VII

xn.

xm.

PRÛPRI^ÉS NËCANIQUBS DES VAPEURS. 471

(SOO) Ces diverses tables doivent être considérées avec attention et l'on doit avoir dans la mémoire, au moins d'une manière approchée, quelques-uns de leurs résultats.

On doit savoir que la pression à laquelle on fait fonctionner la vapeur est exceptionndlement poussée jusqu'à 8 ou même 10 atmosphères pour certaines machines locomotives.

Elle est plus habituellement de 5 ou 6 atmosphères au plus, pour les machines fixes même à haute pression.

Elle descend jusqu'à 2 atmosphères et même une atmosphère pour les machines dites à moyenne ou basse pression.

On en conclut, et l'on doit se rappeler, que la vapeur est formée dans les chaudières à des températures comprises toujours entre

^ooet^80^

Quant à la contre- pression, elle est théoriquement d'une atmosphère dans les maclûnes sans condensation, et d'un quatorzième à un quinzième d'atmosphère dans les machines à condensation où l'on entretient dans le condenseur une température de 38* à 40".

Les tables s'étendent donc, dans les deux sens, bien au delà des limites de température que Ion a pratiquement à considérer dans les applications aux machines.

(51 0) Comme exemple de l'emploi qui peut être fait des formules et des tables précédentes, nous supposons une machine prenant la vapeur à 6 atmosphères dans la chaudière, ou, ce qui est la même chose, à la pression de 6^.20 par centimètre carré, ou à la température de i59''.22 : cette machine est censée fonctionner dans les conditions du cycle de Carnot, entre la température de la chaudière ou 159''.22, et la température du condenseur que nous supposerons de 40^.

Nous savons d'abord, par la théorie générale exposée dans les chapitres précédents, que le rendement de cette machine sera exprimé par le rapport

Nous savons ensuite que pour i^ d'eau vaporisée la quantité de

chaleur empruntée au calorifère est seulement r =X — ix, puisque, dans l'hypothèse du cycle de Carnot, Teau rentre dans la chaudière à la température t^ ou ayant déjà reçu la quantité [l de chaleur; de sorte que le calorifère n'a qu'à produire la vaporisation*

Cette quantité de chaleur est en calories 494.11, pour 6 atmosphères. (Voir la septième table ci-dessus.)

C'est cette quantité de chaleur donton utilisera les 276 millièmes, et dont on versera le reste, ou les 724 millièmes, au condenseur; de telle sorte que ces 494~.H se partageront entre la machine qui en utilisera 136.27, et le condenseur ou réfrigérant qui en recevra le complément, soit 557.74, les trois quantités 494.11, 136.37 et 357.74 étant respectivement proportionnelles aux nombres

Sur les 136*'.37, on en utilisera un nombre Apu = 44,58 par l^ admission à pleine pression ; il en restera donc à utiliser 91 .79 qui seront employées à produire le travail de la détente de 159'. 22 à 40®, et à surmonter le travail résistant de la contre-pression et deTalimentalion.

Cette admission à pleine pression correspond à un volume de vapeur de 0.505 ; de sorte que si Ton veut dans un temps donné quelconque utiliser n kilogrammes de vapeur d'eau, il faudra que le piston engendre pendant Vadmission à pleine pression^ dans le même temps, n fois 0.505.

Le travail produit par un kilogramme de vapeur sera :

Pour Fadmission h pleine pression.. . • 44.58 x 425 = 18. 946*" ,05 Pendant le reste de révolution 91.79 x 425 = 39.010 ,75

Au total. . . . 136.57x425 = 57.957 ,25

Si Ton veut avoir la force d'un cheval qui est de 270,000 kilogrammètres par heure, il faudra dans ce laps de temps vaporiser un nombre de kilogrammes d'eau marqué par le quotient

ce qui peut élre obtenu pratiquement avec moins d'un kilogramme de combustible.

(511) On voit quelles conséquences nombreuses on peut tirer immédiatement des principes généraux de la théorie mécanique de la chaleur* et des résultats numériques particuliers à la vapeur d'eau.

En définitive, pour un emploi de la vapeur d'eau dans des conditions déterminées, la théorie nous a fait trouver quel sera le coefficient économique de la machine, quelle quantité totale de travail on pourra retirer d'un kilogramme de vapeur, ou ce qui est la même chose, combien il faudra vaporiser de kilogrammes d'eau pour obtenir un travail donné ; quel volume occupera 1* de vapeur sortant de la chaudière ; et par suite pour quelle part entrera le travail de l'admission dans le travail total.

Dans les conditions d'emploi que nous avons admises nous voyons que cette part est à peu prés le tiers du total.

Mais ce que nous ne savons pas encore, et ce qu*il nous reste à trouver, afin de pouvoir arriver à calculer les dimensions de la machine à vapeur, c'est d'un côté la manière dont se fera le travail de détente, c'est-à-dire le volume final de cette vapeur détendue jusqu'au moment où elle a pris la température du condenseur et va être mise en communication avec lui, et d'un autre côté les conditions dans lesquelles s'exécutera la course rétrograde du piston.

(5i«) Pour résoudre ces questions, nous considérerons, d'une manière générale, la quantité de chaleur interne qui existe dans un kilogramme à V" que je supposerai formé d'un poids m de vapeur et d'un poids (1 — m) d'eau liquide.

Cette chaleur interne, en sus de celle qui existait dans l'eau à 0% a pour expression :

U=' r att 4- m (X — ji.) — mAjm = r cd< -fmr — mAptt.

On a donc en diiTérentiant

rfU = cd<H-<i (mr) - mku ^dt — kpd {mu).

D'ailleurs on a d'après le n° 502.

, dp X — u. r Au ,, = ■

dt a-f-t a+< Il \ient donc

d\}=:cdt'\-d (mr) - ^ - Kfà {mC\ .

La quantité pd (mu) est la différentielle du travail qui s*est produit, pendant la vaporisation, en négligeant les variations de volume de l'eau relativement à ceux de la vapeur.

On peut donc écrire

dU = cd« -f d (mr) - ^^ - AdT,

et on en conclut que si au lieu de la chaleur interne U on veut considérer la chaleur totale ç, qui est toujours donnée par la relation générale dg= dU -h Apd», on trouvera :

dq z=cdi-\-d \^) — ^-^jj*

Pendant la période de détente que nous voulons considérer, la masse est supposée ne recevoir ni perdre aucune quantité de chaleur au dehors ; il faut donc poser dç = 0, ou bien

cdtH-d(mr)-^=0.

Cette équation devient intégrable en introduisant le facteur ^

car elle peut s'écrire

cdi d (mr) mrdi cdi . / mr \ ^

/ 1 A AVI JM -f- -— = const. L'inté-

peut être calculée, puisque c est une fonction de \

seulement (voir n"* 505).

L'équation différentielle -f-d ( ^^1=0, est, pour la vapeur

d'eau, ce qu'est Téquation pV''=const., ou plutôt l'équation différentielle y dp H- kpdv=0 pour les gaz. Comme cette dernière, elle définit les changements d'état effectués sans addition ni perte de chaleur.

Cette équation peut s'éciire :

——T 4- md — --r H — ; dm = 0.

Elle caractérise le passage d'un élat donné è un état infiniment voisin. Ce passage entraînera une précipitation de vapeur à l'état liquide, ou au contraire une vaporisation nouvelle, selon que dm sera négatif ou positif; la quantité de vapeur restera stationnaire si dm=0.

(618) 11 est facile de voir que si Ton prend d'abord de la vapeur saturée sèche, et qu'on la dilate, il y aura précipitation de vapeur. Pour le démontrer, on remarquera que pour exprimer que la vapeur est sèche, il faut faire w = l dans l'équation ci-dessus.

Il vient alors :

a-ht^ \a-hV V«-^-V

et il s'agit de voir quel est le signe dm, c'est-à-dire celui des deux cdt

termes

Ces termes peuvent s'écrire

cdt dr rdt

ou, en supprimant le facteur commun

dt

^dr

di a + <•

cette quantité doit être égale à — -7— .

Comme d'ailleurs r = X— [j., il vient,

^ dx ^ d|ji. rfx dt~ dl~"dl~ dt ^'

cl par suite on a:

, dr r dk X — I

dt a + < dt a-^t Or

^ A TAK ^ — [* «06.5 — 0.695* ^=0.305, jqn= m^t

par suite, -^ -^ est négatif.

Cette quantité étant d'ailleurs égale à iX— r-. ou à

° a-^t dt

, on en conclut que -jr est positif, c'est-à-dire que dm et dt

sont de même signe. Ainsi une expansion qui, à chaleur constante, fait diminuer la température, entraîne une diminution de la quantité m, c'est-à-dire une précipitation partielle; résultat théorique qui a été vérifié par les expériences de M. Hirn

Cette loi est contraire aux idces qui avaient cours avant que la théorie mécanique de la chaleur fût connue.

On disait, en effet, que la chaleur totale a, nécessaire pour constituer 1 kilogramme de vapeur saturée, croissant avec la température, ainsi que le montre la formuleX=606.5H-0.505t, on devait, en dilatant la vapeur et réduisant la pression, non-seulement ne pas avoir de précipitation de vapeur, mais s'éloigner mémo du point de saturation, puisque la chaleur que possédait la vapeur était plus grande que celle qu'il fallait pour la saturer à la nouvelle pression.

Il est clair que ce raisonnement est inexact; car il faut tenir compte du travail intérieur qui se produit pendant cette dilatation, et qui se produit aux dépens de la chaleur interne de la vapeur. En réalité, il y a condensation, et non désaturation, comme on vient de le voir, en partant die la vapeur sèche.

(514) 11 se produira le même phénomène si la vapeur est humide, pourvu que la quantité de vapeur ne soit pas trop grande; la précipitation cessera lorsqu'on aura dm=0, c'est-à-dire

OU, ce qui est la môme chose,

cdt mdr mr , ^

•'+"(s.-ÎT-<) = »

d'où Ton tire

En passant aux valeurs numériques, on trouve que, pour les températures que Ton a habituellement à considérer, la quantité m est comprise entre 0,40 et 0,50.

Ainsi il y aura précipitation pendant la détente, soit que la vapeur soit sèche, soit qu'elle contienne, comme cela a lieu souvent, une petite quantité (8 à 10 pour 100, par exemple, ou même jusqu'à 20 pourlOO) d*eau à l'état liquide. A mesure queladétente se ferait, on approcherait de plus en plus d'un état limite donné par la valeur de m ci-dessus calculée.

(51 S) Cette précipitation de vapeur pendant la détente, n'est point une propriété inhérente aux vapeurs; elle résulte non pas d'une loi générale, mais des nombres propres à la vapeur d'eau.

Il pourrait arriver, par exemple, pour une autre vapeur, que l'on

eût ^, assez petit et en même temps ^ assez grand pour que

la quantité considérée au n* 496, -!j fût positive, et alors

cette vapeur se désaturerait par l'expansion, au lieu de se précipiter.

D'après les expériences de M. Régnault, qui a opéré sur un grand nombre de liquides, et déterminé, pour ces divers liquides, les mêmes éléments que pour la vapeur d'eau, il parait que tel est le cas pour la vapeur d'éther.

Cette vapeur se surchaufferait pai* la détente, et se précipiterait

par la compression, conlrairemeiit à ce qui a lieu pour la vapeur d'eau.

(616) Sans nous étendre davantage sur ce sujet, revenons à réquation du n*" 495 :

a-^t^ \a-htj on aura, en intégrant,

/cdt , mr ; H — , = consl.

OU, intégrant, entre la température du réfrigérant t^, et la température du calorifère f,, on aura successivement

m^r^ /*'* cdt m^r^

Cette équation déterminera en général une relation entre les quantités m^ et m^ de vapeur qui existeront aux deux extrémités d'une ligne adiabatique joignant deux lignes isothermes, définies par les températures t^ et t^.

Si l'on se donne m, au commencement de la détente, l'équation déterminera m^ c'est-à-dire la quantité qui restera en vapeur à la fin de cette même détente. Si Ton suppose que la chaudière fournisse de la vapeur sèche, on fera m,=l dans la formule ci-dessus, qui deviendra alors :

Si Ton suppose que la vapeur soit humide à sa sortie de la chaudière, et qu'elle contienne une quantité d'eau a, on posera 1— a=m|, et on déterminera la quantité m^ correspondante. Cette quantité m^ une fois connue» en fonction de m,, on déterminera, par les tables,

le Tolumc de cette vapeur, qui est saturée à la température t^ ; le volume primitif qu'elle avait en sortant de la chaudière, comparé à ce volume final, donnera ce qu'on appelle habituellement le degré de détente.

(517) La même équation générale déterminera la proportion m\ de vapeur qui devra exister à la fm de la communication avec le ré- Irigérant, pour que cette vapeur, comprimée avec Teau et entièrement condensée, reproduise un kilogramme d'eau liquide à la température de la chaudière.

Il faudra, pour calculer cette quantité m\, poser de nouveau l'équation :

et faire dans cette équation m,=0, ce qui réduit le second membre à son premier terme ; d'où l'on conclut

On voit que cette quantité est plus petite que m^ de la quantité

On peut donc poser

r, fl -f- <|

ou bien encorei

Cette relation donne la quantité de vapeur qui doit se liquéfier pendant la période de communication avec le condenseur, pour que finalement l'eau rentre à la chaudière entièrement liquide et à la température de cette chaudière.

C'est en réalité une équation de condition, analogue à celle du

n' 445 ( V' ^ v^ ) » qui doit exister pour que révolution se fasse dans les conditions du cycle de Carnot.

480 COURS DE HAGHIÏîES.

(Si 8) En résumé, on voit que, connaissant les températures f, et tj, et se donnant le degré d'humidité de la vapeur, ou la fraction m^ de vapeur qui existe dans le kilogramme d'eau venant de la chaudière, on déterminera la quantité m^^ qui existera à la fiD de la déiente, et la quantité m', qui existera à la fin de la communication avec le condenseur.

On connaîtra la quantité m, — rWp qui se condensera le long delà couche adiabatique qui correspond à la détente; la quantité m^ — m\ qui se condensera pendant la communication avec le réfrigérant, et enfin la quantité m\ qui se condensera le long de la ligne adiabatique qui correspond à l'alimentation.

Toutes les circonstances du cycle seront donc ainsi parfaitement déterminées.

(519) Le calcul de ces quantités m^ et m\ suppose qu'on ait pris l'intégrale J*^.

On pourrait, sansfaireunebiengrandeerreur, poser c=const.:=l,

et l'intégrale définie | * deviendrait / ^.

Si Ton veut y mettre plus de rigueur, on remarquera que la quantité c est donnée par la formule

On a donc à intégrer une quantité de la forme

/» 1 -h mi -h ni» ., C àt r ^^^ . T»'*^*

j ÏT7— ^* = j îTî-^ j^^i-^JiTî*

Le premier terme s'intègre par /(a-h f). Pour le second, on posera

J a-^t J a-hi '

Pour le troisième on aura :

I dt = n l —i at =^n 1 (i — a) di -h n | — -7

PROPfUÉTiS MÉGàKIQUES des vapeurs. 4Si

Il vient donc f^n = / (a 4- <) (* — "w + ««•) -^- (»» — 'w) < 4- « ^ + consU d'où l'on conclut en intégrant entre les limites t^ et t^

En remplaçant les lettres m, n et a parleurs valeurs numériques, savoir :

l'intégrale indéfinie devient :

r^^ = 1.0561561 X / (a + y — 0.0002057* + 0.00000045<» + consl.

par suite on a :

Si dans cette formule on suppose que Ton fasse *, =159^,22, température qui correspond à 6 atmosphères, et (^=40®, température d'un condenseur ordinaire, on trouve

et par suite

Cette valeur peut être obtenue au moyen des tables, en prenant l'intégrale indéfinie, et retranchant l'une de l'autre les valeurs de cette intégrale aux deux températures t^ et t^.

Elle est, on le voit, très-peu différente de / -; i^^is elle lui

est pourtant légèrement supérieure; ce qui se comprend, puisquau lieu d'avoir la quantité c constante et égale à 1 , cette quantité est réellement un peu plus grande que l'unité, et légèrement croissante avec la température, comme on Ta vu au n*" 505.

{BItO) Revenons à la machine considérée au n*" 510, à laquelle on a fourni un kilogramme de vapeur que nous supposerons d'abord parfaitement sèche, ce qui revient à supposer m, = 1 .

Nous avons actuellement tous les éléments pour analyser d'une manière complète les circonstances de la marche de cette machine, depuis l'instant où le kilogramme de vapeur s'est formé dans la chaudière, jusqu'à celui où ce même kilogramme y rentre à la même température, mais à Tétat liquide. Cette évolution se divise en quatre périodes qui doivent être considérées successivement.

(Nous affecterons dans les calculs suivants de l'indice 2 et de l'indice 1, les quantités qui correspondent aux températures t^ett^ de la chaudière et du condenseur.)

(5181) PreBdére période. — Formation de la vapeur et admission à pleine pression de la vapeur dans le cylindre. Chaleur empruntée à la chaudière X, — - fjt, = r, = 494,1 1 . Chaleur employée en travail (Apu)j^=: 44,58. Travail correspondant 18946*^,50.

Volume occupé par la vapeur 0"*,306.

— - Détente de la vapeur dans le cylindre^ sans addition ni soustraction de chaleur.

Proportion de vapeur à la fin de la détente

aJMi r^ cdt , a + t| r.

Chaleur interne totale contenue dans dans la vapeur au commencement de la détente J, = 610,63.

Chaleur interne totale contenue dans le mélange d'eau et de vapeur, à la fin de cette même détente

WiJ| + (1 — wi) N = Wi {h -^ n) + N = wtipi -h (H = *31 .10 -h 40 = 471 .60.

DifTérence entre les deux quantités ci-dessus

Travail correspondant 425 x 139,53=59300,25 kilomètres. Volume à la fin de la détente, en négligeant les variations du volume de Teau liquide

tn,iii = 0.7956 x 20.138 =16,022.

Rapport du volume initial au volume final, soit degré de détente,

u, 0,306 1 ' — : = 777; environ.

période. — Communication avec le condenseur^ travail de la contre-pression.

Quantité de vapeur au commencement de la détente m^=0,7956, quantité qui doit exister à la fin de la détente, pour que Ton puisse, par une compression finale, la ramener à l'état liquide et à la température de la chaudière

Vapeur condensée pendant la communication avec le condenseu

* U a-tt^

Quantité de chaleur interne au commencement de la communication avec le condenseur

mi(Ji-R)-f-H4 — = 471.40

Quantité de chaleur interne à la fin

w'i (Ji-p^i)-h!*i = 94.78 + 40 = 154.78

Différence entre ces deux quantités

(mi—m'OJ, — («11— m',) 1X1=471. 40 — 154.78=556.62 (m4 — m'i)(Ji—pii)=(mi — m'i)p4 =0.6188x545.50 = 556.52

Chaleur due au travail de la contre-pression

{m,-m'j) (Aptt),=0. 0188 x34.78 = ^^-|^ = 21.84.

48f COURS D£ MACHINES.

Clialeur totale passée au condenseur

355.32-^21.84 = 358.16 (nii — in\) Pi + (nii — m'j) kpu= (m, — m\) r, = 357 . 88.

. — Compression du mélange d'eau et de vapevr, et retour à F état liquide et à la température de la chaudière.

Chaleur interne du mélange au commencement de la compression m\J4-h(l —m\) 1X4=134,64.

Chaleurintemedereau liquide après la compression |jl,=1 60,95.

Chaleur dégagée par suite de la compression

(4,— m', Ji — (1 — w'i) m = [A, — 14 — m'j (Ji — ftj)

= N — N — w'ipi =

= 120.95—94.79 = 26.14 Travail correspondant = 425 x (fs •— i*i — w'iPi) = 425 x 26 . 14

(399) fin résumant les quatre périodes ci-dessus, on trouve •

Pour le travail moteur de la première 18946^,50

Pour celui de la seconde 59300 ,25

Total du travail moteur. • . 78246 ,75 A déduire

Le travail résistant de la troisième période 9286 ,25

Celui de la quatrième 11109 ,50

Total. . . 20395 ,73

Reste pour le travail moteur disponible 57831 ,02

Le nombre des calories prises à la chaudière est de 494 ,11

Celui des calories cédées au condenseur 357 ,88

La différence est de 136 ,23

Les deux nombres, 57831 kilogrammètres et 156,23 calories, doivent être rapprochés des nombres indiqués au n"" 510 (57957,25 et 136,37).

Les différences fort petites que Ton observe sont dues, soit aux décimales négligées dans le cours des calculs, soit surtout à ce que les divers nombres des tables, calculés par des formules empiriques diverses, ne sont pas partout en concordance absolue.

Tels qu'ils sont, les nombres obtenus peuvent être considérés comme confirmant, dans une mesure amplement suffisante pour les besoins de la pratique, l'exactitude de ces tables, et en outre comme justifiant très-bien les raisonnements du numéro qui précède.

On peut d'ailleurs vérifier algébriquement l'accord qui doit exister entre les nombres calculés ci-dessus et ceux du n* 510.

En effet, si au lieu d'effectuer les calculs numériques des quatre périodes considérées au numéro précédent, on se borne à poser l'expression algébrique des calories qui correspondent au travail de chaque période, on a les résultats suivants :

l'* Période (frayail moteur) (A/m),.

2* Période. M. J, — mipi — (i^.

3' Période (trayail résistant) (mi — m\) (kpu)i. 4* Période. Id. N — IH — "«'iPi-

De la somme des deux pressions, retranchant la somme des deux derniers, il viendra :

J, + (A/m)« — IS — K — m\) [{kpu)i + p,].

On a d'ailleurs, d'après les formules rappelées au n"" 508 :

h + (Aptt), — ïx, = r, • (Aptt), H- P4 = r|.

On a, d'un autre côté, d'après la formule du n^ 517, dans laquelle on pose m, = 1 •

Il vient donc, en substituant

a-\- ti r-

ou bien

Ce résultat indique bien, conformément à la théorie, que le travail produit correspond aux r, calories prises à la chaudière et em-

ployées avec un coefficient économique marqué par la quantité

(598) On peut faire une vérification analogue, sous une forme différente, en comparant les calories prises à la chaudière et celles cédées au condenseur, on sait que ces quantités sont respectivement proportionnelles aux températures absolues a 4- (, cl a-f- t^.

En effet la première de ces quantités est égale à X^ — 1*« = ^v ^' l'on peut poser q = r,.

La seconde a pour expression (m^ — m\) r^.

Comme on a

il vient

d'où

/ , X a 4- il a -h h

ce qui peut encore s'écrire

On pourrait très-bien partir de Tune ou l'autre de ces dernières égalités, qui ont été établies d'une manière générale dans le chapitre précédent, et l'on en déduirait la quantité m^ — m\ de vapeur qui doit se condenser pendant la communication avec le condenseur ; mais il faut un examen spécial de ce qui se passe pendant la détente et pendant la compression finale, pour déterminer particulièrement chacune des quantités m^ et m\.

(594) Nous avons supposé dans ce qui précède que la chaudière envoyait de la vapeur sèche à la chaudière.

11 est facile de voir ce qui arrivera si Ton suppose que la vapeur soit humide et contienne, dès son arrivée à pleine pression, une

PROPRIÉTÉS VÉCANIQUES DBS VAPEURS. 487

quantité m^ de vapeur et le reste (1 — m^) à Tétat d'eau liquide.

La théorie mécanique de la chaleur ne spécifie rien sur Tétat auquel se trouve le corps employé comme agent de transmission du travail ; les résultats de la théorie doivent donc s'appliquer aussi bien à un mélange d'eau et de vapeur qu'à de la vapeur sèche.

En effet, lorsqu'il sera sorti de la chaudière 1^ d'un mélange m, de vapeur et 1 — i», d'eau liquide, à la température f,, et que ce kilogramme, après une évolution complète y rentrera tout entier h l'état liquide et à la même température (,, la chaleur empruntée à la chaudière sera simplement la chaleur totale de vaporisation du poids m, de vapeur, c'est-à-dire la quantité m, (X, — ts) = t»i r,« C'est ce nombre de calories qui aura, en définitive, dans la machine

le rendement * *, et par conséquent le travail produit pour 4*

de mélange sera simplement proportionnel au poids m, de vapeur contenu dans ce mélange.

(5S5) Mais il est bon de voir comment ce travail se partage entre les quatre périodes que nous avons considérées précédemment. ^

Pour la première période, le travail est simplement proportionnel à m, ; il est en effel m, {pu)^, en négligeant toujours les variations du volume de l'eau à l'état liquide dans le mélange.

Pour la seconde période^ on obtiendra la proportion de vapeur à la fin de la détente en posant l'équation

* rt Jti a-^-t ^ * ri a-i-t.

Par conséquent la quantité m^ décroîtra avec m^.

Le degré de détente, ou le rapport du volume initial au volume

final, sera donné par la quantité -^— * laquelle est de la forme

A H- Bm, ttj

ou bien

488 COURS DE HAGHINES.

A mesure que m, diminue, cette quantité diminue elle-même, puisque son dénominateur augmente.

Ainsi quand la vapeur est employée humide, le volume final correspondant à un volume initial donné doit être plus grand que pour la vapeur sèche, c'est-à-dire que la détente doit être poussée plus loin, pour arriver à la pression et à la température du condenseur.

Cette détente plus prolongée s'explique naturellement par la présence même d'une plus grande quantité d'eau liquide.

11 faut, en effet, pousser la détente jusqu'à ce que la vapeur soit passée de la température t. à la température t^ ; or, l'eau liquide en mélange doit subir en même temps ce même changement de température ; la chaleur qu'elle abandonne sert à réchaulfer la vapeur qui se trouve ainsi moins refroidie pour un degré donné de détente, que si elle avait été employée sèche; ce qui revient à dire que pour un refroidissement donné, de t^kt^, la détente doit être plus prolongée.

Pour la troisième période, on doit concevoir qu'il faut toujours, à la fin de cette période, avoir la même proportion d'eau et de vapeur, à la température t^, afin que par la compression finale on puisse reproduire toujours 1 kilogramme d'eau liquide à la température t^.

On condensera donc dans la troisième période la quantité m^ — m\ de vapeur, m\ ayant la même valeur que pour la vapeur sèche, c'est-à-dire la valeur

Par suite

fl-h<i r^ cdi Ti Ji, a-\-t

nii — m'i = m, x — - — ^ x — ^i

Ainsi la vapeur condensée, par suite la chaleur communiquée au condenseur, et le travail de la contre-pression sont des quan» tités proportionnelles à m^, comme le sont la chaleur enlevée à la chaudière, et le travail de l'admission à pleine pression.

Enfin, pour la quatrième période^ ou celle de la compression finale, le travail est toujours le même pour i kilogramme, quelle que soit la quantité m^.

PROPRIÉTÉS NÉGiNIQUES DES TAPEURS. 489

(596) En résumé, lorsque la vapeur, au lieu d'être sèche, est humide, les quantités de chaleur empruntées à la chaudière et cédées au condenseur, et les quantités de travail produites pendant la communication, tant avec la chaudière qu'avec le condenseur, sont simplement proportionnelles à la quantité m, de vapeur; le travail moteur produit pendant la deuxième période est proportionnellement plus grandy puisque la détente est poussée plus loin à mesure que m, diminue ; le travail résistant de la quatrième période est aussi proportUmnellement plus grand, puisqu'il est toujours le même que pour 1 kilogramme de vapeur sèche.

(697) Mais il doit arriver nécessairement que Taugmentation du travail moteur de la détente compense exactement l'augmentation du travail résultant de la compression finale, de manière que la différence de ces quantités de travail soit, comme le travail de la première et de la troisième période, proportionnelle à la quantitém^.

C'est ce qu'on verrait facilement en faisant une application numérique; mais on peut le reconnaître aussi d'une manière générale. En effet, la chaleur disparue et employée en travail, en passant de la température f, à la température t^, par une détente sans addition ni soustraction de chaleur, a pour expression, d'après ce qu'on a vu au n"" 521 ,

^h 4- P^ — ("»iPi + l*i)

en appelant m^ et m^ la proportion de vapeur initiale et finale. Pour la quatrième période, la chaleur dégagée par la compression sera, d'après le même n"" 521,

ï*i — «*i — «•'ipi

quantité qui se déduirait d'ailleurs de la précédente, en faisant m,=0 et m^=m\.

La différence entre ces deux quantités est

«hpt — (»»i — »»'i) Pi

quantité qui est bien, en effet, proportionnelle à la quantité m,, ainsi que cela doit être.

(598) D'après ce qui précède, on voit qu'une machine à vapeur donnée peut recevoir indifféremment de la vapeur sèche ou de la vape^ir humide, et qu'on obtiendra, dans les deux cas, pour une même dépense de chaleur, une même quantité de travail, porirt;u que, dans Tun comme dans l'autre, on fonctionne dans les conditions du cycle de Carnot, l'évolution étant supposée d'ailleurs se faire entre les mêmes limites de température.

Mais dans les deux cas, la marche de la machine ne devra pas être réglée de la même manière.

La détente devra être plus prolongée avec de la vapeur humide, c'est-à-dire que la période d'admission dans le cylindre devra être réduite ; mais en même temps on augmentera la vitesse de la machine, ou le nombre de tours par minute, de manière à admettre toujours, dans le même temps, le même volume de vapeur.

Cette condition de dépenser un volume constant de vapeur conduirait à faire varier le nombre des coups de piston par minute, en raison inverse des quantités admises à chaque coup, de sorte que si N est le nombre des tours de la machine, quand elle marche avec de la vapeur sèche, on aura pour de la vapeur humide dont le degré d'humidité serait caractérisé par le nombre 1 — m,, un nombre N' de coups de piston satisfaisant à la relation

A et B étant les quantités indiquées au n"" 525, c'est-à-dire

g+ii pi^ cdi ri

A = ?-±Ji r^'jdt ri Jii a-^t

On en déduit :

Jl^ rk cdt fa

W ■*" r^a cdt r.

OU en nombre

Si l'on suppose m,=0,90, c'est-à-dire si Ton admet que la vapeur entraîne 10 pour 100 d'eau (ce qui est une proportion qui souvent n'a rien d'excessif), on en déduit

Si l'on supposait «1^=0,80, ou 20 pour 100 d'eau (ce qui dépasserait la proportion habituelle), on trouverait :

(S!B9) Nous supposerons actuellement que la vapeur, après sa sortie de la chaudière et avant son admission dans le cylindre, soit surchauffée par son passage à travers un appareil plus ou moins analogue à celui qui sert à chauffer l'air avant son introduction dans les hauts-fourneaux.

Nous supposerons que cette surchauffe se fasse sous pression constante, cette constance élant due au déplacement du piston. SoitT, la température finale de la vapeur; la. quantité de chaleur reçue par la vapeur, en sus de la quantité qui l'a constituée à l'état de saturation à la température i^ de la chaudière, aura pour expression c (T, — tj, c désignant sa chaleur spécifique à pression constante.

A la période d'admission on fera succéder une période de délente jusqu'à ce qu'on obtienne une pression égale à celle du condenseur.

Alors il peut arriver deux cas, ou bien la température tf^ de la vapeur détendue est encore supérieure à la température t^ du condenseur, et la vapeur est restée désaturée, ou bien elle lui est égale, si la vapeur est revenue à la saturation, soit strictement, soit avec une condensation partielle.

Elle ne saurait évidemment lui être inférieure.

Dans le cas où t\=t^, la détente et la condensation qui la suit, satisfont aux conditions de réversibilité du cycle de Carnot.

Si l'on Sitf^>t^, on est dans les conditions indiquées à la fin du n** 462, c'est-à-dire qu41 y a, entre le réfrigérant et le corps qu'on met en contact avec lui, une différence finie de température qui empêche la réversibilité du phénomène, et qui diminue le rendement.

D'ailleurs, dans l'un comme dans l'autre cas, une différence analogue existe pendant une partie au moins du contact entre la vapeur venant de la chaudière, et l'appareil de surchauffe; par conséquent

la chaleur fournie par cet appareil, a un rendement inférieur à la

quantité * , ^S et de la forme a . -* — =^, a étant une fraction pro-

prement dite.

La* quantité r, de chaleur fournie par la chaudière a un rendement *"" *.

La quantité c (T, — t,) de chaleur fournie par l'appareil de sur-

T — f chauffe, a un rendement a ~ — ^.

Le rendement du cycle entier sera donc, en raisonnant comme au n"* 474, donné par la relation

• =;r+7îvrn3 [■•• '^ +""•-« .^]

Si l'on suppose que l'on ait, comme dans la machine considérée plus haut,

f qu'en outre, on surchauffe la vapeur jusqu'à 500% et qu'enfin on admette pour c la valeur 0,48, moyenne des expériences de

M. Regnault, on aura les valeurs suivantes :

f, = 494.11 (ainsi qu'on l'a vu plus haut). c (T, — g = 0.48 X 140.78 = 67.57

^=4^ = 0.276 (Voir n» 510).

srr, - 575 = ^•^^*-