblement augmentée, il en résultera que, le rayon moyen se relevant d’une certaine quantité vers la base supérieure BU, les rayons extrêmes s’infléchiront dans le même sens, et cela d’une manière plus sensible de la part du rayon violet que de celle du rouge. Plus l’angle C du second prisme sera petit, plus les rayons réfractés tendront vers le prolongement de la base AC, mais aussi moins ils auront pu se rapprocher. Si cet angle C est assez grand, ou si la puissance dispersive dusecond prisme est assez forte pourque lesdeux rayons extrêmes se croisent dans l’intérieur, il y a deux circonstances à considérer : en raison de leurs directions, ils peuvent sortir au-dessus ou au-dessous de la normale à la face CD. S’il s’agit du premier cas, les rayons ne se rencontrent pas, et l’aberration de réfrangibilité n’est pas détruite : car le rayon violet (/ig. 271) étant devenu supérieur au rouge et s’écartant plus que lui de la normale , ils restent divergents. S’ils sortent, comme l’indique la figure 272, au-dessous de la normale, le violet tend à se rapprocher du rouge. , '

Résumons en disant que, si la direction du rayon incident, l’amplitude des angles B et C des prismes et leurs puissances dispersivés sont telles que les rayons extrêmes ne se croisent pas dans l’intérieur du second prisme, il faut que les rayons en sortent au-dessus de la normale, pour qu’ils puissent se réunir au delà (fig. 270) : s’ils doivent sortir sous la normale, afin d'être rendus convergents, il faut qu’ils se soient croisés avant leur retour dans l’air (Jig. 272), parce qu’alors le violet, plus voisin que le rouge de la normale, s’en écarte davantage.

345. Ce sont des conditions de ce dernier genre qu’il faut cher-cher à remplir pour arriver à la construction des lentilles achro-

ABERRATION DE RÉFRANGIBILITÉ.

matiques. En cffel, deux lentilles accolées, l’une biconvexe, l’autre biconcave (/îf;. 273), présentent de l’analogie avec deux prismes rapprochés. Ici, les normales venant se croiser sur l’axe commun des lentilles au centre de courbure, les rayons lumineux extrêmes pourront toujours se rencontrer, soit qu’ils sortent au-<lessus des normales, soit qu’ils arrivent dans l’air au-der;;ous. Dans le premier cas, il faudra que les rayons ne se croisent pas dans la seconde lentille. Us devront s’y croiser, au contraire, s’ils sont inférieurs aux normales {fig. 273). C’est de celte seconde façon que sont construites les lentilles achromatiques, parce que la face extérieure du verre biconcave est d’une courbure beaucoup moindre que la face antérieure de la lentille biconvexe» afin que, malgré tout, le point de réunion des rayons émergents soit sur l’axe des lentilles.

346. Après avoir donné un aperçu de la marche des rayons à travers deux prismes ou deux lentilles, il convient d’entrer dans quelques détails pour faire voir quels rôles jouent, dans l’achromatisme, la forme et la matière des milieux traversés par la lumière.

Plusieurs circonstances se combinent entre elles :

1® L’elTel de réfraction et de dispersion produit dans des proportions dilTérenles par les deux milieux ;

2® L’amplitude des angles réfringents.

Le but est de détruire la colorisation duc au phénomène de la dispersion, de telle sorte que la lumière entrée blanche dans le premier prisme sorte blanche du second.

Cherchons les conditions qui peuvent résoudre le problème en ce sens et, pour cela, analysons d’abord l’action du premier prisme.

Soient A l’angle réfringent (/îq. 45, ptanc4c XXII), n l’indice de réfraction,

P l’angle de déviation, c’est-à-dire l’angle que forment la première et la dernière direction du rayon lumineux, y et?/ l’incidence à l’entrée, la réfraction à la sortie, x et x la réfra' tion à l’entrée, l’incidence à la sortie.

Dans le triangle ABC'

mais p=ioo-i, y = ioo-x'

donc A=x-fr'

d’ailleurs j,+yi p=A ou p—y + av — a, comme l’indique la combinaison des angles que forment entre elles les droites menées par le sommet A, parallèlement aux normales N et N', ainsi qu’aux rayons incident et émergent.

Nous pouvons donc écrire

et parce que ÿ =

On aurait également pour un second prisme, en représentant par p',n‘ et A', les quantités analogues à celles que nous avons indiquées par p, n et A dans le premier,

En les supposant accolés par une face, l’un ayant la base en bas et l’autre en haut, la divergence produite par les deux sera la dilTércnce des divergences partielles: ce sera, en la désignant par P,

Disons, en passant, ce qu’exigerait la condition que P fût nul, c’est-à-dire que le rayon restât, après sa sortie, dans la direction qu’il suivait avant d'entrer. Il faudrait que l’on edt:

ou

En général, et pour un nombre quelconque de prismes traversés par un rayon de lumière, la formule sera

P= (n—l) A±(ii'-t) A'-t- (n" — 1) \«± A'i'-felc.

Ce principe établi, occupons-nous des deux rayons extrêmes, le rouge et le violet, afin de pouvoir leur rendre le parallélisme après l'émergence.

Si n et n' ont représenté les indices de réfraction du rayon rouge, ceux du violet sont plus grands, puisque ce dernier rayon se rapproche plus delà normale que l’autre. Nous pouvons donc indiquer les nouveaux indices de réfraction par n -}- d«,n' -j- dn', et écrire

f/n — t) A — (a'-prfn- t) A'

ABERRATION DE RÉFRANGIBIUTÉ.

Mais il faat que P = P' ; ce qu’exprime :

(n-I) A-(n'— 1) A'=(n4-cfn-1) A— A'

d’où rfn.A — rf«'.A' et A : k' dn' : dn.

Il faut ainsi, pour détruire la déviation, que les angles de réfringence des prismes soient en raison inverse des indices de réfraction diminués d’une unité chacun.

Pour faire disparaître la colorisation, il est nécessaire que ces mêmes angles de réfringence soient en raison inverse des coeflicients de dispersion.

Si, enfin, il était possible de trouver deux matières transparentes qui pussent fournir la proportion

n ~ 4 ; — 1 ;; r/;i ; div

cette proportion, mise sous forme d’équation, donne «= et chacun des membres représente ce qu’on nomme le pouvoir dispersif de la substance.

Les deux conditions énoncées ci-dessus seraient simultanément satisfaites.

La relation A : A' :: dn : dn' qui permet de donner aux angles A et A' des amplitudes qui détruisent les ellets de la dispersion, pour les rayons extrêmes, ne pouvant s’appliquer en même temps aux rayons intermédiaires, puisque le coefficient de dispersion n’est pas toujours le même, il s’ensuit que l’on ne peut complètement remédier au mal.

Disons, au surplus , que les franges colorées sont infiniment moins sensibles après le passage dans les deux prismes qu’à la sortie du premier.

Passons maintenant à l’effet des deux lentilles convexe et concave, qui jouent un rôle analogue à celui des prismes.

Les formules relatives à ces sortes de verres sont

* rr~ f n

en désignant par F' et F" leurs distances focales principales; par n et n' leurs indices de réfraction et par r, r', r", les rayons de courbures dont r' l’un deux est le même pour les deux faces de contact.

La distance focale du système des deux verres étant la somme des distances partielles, il viendra

Si nous convenons que cette formule s’appliquera aux rayons rouges , il faudra , pour qu'elle puisse déterminer aussi le foyer des rayons violets, y substituer n + dn et n' + dn' à n et n', ce qui lui donne la forme ci-dessous

f = (-i + d« - 1 ) ( J +/,) - (n- + rf«— t )

En représentant par le même signe F les distances focales des rayons rouges et violets, nous exprimons suiBsamment la condition que doit remplir l'achromatisme. II faut alors que

S’agit-il de construire un objectif achromatique avec deux matières transparentes dont les indices de réfraction et les coefficients de dispersion soient connus, et sous la condition que F soit d’une longueur déterminée, en raison des dimensions qu’on veut donner à la lunette, on se sert des deux dernières formules que nous venons d’écrire. Mais elles renferment trois inconnues, les rayons de courbure r, r', r". Le problème peut donc recevoir plusieurs solutions, puisqu’on attribuant une valeur quelconque à l'un de ces rayons, on en peut tirer celles des deux autres qui lui correspondent.

Toutes les solutions ne peuvent cependant être admises, les unes conduisant à l'emploi de segments sphériques d’une trop grande amplitude, d’autres restreignant trop le champ de la lunette.

Ou a pu, par la combinaison d’un troisième verre, réunir le foyer d’une autre couleur à celui que deux verres ont rendu commun aux rayons rouges et violets. Amici a su même ramener à un foyer unique les sept couleurs primordiales, en employant sept verres.

Après avoir indiqué les formules relatives à l’achromatisme, nous allons en faire l’application à quelques exemples.

Ces formules sont :

A : A' :: rfn' : rf» , . . (t)

ABERRATION DE RÉFRANGIBILITÉ. 345

+ (SJ

Dans la construction des prismes çt surtout des lentilles, on se

sert de flint-glass et de croicn-glass.

L’indice de réfraction dans le flint est

pour le rayon rouge 1,627749

pour le vio jet 1,671062

Dans le erown

pour le rayon rouge 1,525832

pour le violet. 1,546566

Les coefBcients dn et dn' de dispersion sont donc 0,0434 pour le premier, 0,0208 pour le second.

Supposons que le prisme A soit de flint et le prisme A' de crown, la formule (1) donnera pour le rayon rouge

eipoirleviolel A= A'=0,8IM9. A'.

Dans le premier cas, si A' = 30», . . . A = 25«,2

Dans le deuxième A := 24,435

En adoptant les deux premières valeurs de A' et A, les rayons rouges ne subissent aucune déviation. Ce sont au contraire les violets, lorsque l’on fait usage des secondes.

11 est plus important de détruire l’effet de la dispersion que la déviation. C’est alors à la formule (2) qu’il faut avoir recours : elle donne

*“ô^5j33j3 A'=0,4787. A'. d OÙ A = H',.36I si A'=30«.

La déviation , qui alors est commune aux rayons extrêmes rouge et violet, se peut calculer à l’aide de la formule (3)

Supposons maintenant qu’il s'agisse de construire un objectif achromatique composé d’une lentille biconvexe de même courbure de part et d’autre en flint-glass et d’un verre divergent en crown-glass , dont la face antérieure a même rayon que la face postérieure de la première lentille.

Supposons aussi que rz= r'=l™. Il reste dans les équations

(4) et (5) deux inconnues r" et F. Introduisons-y les valeurs de n et n', dn et dn' , indiquées plus haut, la formule (5) donnera