PROJECTION STÉRBOGRAPHIUUE SUR UN MÉRIDIEN

C’est par cette méthode que nous avons tracé sur la figure S^8 (projection horizontale) l’horizon do Paris. On pouvait, au surplus, le déterminer sans cela, puisqu’on en connaissait trois points, savoir : les extrémités x ely du diamètre commun à l’équateur, et le point z dont la latitude est le complément de celle de Paris.

486. Projeclion slMographique sur un méridien. L’avantage que l'on trouve dans celte projection à mettre le point de vue précisément sur l’équateur tient à celle propriété remarquable que tous les méridiens et les parallèles se projettent suivant des cercles toujours plus faciles à construire que les projections elliptiques que fournirait la position de l'œil en dehors ou au dedans de la sphère.

Il faut, avant de passer outre, démontrer la propriété que nous venons de mentionner.

Les méridiens et les parallèles sont les bases circulaires de cônes obliques, coupés par le méridien principal, et dont le point de vue est le sommet commun. Soit SÂB {fig. 360) une section faite dans pn cône oblique, suivant les deux génératrices qui sont le plus et le moins inclinées sur la base, ou, en d’autres termes, par un plan passant par l'axe et perpendiculaire à la base : prenons sur SB prolongé un point A', tel que SA' = SA ; puis par A', faisons passer un pian incliné sur la génératrice SB, de la même manière que la base AB l’est sur SA; nous déterminerons ainsi une section dite anti-parallèle, qui coupera le cône suivant un cercle égal à celui qui est projeté dans la figure sur AB: et, en cITcl, la section .\'B' opérée par un plan qui rencontre toutes les génératrices ne peut être généralement qu’une ellipse dont le cercle est une circonstance particulière. Legrand axe de celte ellipse est la droite A’B elle-même. Si l’on fait tourner son plan autour de la corde commune , projetée en ü , jusqu’à ce qu’il s’applique sur la base du cône, le grand axe .\ B' coïncidera avec le diamètre AB du cercle. Les deux courbes ont d’ailleurs une corde commune ; donc la section figurée parA'B' n’est autre chose qu’un cercle égal à la base. Ajoutons à cela que les sections par des plans parallèles étant des courbes semblables, tout plan MN parallèle à A' B', c’est-à-dire anti-parallèle à la base, donnera une figure semblable à celle qu’a produite le plan .\'B’, et par conséquent un cercle.

Cela posé, rien de plus simple que de faire voir que dans la

oi4 GÉODÉSIE.

projection méridienne, les méridiens se projettent suivant des cercles. SoitVMAN (fig. .S51) le plan de l’équateur, V le point de vue, MN la trace du plan du tableau, et RS celle d’un autre méridien dont la moitié RC seulement doit figurer sur la projection. Imaginons le cône dont ce dernier cercle est la base et qui a son sommet en Y : ce cône RYS est coupé par le plan de projection suivant FQ ; mais il est facile de voir que le plan FQ est anti-parallèle à la base RS : l’un et l’autre sont perpendiculaires au plan

de l’équateur; puis on voit que l’angle MQY a pour mesure ^

VS

tondis que YRS=:-^: or MY — NS=YS, puisque si, au moyen

de la parallèle ST, on supprime de MY, l’arc MT qui est égal à NS, il reste YT=YS.

Tous les cercles qui projettent les méridiens ont deux points communs situés dans le plan de projection ; ce sont les deux pôles de la terre : ils seront donc complètement déterminés, si l’on peut obtenir leurs centres. Ceux-ci doivent être sur l’intersection du plan de projection et de l’^uateur, puisque ce dernier coupe symétriquement tous les cônes comme contenant tous leurs axes. De même qu’au nous allons chercher la longueur du rayon en fonction de l’inclinaison sur le plan du tableau, c’està-dire en fonction de la longitude.

Soient ADBY la projection de l’équateur {fig. 352 bis) et Y celle du point de vue : AB la trace du méridien principal, sur lequel se fait la projection et MN celle d’un autre méridien quelconque. Le diamètre de la projection do ce dernier est mn ; mais

mn a>mC4-Cn=lang { MD taug-i D.\c=tang.{ MD-j-rol.) MD et, en vertu du S 22, rowkr. MD.

Or MD=-tOO* — AM-«tO<)— longitude,

donc mn •« 2 sdc. longitude Ct le rayon = séc. longitude.

Si donc K (fig. 352) est le centre de la projection du méridien le plus voisin du principal, PR sera, d’après ce que nous venons de voir, le rayon égal à la sécante de l’inclinaison des deux plans méridiens; mais CK est aussi la sécante de l’angle CPK: donc cet angle est égal à la longitude. Concluons de ce fait, que, pour avoir graphiquement les centres des méridiens projetés , il faut prendre les points d’intersection de la trace de l’équateur avec des droites pas.'^ant totites par P ct faisant entre elles et avec CP,

PROJECTION STÉRÉOCRAPHMJl'E SCR UN MÉRIDIEN. u4S

rayon du méridien principal, des angles égaux à la différence en longitude adoptée. On déduit encore de là que les tangentes pour le point commun P sont respectivement perpendiculaires aux rayons, et, par suite, que les arcs de cercles correspondants sont inclinés entre eux comme les méridiens de la .sphère.

Quelques-uns des cercles ne peuvent être tracés par cette méthode parce que les centres s’éloignent trop rapidement de la figure que l’on veut construire : mais alors le point F {/ig. 360), appartenant à la projection du méridien RS et situé sur l’équateur, se joint aux pôles par deux lignes qui font entre elles précisément l’angle dont est capable le segment que l’on veut tracer : on ouvre sous cet angle une fausse équerre dont , en appuyant les deux côtés sur les deux pôles, le sommet appartient toujours à l’arc de cercle qu’il s’agit de décrire et le détermine ainsi complètement.

Les projections des parallèles sont aussi des cercles que l’on construit d’une manière analogue aux méridiens.

Soit V 35.3) le point de vue, VQ l’équateur, et VPQP' le méridien qui passe par le point de vue : PCP' est la trace du plan de projection et DE celle d’un parallèle quelconque. Le cône projetant 'ce parallèle rencontre le plan du tableau suivant une courbe limitée entre elle L et B j de plus , cette courbe est un cercle, si le plan projetant est anti-parallèle à la base DE ; mais

PR -4-p y

cette circonstance a lieu en effet, puisque PBE= — j — , DVQ =

PD PQ^ pg P' V = PQ et LDE =LVQ comme correspon-

dants. Les deux génératrices VL, VE du cône percent le plan du tableau en deux points B, L (fig. 3.v3), ou B',L' (/îg. 35i) : de plus les points A' et A ' de celte figure, projetés en A dans la figure précédente, appartiennent également au cercle; donc avec ces quatre points , on peut le eonstruire , soit en prenant le milieu O de B'L', si cette distance n’est pas trop considérable, soit en élevant des perpendiculaires sur le milieu des cordes A' B,A''B', soit encore, comme plus haut, en formant avec les deux branches d’une fausse équerre un angle égal à A'B'A".

Si l’on veut, comme pour les méridiens , trouver l’expression des rayons des parallèles projetés, il faut chercher la valeur de sr {fig. 353 bis). En décrivant, avec VG pour rayon, un arc GK, on voit que

sr = Cr — Cï= l»ng.i DR — lann.JDS =» t.ing.l DH — laiig.J Vil ;

Dii}'

646 «iiooiisiE.

mais lann-l (ÎOO — VR) «« cot.^ VR ;

donc le rayon cherché ou

tar - i (co.,4 VU - l.ng-i VR) -4 g

’f08.»4 VR — 8in.«i VR\ , î.siii.l \ R fOs4 VR )

cos.VH

swi.VR

««cotang.VR,

OU cot. latitude du parallèle.

Dans celte projection, il y a encore disproportion entre la fortiic et la surface des différentes parties de la figure, comme dans celle sur l’équateur; c’est vers le centre que se trouve ici la plus grande altération, tandis qu’elle est d’autant moindre qu’on approche davantage de la circonférence. Elle a encore un inconvénient de plus: c’est que les lieu\ situés sous la même latitude et compris dans la même zàne ne sont pas comparables puisque les projections des parallèles ne sont pas concentriques.

La figure 355 représente une projection méridienne complète.

487. 1‘rojecliont stéréofjraphiques méridienne et équatoriale modifiées.

Pour éviter le premier des deux inconvénients que l’on vient de signaler, on peut diviser en parties égales la trace de l’équateur, faire pussci des arcs de cercle par ces points de division et les pôles, cl l’on obtient, par ce moyen, beaucoup moins de dissemblance entre les subdivisions centrales et extrêmes C/iÿ. 3.’.G).

On pourrait, par le même motif, modifier d’une manière analogue la projection équatoriale, en substituant aux traces des cônes (lui projettent les parallèles, des cercles équidistants, qui rendraient les distances en latitude comparables de l’équateur au pôle (/tr/. 349).