TABLEAU

Réductions des angles observés à l’horizon et au centre et des distances zénithales aux sommets des signaux.

La rédaction à l’horizon n’a lieu que lorsque les angles sont observés avec le cercle répétiteur. Le théodolite les donne tout réduits.

Ces réductions peuvent se calculer au moyen des tables de logarithmes, en se bornant à 3 décimales, ou avec des tables que M. le colonel Puissant a insérées dans son Traité de géodésie, sous les numéros I et 2. On entre dans la table 1 avee l’angleobservé 0, et l’on trouve les nombres correspondants aux premiers facteurs des deux termes de la correction, dans les colonnes intitulées tangentes et cotangentes. La table 2 donne les seconds facteurs, et les arguments sont 200 — (A+ A'),etA-A': on multiplie et l’on fait la somme algébrique des deux termes.

On peut encore employer de petites tables donnant les logarithmes des facteurs fournis par les précédentes.

La correction au centre s’effectue au moyen des logarithmes ou d’une table semblable à celle indiquée ci-dessus, et comprise sous le n° 1, dans l’instruction sur la disposition et la tenue des registres de calculs, publiée anciennement par le Dépét de la guerre.

La rédaction des distances zénithales est positive quand M est positif; c'est-à-dire, lorsque l’observation se fait au-dessous du point de mire : elle est négative dans le cas contraire.

Quand on calcule les différences de niveau des points du troisième ordre, on ne rapporte pas la distance zénithale au sommet du signal : on emploie a : mais alors il faut corriger la hauteur obtenue de la quantité dH, puisque l’on part de la côte du sommet et non de celle du lieu de l’observation. Il faut alors, du résultat obtenu retrancher dH avec son signe.

On peut aussi calculer de la même manière les points du second ordre : on fait deux calculs différents avec chacune des distanoes zénithales réciproques non corrigées.

TABLEAU IV

Calcul des triangles définitifs.

Les logarithmes des cdlés de triangles du premier et du deuxième ordre, c’est-à-dire ceux dont les trois angles ont été observés, se prennent à sept décimales. Cinq suffisent pour les triangles du troisième ordre. On nomme ainsi ceux dans lesquels un angle est conclu : on n’a pas fait station à ce troisième angle. Les points ainsi obtenus doivent être calculés sur deux bases.

La seconde colonne du tableau IV contient les angles réduits au centre et à l’horizon. Si le triangle était rectiligne, et s’il n’y avait pas d’erreur dans les observations, la somme des trois angles devTait être précisément 200«. La différence que l’on trouvera sera donc due, d’une part, à l’excès sphérique, et de l’autre, aux erreurs de pointé, de lecture et à celle causée par l’imperfection de l’instrument. Si l’on veut savoir avec quel degré de précision l’on a opéré, on calcule à part l’excès sphérique que l’on sait être égal à la surface du triangle réduite en secondes, dont

1 expression est \ bc. TTiiSTî-

En préparant ces calculs, il est bon de transcrire les deux premiers chiffres des logarithmes des sinus, d’après le calcul des triangles provisoires : cela évite de commettre des erreurs, en prenant parfois des cosinus pour des sinus, et réciproquement.

Les triangles doivent fermer à 16 ' environ. L’erreur est souvent beaucoup moindre : quelquefois, quand les cêtés sont petits, elle peut aller jusqu’à 40".

On doit trouver la longueur des côtés du second ordre à 2“ près au plus. Pour le troisième ordre, l’erreur va parfois jusqu’à 4”, rarement cependant.

tiRODÉSIE.

TABLEAU V

Différences de niveau.

PoioU du premier et du deuxième ordre.

Les distances zénithales de ees points doivent être rapportées aux sommets des signaux. Les corrections qui sont de la forme

ont dû être calculées dans la dernière colonne du troisième tableau.

La formule qui détermine les différences de niveau est dN=K.tang.

S' et 8 représentent ici* les distances zénithales corrigées des erreurs de réfraction ; mais, comme celle^i est la même pour les deux observations, il s’ensuit que l'on peut n'en pas tenir compte, puisqu’elle disparaît comme affectée successivement des signes -h- et — . On suppose ainsi que les observations ont été faites avec le même état atmosphérique, circonstance dont on essaie de se rapprocher autant que possible.

Les logarithmes se prennent avec 5 décimales.

11 faut calculer chaque cote de deux manières au moins. Souvent, on prend la moyenne entre cinq ou six résultats, parce qu’il est nécessaire d’être bien sûr de l’exactitude de cotes qui servent ensuite à déterminer celles des points conclus.

l>a dernière colonne est destinée à l'inscription des cotes des points correspondants du sol ; elles s’obtiennent en retranchant des résultats précédents les hauteurs des signaux mesurées directement.

TABLEAU VI

Différence de niveau.

Points du iroisiime ordre.

Les cotes de ces points se calculent sur deux bases. Quelquefois cependant la nature du terrain force à en admettre quelques uns sur lesquels on n’a pu prendre qu’une distance zénithale, et qui, néanmoins, ne peuvent être rejetés comme indispensables au nivellement topographique.

Ces cotes se déterminent au moyen d’une seule distance zénithale. Le tableau Y peut également servir pour les points de station, et c’est dans ce cas seulement qu’il y a lieu d’employer la dernière colonne. Alors on n’a pas besoin de rapporter la distance zénithale au point de mire; mais elle doit être corrigée de l'erreur de réfraction et de celle due à la sphéricité de la terre.

Le second terme de la formule renferme cette double correction.

Le signe du premier terme dépend de celui de la cotangente qui est positive, lorsque ^ < 100*, et négative dans le cas contraire.

Le second terme est toujours positif : on le calcule fort simplement en ajoutant le double du logarithme de K à celui de la constante g. On peut encore le trouver directement dans les tables publiées, il y a quelques années, par le Dépôt de la guerre, et destinées à faciliter le calcul des différences de niveau dans les opérations topographiques.

NOMS J ÉLÉMENTS l DIFFÉRENCES DE NIVEAII : H Al’TEURS ABSOLUES

CÉMlbltl.

TABLEAU VII

Latitude», longitudes, azimuts.

Les formules sont :

i * *'*^'g*iuV**'^ (< + '•“S 'I') Ung.L Bin.*x

M' — M + K — g* »■" * L)* jjj„ J 2 - ÎOO» + : - (M' - M> sin.i (L + L')

On a fait, par abréviation,

p^(LlJl±^^, + eSco,.fL)

a sin.4 ' '

* a'siü, 1 ^ 1 a lia i"

Ces expressions ne renfermant pas d’autre variable que la latitude L, du point de départ, on a construit des tables donnant de suite P, Q) R : l’argument est L. Pour le premier et le second ordre, on prend les logarithmes de P et R à 7 décimales, et celui de Q à 5. Pour le troisième ordre, on calcule le premier terme de la latitude à 5, le second à 3, et la longitude à 5.

Les azimuts ne se calculent que pour les points du premier et du deuxième ordre ; ils n’auraient aucun but pour les points conclus. Us se comptent de 0* à 400», l’origine au sud, remontant au nord par l’ouest, et revenant au sud par l’est.

La vérification des azimuts des deux côtés AC, BC (fig. 329), pris avec le méridien du point C, consiste à retrancher l’angle C du triangle, de l’azimut du côté droit BC ; le résultat doit être l’azimut de AC.

TABLEAU VII. 643

Les latitudes et longitudes se calculent sur deux points de départ, afin d’éviter les erreurs.

On inscrit toujours ce double calcul en commençant par l’objet de droite, parce qu'alors, pour former les azimuts des cdtés qui aboutissent au point cherché C, pris avec les méridiens de B et de A, la règle des signes devenant constante, on n’a pas besoin d'avoir recours au canevas. On reconnaît, en elTct, à l’inspection de la figure 329, et en se rappelant dans quel sens on compte les azimuts, que, pour former d’abord celui de BC pris en B, il faut, de celui de A, augmenté de 400», pour le cas particulier que présente cette figure, retrancher l’angle B du triangle, tandis que l’azimut de AC, compté avec le méridien du point de gauche A, est égal à celui de B, auquel il faut ajouter l'angle A du triangle ABC.

L’erreur, dans les latitudes du deuxième ordre, ne doit pas • excéder 0", 2 ou 2“, et 0'', 3, c’est-à-dire 3 mètres pour celles du troisième ordre.

On place ici dessous, pour faciliter la recherche des logarithmes desinus et cosinus des azimuts, un tableau qui rappelle ce que sont ces lignes trigonométriques, suivant le quart de circonférence dans lequel aboutit l’azimut.

sia. 1 00 -f- A= -f- cusin. A

9ID. ÎOÜ A =» — sin.A

sin.300 -1- A=— sosin..A

cosiu.<00 + A«— âin.A

cosiD. 200-1- An— cosiu.A

cosId.300 -j- Aaa-f sin.A

Üt4

(;f.odk»ik.

Kxlrait de la table des facteurs P, Q, K.

Lalliode.

t.og. P.

Lo|. Q.

Lo» R.

TABLEAU VII

Table donnant la taleur du second terme dans la formule de laülude.

Le second terme de la formule, au mo^en de laquelle on calcule les latitudes, peut, sans que l’on emploie les logarithmes, se trouver immédiatement dans la table ci-dessous.

Elle a pour entrée l’azimut de 10 en 10 grades, et le côté K, depuis 3,000 jusqu’à 10,000 mètres.

Au-dessous de 3,000"' de côlé ou de 20« d'azimut, le terme est nul. On retranche 200« de l’azimut, lorsque l’expression de son amplitude est plus grande que ce nombre.

CAté K

Kilomètres.

aËOVESIB.