CHAPITRE VI

LEVÉES A LA CHaInE, ALIGNEMENTS, TRANSVERSALES.

131. 11 est bon qu’un officier chargé de lever, souvent sans le secours d’instruments, connaisse les ressources que peuvent lui fournir de simples alignements tracés au moyen de jalons, et la chaîne ou son pas bien réglé. Prendre ou jalonner un alignement, c’est chercher, sur 1e terrain , la trace du plan vertical qui passe par deux points déterminés. On se sert pour cela de jalons ou bâtons ferrés.

Si l’un des points est accessible, on s'y place et l’on fait planter une suite de jalons dans la direction du second. 11 est bon de viser d’un peu loin et de faire passer le rayon visuel tangcntiellement aux jalons et alternativement à droite et à gauche.

Si aucun des deux points n’est accessible, on se transporte en G sur la direction présumée AB (fig. 77), on y place un jalon, et et l’on en fait planter un autre C' sur la direction CB : on se rend

rOPOGllAPHlK.

en C' pour voir si A,C,C', sont en ligne droite, et s’il n’en est pas ainsi, on dérange les jalons et l'on arrive par tâtonnement à leur véritable position. Le concours de deux personnes abrège évidemment l’opération.

132. Soit proposé de trouver la projection d’un point C, coniftissant celle' de deux droites AB,A'B'.

r Si d’abord le point C {fig. 78) doit se trouver sur les deux alignements, il est évident que sa position se détermine en prolongeant les droites ab,a'b' jusqu’à leur rencontre.

2"> S’il'doit se trouver sur l’un seulement des deux alignements, sur AB (fig. 79), on prolonge d'abord A'B' au moyen de jalons jusqu’en C': on mesure CC' et on le porte réduit à l’échelle sur le plan de c en r. suivant ab.

8° Si r, est situé hors des deux directions données AB et .A'B', on demande encore d’en déterminer la projection par la méthoiJe des alignements. On connaît sur le plan ab,a'b' et d projection d’un point D visible de G, mais inaccessible {fig. 80). De G, on marche vers D jusqu’à ce qu’on parvienne en G' sur la droite qui unit A à B ; ensuite on mesure la distance de C' à G point de rencontre des deux alignements connus, puis on porte sur le plan d’abord la longueur e'c' : on trace de', et sur son prolongement on porte celle de cr' qui détermine c.

On pourrait se passer de connaître la position de ri si l’on pouvait mesurer GG : car, en prenant G' a une distance arbitraire de G , on décrirait, de ces deux points comme centres, avec des rayons ce" et cc' deux arcs de cercles dont l’intersection déterminerait c.

4° Le point C (fig. 81) est situé sur unedroite AB dont la projection est cohnue : on a également ri celle de D accessible j il s’agit de trouver c. On marche sur la direction CD que l’on mesure, puis du point ri comme centre et d’un rayon égal à CD réduit, on décrit un arc qui coupe ab en c point cherché.

5° La projection de AB et celle de D accessible Ifig, 80) étant encore connues, on veut déterminer C que l’on ne suppose plus sur la direction AB. On mesure CI) et la distance de D à C' point de rencontre de AB et CD ; après quoi sur le papier, de ri comme centre et avec de' pour rayon, on décrit un arc de cercle qui troupe aAen deux points, mais on reconnaît facilement celui qui convient : on trace de' et l’on porte cri sur cette ligne à partir de ri.

TIIANSVERSALES.

13S. Théorie des transversales. Sans le concours d’anlres instruclions que lu chaîne cl des jalons, on peut encore résoudre plusieurs problèmes dont la pratique se présente assez fréquemment.

La solution de quelques-uns d’entre eux s'appuie sur.deux propriétés fondamentales des lignes que l’on nomme, transversales. On désigne sous ce nom des droites qui traversent un système d’autres lignes droites.

Premier théorime. Imaginons une transversale XY coupant le système des trois droites Ac,C6,Bo aux points c,h,a [fig. 82) : ces trois lignes forment généralement un triangle ABC, et l’ensemble fournit celte relation :

Le produit des segments de droite est égal au produit des segments de gauche ; ou, ce qui est la même chose, le quotient de ces deux produits est égal à l'unité.

La gauche et la droite sont prises à chaque sommet de triangle, par rapport à son centre, et les segments se comptent sur les directionsprolongéesdes côtés, à partir de chaque sommet jusqu’à la rencontre de la transversale. Pour le démontrer, menons par C,Cc' parallèle à .\B, et nous aurons, en comparant les triangles

semblables Aea, Ccc' Ces deux triangles bCc", ôBa donnent également multipliant ces deux égalités membre

à membre, il vient

Ae. CA .An. Ce' .4e CA O. BA “ Ce'. Uo Aa.BA.Cc “ ^

OU enfin Aa.BA.Cc=Ae.CA,Ca.

On voit que si, dans l’une de ces équations, on connaît cinq quantités, la sixième s’en déduit.

134. Deuxième théorème. Considérons maintenant le triangle ACB (fig. 83) relativement à trois transversales passant chacune par un des sommets cl prolongeons les côtés du triangle jusqu’à ces transversales. Le triangle ACC'" donne par rapport à la transversale DD' et d’après le théorème précédent Le triangle ABf;" fournit de même, par rapport à DD", ÀB''D'' J" Bi ^“"'pliant membre à membre et supprimant,

TRIi;0.\0)IÉTniK.

dans le premier, BC facteur commun au numérateur et au déno-

Si les trois transversales se rencontrent en un seul point, c’est-à-dire si D' et Ü" se confondent avec D {fig. 84), on aura

AD"= AD', C'"D"=C"'D' et par suite

Celte dernière formule peut se déduire immédiatement du premier théorème en considérant le triangle ABC successivement par rapport aux trois transversales. En effet, pour la transversale DB, l’on a ^^=1 : pour DA, = 1 et pour DC,

AC.HB"