LIÈGE

Librairie PolyteclmiQtie B. DECQ & M. mmnm

Ati, fiuc dp. l'Unioemité, 46.

IMPRIMERIE H. VAILLANT-CARMANNE.

Rue Sl-Adtlbert, 8.

INTRODUCTION, v. i. ,.. .

Si l'on considère un ensemble quelconque de points appartenant au globe terrestre, la détermi nation mathématique des positions relatives de ces points constitue Tobjet de la géodésie ou de la topographie. Celle détermination a généralement pour but la représentation cartographique de l'ensemble considéré à une échelle réduite.

On se borne souvent à déterminer les projections des points sur un certain plan, car il est alors facile de représenter ces projections sur le papier. Si le plan de projection choisi est le plan horizontal, les projetantes sont des verticales et Ton peut admettre qu'elles sont parallèles, lorsque l'étendue de terrain considérée n'est pas très vaste. C'est alors par les procédés de la topographie que l'on calculera les positions relatives des points et le dessin obtenu sera un plan topographique.

La géodésie devrait au contraire intervenir, s'il fallait tenir compte de la figure de la terre. En déterminant mathématiquement la position relative d'un certain nombre de points, elle fournirait un canevas que la topographie viendrait ensuite remplir par des opérations de détail. Cette marche devrait ôtre suivie si l'on avait à exécuter soit une carte topographique^ soit une carte géographique.

En géodésie, l'opérateur a donc en vue la surface même du globe terrestre, il en mesure la forme et la grandeur, tandis

qu'en topographie, il n'envisage que le plan tangent h cette surface.

La terre a la forme d'un nphéroide, c'est-à-dire d'une sphère aplatie vers les pôles. I^e problème de la mesure exacte du sphéroïde terrestre est posé depuis Newton, et cette partie purement scientifique de la géodésie a été créée en 1615 par Snellius. La question reste pendante depuis lors. On est parfaitement d'accord aujourd'hui sur la forme générale de la terre; mais la mesure d'un méridien et la valeur de l'aplatissement ne sont pas encore exactement déterminées.

La question est assez importante pour qu'il se soit créé, entre la plupart des états du continent européen, une Aisocis' tion géo'léaique internationale dans le fout de la résoudre.

Quelle erreur commel-on en substituant le plan tangent à la surface du sphéroïde ?

Soit À B, flg. 1, un arc de cercle de 100 kilomètres de longueur. En supposant la circonférence divisée en 400 grades, cet arc correspond à un grade, puisque le méridien terrestre est égal ù 40 millions de mètres.

CE^R(i/V, grade.

En substituant à R la valeur du rayon moyen de la terre = 6.366.198-, on trouve C E = 50,001-^1. En substituant la tangente CD à l'arc de 100 kil., on fera donc une erreur de 2"02 Fig. I. sur lOO.OOO". Cette erreur est

moindre que celles que rend inévitables l'emploi des appareils même les plus perfectionnés.

Remarquons toutefois que s'il s'agissait de comparer les aires du plan tangent et de la surface qui s'y projette, l'erreur

serait beaucoup plus grande» Elle serait de 600,000 mètres carrés pour un carré de 100 kil. de côté, mesuré sur le plan tangent.

La position topographique d^un point sera entièrement déterminée, quand on connaîtra ses distances à trois plans fixes se coupant à angles droits, Tun horizontal et les deux autres verticaux. Les coordonnées du point porteni, comme en géodésie, les noms de longitude^ latitude et altitude; mais en géodésie, Torigine des coordonnées est au centre de la terre, la longitude et la latitude sont des arcs de grand cercle. Il en résulte que remploi des mathématiques supérieures y est plus fréquent qu'en topographie ; la trigonométrie sphérique, notamment, y joue un rôle important.

Les calculs astronomiques sont indispensables pour résoudre le problème de la mesure d'un arc terrestre. Cet arc échappe en effet à toute mesure directe et l'on ne peut aborder ce problème qu'en calculant le déplacement de l'observateur par rapport aux étoiles.

Il en est encore de môme lorsqu'il s*agit de faire la carte d'un pays C'est par l'observation des astres que Ton arrive à déterminer par le calcul, les longitudes et les latitudes géographiques.

Môme en topographie, nous serons obligé de faire intervenir quelques notions d'astronomie pour Torientation des plans.

Si les calculs sont différents en topographie et en géodésie, il n'en est pas de môme des procédés de mesurage. Les procédés usités en topographie se rapprochent de plus en plus aujourd'hui des procédés suivis en géodésie.

Cette tendance se remarque surtout en Allemagne, et elle trouve sa raison d'être dans les perfectionnements incessants que les constructeurs apportent aux appareils. Les géomètres se servent aujourd'hui couramment d'appareils qui, il y a un siècle, n'étaient employés que pour les recherches géodésiques de l'ordre le plus élevé. C'est un grand progrès qui

réagit naturellement sur rexacGtude des plans levés à Taide de ces appareils.

A côté de ce progrès^ il faut signaler un écueil, c'est celui d'introduire en topographie certaines méthodes de calcul compliquées, usitées couramment en géodésie. Nous voulons spécialement parler de la méthode des moindres carrés qu*un grand nombre d'auteurs allemands appliquent en topographie pour corriger et compenser les erreurs de mesure.

Sans vouloir nier Futilité de cette méthode dans des cas spéciaux, nous croyons qu'elle n*est pas du domaine de la topographie qui doit, pour les opérations courantes, se contenter de l'exactitude que peuvent donner des appareils bien choisis, sans chercher une exactitude plus grande par des méthodes de calcul compliquées. Ceci nous parait d'autant moins nécessaire que les perfectionnements des instruments de mesure permettront presque toujours aujourd'hui de mettre le procédé en rapport avec le but poursuivi, en choisissant des appareils dont Texactitude est en rapport avec Timportance du plan qu'on se propose de lever et avec la dépense qu'on peut se permettre eu égard au but à atteindre.

C'est depuis un demi-siècle environ que les appareils et les procédés topographiques ont acquis le degré d'exactitude qui' fait aujourd'hui leur valeur.

Ces appareils et ces procédés diffèrent tellement des anciens que J. Weisbach, à cette époque professeur de topographie théorique à Freiberg, publia, en 1859, un ouvrage intitulé La nouvelle topographiey spécialement appliquée aux mines (i). Un grand nombre d'ouvrages ont été publiés depuis en Allemagne, nous citerons :

Bauernfbind. Elemente der Vermessuiigskundej 4*édit. Stuttgardt, 1875.

; (^) Die lieue Marktcheidekumt und ihrer Ànwendung auf bergtnànnUcbe Ànlagen.. Brunswick/F. Vieweg und Sohn, 4859.

HuNiBUS. Die géamelrischen Insiruwtente. Hanovre, 1864.

ID. Praktiiche Gemetrie, 1868. Jordan. Handbueh der Venusêungskxnde^ 1878.

BoRCHSRS. Die prakti$ehe Markscheidekunst. Hanovre, 1870.

Les procédés de la topographie allemande sont peu connus des lecteurs français. C'est ce qui nous a engagé à publier un résumé de ce cours que nous professons depuis 1867 à l'Ecole des Mines et des Arts et Manufactures de Liège. Nous nous sommes efforcé d'y faire connaître les procédés suivis à l'étranger, sans négliger pour cela les méthodes plus élémentaires qui, dans un grand nombre de cas, doivent être appliquées de préférence à toutes autres.

Erreurs négligeables (i).— Les opérations sur le terrain peu-, vent avoir pour objet de se procurer directement des éléments graphiques ou bien de rechercher des données numériques destinées à être transformées en éléments graphiques.

Le degré d'exactitude qu'il faut obtenir est très différent, suivant qu'il s'agit des uns ou des autres.

Lorsqu'on cherche à recueillir directement des éléments graphiques, l'erreur que l'on peut se permettre et qui décidera du choix des appareils, dépend essentiellement de l'échelle du plan que l'on veut lever; l'échelle elle-même dépend, comme nous le verrons, du travail que Ton a en vue.

Nous devons distinguer les erreurs que l'on commet sur une

ligne droite et sur un angle. Soit l'échelle du plan exprimée

par — . S'il s'agit d'une ligne droite, on peut admettre que m

sur le dessin une erreur de Vo ^ Vio ^^ millimètre est inappréciable ; à l'école militaire de Belgique, on admet comme inappréciable une erreur de '/g de millimètre. On pourra donc négliger sur le terrain toute longeur L qui, réduite à l'échelle

de — , égalera -5- de millimètre. On aura donc m o

(*) Voir Maes et Hamnot, Traité de Topographie, Bruxelles et Liège, 1870.

S'il s'agit d'un angle, l'erreur négligeable dépend non seulement de l'échelle du plan, mais encore de la longueur des côtés de cet angle.

Soit A cet angle, Gg. 2, et « l'erreur; pour que a soit négligeable, il faut que l'arc K soit négligeable. Si L est le côté de

l'angle, on a

2nL 360x60 D'où K = "^"'^

, on peut négliger %; en substituante K la . La

Cette relation indique la valeur de l'angle que l'on pourra négliger pour une longueur donnée de calé L; à l'aide de celte formule, on pourra construire un tableau d'où l'on déduira l'erreur d'angle négligeable, connaissant la longueur maximum des alignements compris dans le lever.

Lorsqu'on cherche à recueillir des éléments numériques, ces raisonnements ne sont plus applicables. On doit alors opérer avec la plus grande rigueur, quelle que soit l'échelte du plan, parce que la transformation des éléments numériques en éléments graphiques peut amplifier les erreurs d'une manière considérable. [I faut donc se borner à recourir dans ce cas aus appareils les plus précis, eu égard au but qu'on se propose.

II est à remarquer d'ailleurs que le travail topographique n'a pas toujours pour but une représentation cartographique. Ce but peut être simplement d'obtenir certains éléments numériques, tels que les coordonnées d'un point ou la direction d'un alignement.

Dèfinitio^is.— On entend par plan la projection horizontale d^un terrain et pur profil une coupe verticale faite dans ce terrain suivant une certaine ligne.

Pour se procurer les éléments d'un profil, il faut faire un nivellement.

Dans les travaux souterrains, on fait de même des plans, des coupeA et de plus des pro/VcUons verticaleg.

Les opérations topographiques peuvent avoir un double objet ;. l*" celui de faire un plan ; 2" celui de reporter sur le terrain certains points indiqués sur un plan de projet.

Dans les études de tracés de chemins de fer, ces deux buts correspondent aux deux phases principales du travail.

Lorsque le but des opérations topographiques est de mesurer des surfaces, ces opérations prennent le nom d'arpentage.

Dans Tarpentage, on se propose d'évaluer la projection horizontale d'une aire de terrrain, ou de diviser cette projection suivant des rapports donnés, ou encore de la transformer en une surface de même aire, mais de forme différente. Tous ces problèmes se résolvent par la méthode générale de la décomposition en triangles ou en trapèzes. II est indispensable que toutes les lignes entrant dans les calculs soient directement mesurées sur le terrain ; car on ne peut se fier à des mesures prises sur les plans cadastraux qui, levés à une époque où les méthodes étaient très peu précises, exposeraient à des erreurs sensibles.

Il en est autrement, lorsqu'il s'agit de mesurer de grandes surfaces sur un plan ou sur une carte topographique levée d'après les nouvelles méthodes ; on peut dans ce cas se servir simplement du planimèlre pour mesurer graphiquement la surface que l'on considère.