CHAPITRE PREMIER

(1) Nous désignons sous le nom de machines j en général, des appareils plus ou moins complexes, qui sont entretenus à l'étal de mouvement par Taclion d'un moteur naturel et utilisés à cet état, pour l'obtention de certains résultats industriels déterminés.

Les moteurs qu'emploie l'industrie sont en nombre fort limité : ce sont principalement ou bien les hommes ou les animaux agissant sur certains organes déterminés, tels que le bouton d'une manivelle, ou le bras d'un cabestan ou d'un manège, ou bien l'action de la gravité utilisée dans les chutes d'eau„ ou encore l'action de la chaleur employée dans les machines à feu en général et spécialement dans les, machines à vapeur.

Les résultats industriels i\ obtenir sont, au contraire, des plus variés ; les progrés de l'industrie en réclament chaque jour de nouveau, et le nombre deï appareils à faire mouvoir est, en quelque sorte, indéfini.

Citons pour l'industrie des mines les appareils d'extraction, d'épuisement, de ventilation, de préparation mécanique; pour la métallurgie, les machines soufflantes des hauts fourneaux et les appareils variés employés dans les forges pour élaborer le métal cl

l'amener à en faire un produil'marcliand ; pour l'industrie en général, les nombreuses machines qui servent à moudre le blé, à scier, à couper, à percer le bois ou les métaux, à préparer, filer et tisser les matières textiles, etc., etc.

(2) Quel que soit le résultat industriel à obtenir, on peut toujours distinguer dans une machine qui fonctionne les trois parties suivantes : le récepteur, les organes de transmission de mouvement ou plus simplement les transmissmiSj et enfin Y opérateur , Voulil ou le métier, quelquefois unique, ou, plus généralement, une ou plusieurs séries d'opérateurs, outils ou métiers exécutant les diverses opérations que peut comporter le produit industriel à obtenir. Le récepteur est, confme son nom l'indique, l'organe qui reçoit l'action du moteur servante entretenir le mouvement de la machine. Ou reconnaît que sur le point d'application du moteur il y a toujours une production de travail moteur, suivant la signification que la mécanique rationnelle attrilmeà ce mot, c'est-à-dire effort exercé sur un point donné et cs})ace parcouru par ce point se projetant dans le sens de cet effort.

Les organes de transmission sont des combinaisons variées d'un nombre limité de pièces (leviers, bielles, manivelles, roues dentées, poulies, etc.), au moyen desquelles on transporte le mouvement communiqué au récepteur jusqu'à l'opérateur ou aux opérateurs, en le moditiant ou le transformant convenablement.

L'étude de ces combinaisons a été faite : on sait aujourd'hui, et de diverses manières, transformer les uns dans les autres les mouvements circulaires ou reclilignes, contiims ou alternatifs, lents ou rapides; de telle sorte qu'il n'y a point de relation obligaloire entre le mouvement que prend le récepteur et celui qu'il convient de donner à l'outil. On peut dire, par exemple, que, sauf peut-être un peu plus ou un peu moins de complication dans les transmissions, un piston à vapeur qui prend un mouvement recliligne alternatif, et une roue hydraulique qui prend un mouvement circulaire continu, sont également aptes, soit à faire tourner des meules de moulin, soit à faire mouvoir des pompes, et généralement, qu'un moteur quelconque, quel que soit le mouvement qu il donne à son rccep-

^eur, peut ôlre appliqué à mettre enjeu des opérateurs se mouvant

suivant une loi donnée.

Cette considération a une très-grande valeur pratique.

^Tivé aux opérateurs, on reconnaît que lorsqu'ils fonctionnent

utilement, lorsqu'ils produisent le résultat industriel en vue duquel

ils ont été établis, il y a en ces points productions de travail résis-

^ffWt*, c'est-à-dire résistance vaincue et espace parcouru se projetant

6n sens contraire de cette résistance. La chose est évidente, lorsque

^e résultat industriel cherché est l'élévation d'un poids, comme dans

'es machines d'extraction ou d'épuisement ; elle n'est pas moins

claire, avec un peu de réflexion, dans le cas le plus ordinaire en

wdustrie, où il s'agit de vaincre les forces moléculaires qui se déve-

ioppent, lorsqu'on agit sur les corps pour changer leur état actuel,

soit par compression, soit par étirage, par torsion, ou de toute

autre manière.

Indépendamment de ce travail résistant principal, dû aux résistances que la machine a précisément pour objet de surmonter, on constate qu'il s'en développe encore, par suite du mouvement môme de la machine, mettant en jeu des résistances secondaires, résistances passives ou nuisibles, telles que le frottement de la machine sur ses supports fixes, ou le frottement des pièces mobiles les unes sur les autres, ou encore la résistance des milieux dans lesquels se meut la machine. Ces résistances secondaires donnent lieu à de ^^^'l'iaines quantités de travail, qui ne sont pas négligeables en général (levant le travail des résistances principales, et qui peuvent "^êmc,pour des machines très-complexes, être égales ou même supérieures à ce dernier travail.

(^) En résumé, la machine est un appareil qui reçoit sur un point, ^e la part du moteur, une certaine quantité de travail, et qui le départit, en le modifiant dans ses deux facteurs (force et espace par- ^ouru), sur les divers opérateurs où agissent les résistances principales, et en outre sur ses divers organes de transmission où se développent', par le jeu môme de ces organes, des résistances secondaires.

U importe de voir et de préciser sous quelles conditions s'effectue ^^le répartition.

(4) Pour cela il est indispensable de rappeler quelques définitions et quelques théorèmes delà mécanique rationnelle.

On appelle force en général toute cause de production ou de modification de mouvement d'un corps.

Une force, quelle qu'elle soit, agissant sur un point matériel, peut toujours être théoriquement remplacée par un poids agissant à l'extrémité d'un fil tendu verticalement et venant par l'intermédiaire d'une poulie de renvoi exercer sur ce point un effort déterminé dans sa grandeur, dans sa direction et dans son sens. Une force sera donc toujours pour nous mesurée par un certain nombre de kilogrammes.

Si l'on désigne par P le poids d'un corps en kilogrammes, par j=9'",8088,oug = 9'',81, l'accélération que la gravité imprime à ce corps, par F une force autre que la gravité, qui vient à agir sur ce même corps, par y l'accélération correspondante, on a la relation

p la quantité - varie d'un corps à un autre proportionnellement

au poids P, puisque la quantité g est, comme l'indique l'expérience, la

p même pour tous les corps. Cette quantité - donne la notion de la

masse. La masse s'exprime, pour un corps déterminé, par le rapport numérique de la force exprimée en kilogrammes à l'accélération exprimée en mètres, que la force imprime à ce corps. Ce quotient, qui pour les corps pesants, est proportionnel à leur poids, donne ridée de la quantité de matière plus ou moins grande contenue dans le corps. La masse prise pour unité dans les calculs et celle du corps qui pèse 9'',81.

(5) Si Ton désigne par m la masse d'un point matériel et par V la vitesse, on appelle par définition, force vive la quantité mV*, ou puissance vive la quantité { wV*, qui est celle qui figure habituellement dans les équations.

Si l'on désigne (p/. .1, /î^. \) par F la valeur numérique absolue

d'une force, par ds un déplacement élémentaire de son point d'application considéré également avec sa valeur absolue, par a l'angle, pouvant varier de 0° à 180°, compris entre la direction de la force dans le sens suivant lequel elle agit, et la direction.du déplacement ds dans le sens où il s'effectue, la quantité Fdscosa est, par définition, le travail élémentaire delà force F.

Ce travail est moteur on r^^w/anf suivant que cette quantité est po-. sitive ou négative, c'est-à-dire suivant que l'angle aest aigu ou obtus.

La quantité Frfscosa'peul s'écrire indifféremment Fxd^cosa ou FcosaXds, ce qui s'énonce en disant que le travail élémentaire d'une force est le produit de la force par la projection du déplacement sur cette force, ou le produit du déplacement par la projection de la force sur ce déplacement, le travail étant moteur ou résistant suivant que la grandeur projetée est dans le même sens que la grandeur sur laquelle on la projette ou en sens contraire : le travail est nul lorsque la force et le déplacement sont perpendiculaires. En intégrant entre deux limites données la quantilé/Fcosad^, on obtient le travail total de la force F entre ces deux limites.

(6) Si le point matériel est soumis à la fois à plusieurs forces distinctes F, F', F",.--- (p^- h fiO- 2) donnant une résultante R., le travail élémentaire de cette résultante est égal à la somme algébrique des travaux élémentaires de toutes les composantes. Cette propriété est une conséquence immédiate de ce que la projection de la résultante sur une ligne quelconque est égale à la somme algébrique des projections des composantes sur la môme ligne. En désignant par A et par a a' a".... les angles que font la résultante et les composantes avec celte ligne, on a

RcosA = Fcosa + F'cosa' -f F^cos a*'

et supposant que cette ligne, dont la direction est arbitraire, soit tracée suivant le déplacement élémentaire ds, on pourra écrire, en multipliant les deux termes par le facteur ds :

Rcos Kds = (F cos a + F'cos a' + F* cos a".. ..)rf5

= Fcosad«+ F'cosft'd« -h- F' cos a" £/«+....

6 COUBS DE MACHINES.

OU encore

Rd«cosA=F(l«cosot -|- F'd^cosa' + = sFrficosa]

ce qui est la traduction algébrique de la propriété énoncée.

(7) La force R, résultante des forces F, F', F", qui agissent sur un point matériel donné, a, relativement à la trajectoire que décrit ce point matériel supposé d'ailleurs parfaitement libre, une position qui peut être définie géométriquement de la manière suivante :

Cette force est dans le plan osculateur de la courbe. Si on la décompose en deux forces rectangulaires, dont Tune est suivant la tangente, l'autre est suivant la normale principale (/;/. I, fuj, 3).

La composante tangentielle T agît seule pour changer la grandeur de la vitesse sur la trajectoire, et le point matériel se meut sur cette trajectoire comme se mouvrait en ligne droite un point matériel soumis à une force égale constamment à cette composante.

La composante normale N agit pour changer à chaque instant la direction de cette vitesse, mais non sa grandeur.

La composante tangentielle a pour expression analytique

T = m -j-. Suivant qu'elle est dans le sens du mouvement du at

point matériel ou en sens contraire, la quantité -j- est positive ou

négative, et le mouvement sur la trajectoire est accéléré ou retardé. La composante normale, ou force centripète, a pour expression

N = m — Dans ces deux formules m est la masse du point matériel

P considéré, p le rayon de courbure de la trajectoire en un poiat

dv

di

donné, V la vitesse en ce point, et -j- l'accélération tangentielle cor-

respondante.

(8) Ces principes rappelés, nous énonçons les deux théorèmes suivants :

1^ Théorème.

Dans le mouvement d^un point matériel^ la demi-variation de force

DÉFINITIONS ET NOTIONS PnÉLÏMlNAIRES. 7

rive, en passant d'un point à un autre de la trajectoire qu'il décrit^ eM numériquement égale à la somme des quantités totales de travail detoïïtes les forces qui lui sont appliquées.

En effet l'équation T=m -j- nous donne en multipliant de part et

d'aiilre par rfs :

Tils=zin Yf ds = mdv -rj = mvdv -— ^d[mv*]»'

D'aulre part ^

Ids =: R(/scosA = iFdscosjL , donc

2Fd«cosa=|f/(mV«),

OU en intégrant entre deux limites pour lesquelles les vitesses sont V.etY.

|[mV«-mVo*|= fsFrfacosa

ce qui est le théorème énoncé.

2* Théorème.

Dans le mouvement d*un système quelconque de points matériels en mouvement^ la demi-variation de la force vive totale du système, c'està-dire de kl somme des forces vives de tous les points matériels de ce système, est égale à la somme des quantités totales de travail produites par toutes les forces appliquées.

Cette généralisation du premier théorème se démontre immédiatement, en ajoutant simplement membre à membre une série de larmes de la forme

On en conclut

2*wV*- simVo» = ^ f lîdêCOSOL.

Ce théorème est vrai pour un système quelconque de points ina-

tériels, et il n*est sujet à aucune exception, sous la double condition, de comprendre dans le premier membre de l'équation tous les points qui font partie du système en mouvement, et dans le second membre toutes les forces qui travaillent dans ce mouvement, c'est-àdire celles dont le travail n'est pas nul.

Tel est le théorème gênerai des forces vives ou du travail, dont nous verrons par la suile des applications continuelles, etqu^on doit considérer comme le principe de mécanique rationnelle le plus important pour les applications aux calculs des machines.

(9) Il reste ù voir comment ces applications seront possibles en pratique.

On peut remarquer que dans une machine en mouvement, ou même dans la plus simple pièce d'une telle machine, il existe un nombre immense de points matériels; que chacun de ces points en particulier décrit une trajectoire essentiellement différente de celle qu'il décrirait s'il était soumis seulement soit à la gravité soit à une force extérieure distincte qui lui serait appliquée, attendu que ce point matériel est, en outre, soumis à l'action de tous les autres points auxquels le rattachent des liaisons plus ou moins complètes. *

Il semble donc que l'équation qui est la traduction analytique du théorème général des forces vives, devrait comprendre au premier membre autant de termes qu'on pourrait distinguer de points matériels dans le système de la machine, et au second membre, pour chacun de ces points matériels, autant de termes qu'il y aurait de forces tant intérieures qu'extérieures agissant sur lui.

On ne peut songer à procéder de cette manière.

Il faut nécessairement renoncer ici à la thjo^le pure ; il faut faire certaines abstractions, certaines hypothèses sur la constitution des corps qui composent les organes de la machine. La question peut alors donner prise au calcul; mais comme on n'est plus dans la réalité ligbureuse des fails, les résultats auxquels on arrive ne doivent plus être considérés que commodes approximations demandant à être vérifiées expérimentalement.

(1 0) Supposons que les corps solides qui composent les pièces de

DÉFIMTIO>S ET NOTIONS PIIÉLIMINAIRES. 9

la machines soient géométriquement solides, c'est-à-dire formés de points matériels maintenus par des liaisons quelconques à des dislances rigoureusement invariables. Supposons les surfaces des pièces mobiles et des supports fixes de la machine inébranlables et parfuiment polies.

Supposons enfin, s'il y a des liens flexibles dans le système, que ces liens soient parfaitement flexibles et inextensibles.

Ces hypothèses, qui sont celles que Ton fait lorsque Ton èludie, dans la statique élémentaire, les condilions d'équilibre des machines simples, conduisent immédiatement, dans l'application du principe des forces vives, à de très-grandes simplifications.

(fi) En admettant que deux points matériels ne peuvent agir l'un sur Taulre que suivant la ligne droile qui les joint, et que dans toutes les actions mutuelles, l'aclion et la réaction sont toujours égales et directement opposées, on reconnaît immédialement :

1' Que les forces intérieures qui sont en jeu entre les divers points matériels composant une pièce solide de la machine disparaissent de l'équation des forces vives (car, en général, si R est la valeur de l'action mutuelle de deux points malériels situés à la distance r l'un de l'autre, le travail élémentaire produit sur l'ensemble des deux points dans un déplacement infiniment petit quelconque a pour expression Rrfr, et ce travail est nul si dr=o) ;

2* Que les réactions des surfaces fixes servant de supports aux pièces de la machine ne figurent point dans l'équation, attendu que ces réactions étant normales aux déplacements, leur travail est nul ;

3*' Que pour les i^ctions muluelles des pièces mobiles faisant partie du système, le travail total est nul, parce que le déplacement suivant la normale étant le même pour deux surfaces qui se déplacent en restant eti contact, le travail moteur qu'une des pièces peut se trouver exercer sur une autre est compensé exactement par le travail résistant qu'elle reçoit, à son tour, de celte dernière;

4° Enfin, que le travail produit par la tension d'un lien flexible réunissant deux points du système est nul quand ce lien ne varie pas de longueur, et que, par conséquent, cette tension, pas plus

iO COUnS DE MACHINES.

que les forces précédentes, ne figure dans l'équation des forces vives.

(f 2) Que reste-t-il donc après toutes ces éliminations?

D'abord, il reste, d'un côté, la force motrice agissant sur le récepteur, de l'autre côté, les résistances principales.

11 reste encore les forces extérieures distinctes qui peuvent être appliquées à divers points, telles que leur propre poids ; ou, plus généralement, il reste enfin les actions que des corps étrangers au système de la machine peuvent exercer sur elle, en tant que ces actions ne rentrent pas dans celles du moteur ou des résistances principales.

En négligeant ce dernier cas, désignant par Tm le travail de la force motrice, par Tr celui de la résistance ou des résistances principales, par Q le poids des pièces sur lesquelles la gravité produit du' travail et par /i la hauteur dont le centre de gravilé de rensemble de ces pièces est monté ou descendu, l'équation générale des forces vives devient simplement

S'il s'agit d'une machine fixe, on peut négliger le terme ±Qh qui n'augmente pas indéfiniment avec le temps, et le mouvement d'une telle machine, considéré pendant une période de temps quelconque, satisfera à l'équation

T„- T,=l2mV--~|2mVo».

(13) Cette équation, applicable à une machine en mouvement, entre deux instants donnés quelconques de sa marche, demande h être discutée.

Si on la considère en partant de l'instant où la machine a commencé à marcher, c'est-à-dire à un moment où l'on avait Vo=o pour tous les points du système, la formule devient

Elle exprime qu'à un instant quelconque du mouvement la demiforce vive actuelle du système est numériquement égale à Tcxcès du travail moteur sur le travail résistant comptés l'un et l'autre depuis l'origine du mouvement.

Si la machine est telle que, composée uniquement de pièces animées de mouvements continus, elle parvienne à un état de régime dans lequel la vitesse de chacun de ces points soit invariable, on aura pendant toute cette période une force vive invariable, ce qui suppose à chaque instant le travail moteur égal au travail résistant. L'équation exprimant celte égalité est précisément celle que l'on poserait, en appliquant le principe des vitesses virtuelles, pour trouver la condition d'équilibre entre la puissance et les résistances. Ainsi, pour des machines de celte espèce, les conditions du mouvement uniforme ne sont pas autres que les conditions de l'équilibre statique.

Mais, le plus habituellement, les machines ne comportent pas celte uniformité absolue dans leur régime ; elles sont constituées de manière que certains points aient des mouvements continus, d'autres des mouvements alternatifs et que la force motrice et les résistances ne se fassent pas à chaque instant équilibre ; tantôt, la puissance l'emporte, tantôt, ce sont les résistances. Ces alternatives donnent lieu à des accroissements et à des diminutions de force vive. L'état de régime -pour la machine consiste, non plus en une vitesse uniforme pour chacun de ses points, mais en une succession de périodes régulières, au commencement de chacune desquelles tous les points de la machine se retrouvent dans la même situation relative et animée des mêmes vitesses.

L'équilibre statique entre la force motrice et les résistances est remplacé par ce qu'on peut appeleu une sorte d'équilibre dynamique. Au lieu d'avoir à chaque instant le travail moteur élémentaire de la puissance égal à la somme des travaux élémentaires des résistances, l'égalité existe entre les quantités totales de travail, soit moteur, soit résistant, correspondant à une de ces périodes.

Enfin, dans le cas le plus général, on doit reconnaître qu'en pratique l'action du moteur ne peut pas être absolument régulière, et que celle des résistances principales le sera habituellement

encore moins, chacune d'elles pouvant être irréguliore, et souvent môme intermittente, par suile d'embrayages ou de débrayages successifs des divers outils ou métiers. Il en résultera dans la marche de la machine une succession de périodes irrégulières pendant lesquelles la force vive du système ira tantôt en s'accroissant, tantôt en diminuant, selon que le travail moteur sera actuellement supérieur ou inférieur au travail résistant correspondant. Les passages d'une période à Tautre marquent des points où la force vive du système est alternativement un maximum ou un minimum, et c'est en ces points que le travail moteur élémentaire est égal à la somme des travaux élémentaires des résistances, c'est-à-dire que ces forces ont entre elles les relations nécessaires à leur équilibre statique.

(14) Ainsi, en résumé, depuis l'instant où une machine part du repos jusqu'à l'instant où, après un fonctionnement plus ou moins prolongé, elle revient au repos, on peut distinguer trois phases successives :

Une phase de mise en train, pendant laquelle le travail moteur total développé l'emporte sur le travail résistant total d'une quantité numériquement égale à la demi-force vive actuelle du système ; une phase de marche normale, pendant laquelle la machine ayant atteint sa vitesse de régime, sa force vive est, ou absolument constante, ou périodiquement variable entre certaines limites. Cette deuxième phase peut avoir une durée quelconque; pendant cette durée, le travail moteur et le travail résistant vont croissant l'un et l'autre indéfiniment, leur différence oscillant entre certaines limites.

Enfin, dans la troisième phase, celle du retour au repos, le moteur diminuant ou interrompant son action, le travail résistant l'emporte, la force vive diminue, et la machine est ramenée au repos, c'est-à-dire que tous ses points sajis exception sont saiks vitesse, lorsque l'excès du travail résistant sur le travail moteur est égal à la demi-force vive que la machine possédait quand cette troisième phase a commencé.

Le travail moteur total développé depuis la mise en train jusqu'à Tarrôt se trouve en définitive égal au travail résistant total; de

sorte que le rôle de la machine a été de distribuer le travail moteur entre les divers opérateurs où Ton avait un travail résistant à surrqonter , et celte distribution s'est opérée sans perte ni sans (jaln.

(15) On voit que ce dernier résultat ne dépend ni de la nature du moteur, ni de celle des résistances, ni enfin de Ja Combinaison cinématique employée pour la transmission du mouvement du récepteur aux opérateurs.

Celle observation est parfaitement propre à montrer Tinanité de la recherche qui a occupé si souvent, qui occupe môme encore parfois l'esprit des inventeurs : la recherche du mouvement perpétuel. Si dans cette recherche on se propose, avec une quantité limitée de travail moteur, de surmonter une quantité indéfinie de travail résistant, le résultat indiqué ci-dessus monire que le but ne peut être atteint.

Si Ton veut simplement avoir un système qui une fois mis en mouvement continue indéfiniment à se mouvoir, mais sans avoir de travail résistant à surmonter, on peut dire d'abord qu'un tel système est sans utilité pratique, attendu qu'il n'obtient aucun résultat industriel ; on peut ajouter que ce n'est pas une combinaison cinématique déterminée, mais bien un système quelconque, qui aura cette propriété de s'entretenir en mouvement avec une force vive constante, s'il n'est soumis à aucune résistance.

Ainsi la question est insoluble dans le premier cas, et dans le second, il n'y a pas, à proprement parler, de question à résoudre, ou, plus exactement, la question n'est pas de trouver une combinaison géométrique spéciale, mais bien de chercher à faire disparaître toutes les résistances nuisibles.

Cela n'est pas possible d'une manière complète; car il faut bien toujours en venir à ce que les parties mobiles reposent sur quelques supports fixes; d'ailleurs ces parties mobiles se meuvent toujours dans des milieux qui leur opposent nécessairement quelque résistance.

(i«) Nous avons dit plus haut quà la phase de la mise eu train,

14 COUnS DK MACHINES.

succédail bientôt' pour iiiie machine une phase de marche normale, une vitesse de réijhie^ à laquelle se réglait le mouvement de la machine. On peut reconnaître d'une manière générale qu'il en doit être ainsi. '

En effet considérons le moteur agissant sur son récepteur; son travail est nul si la vitesse du récepteur est nulle. Le travail augmente d'abord avec celte vitesse, mais il n'augmente pas indéfiniment avec elle. A telle vitesse, le moteur ne pourrait plus que suivre le mouvement de son point d'application sans exercer sur lui aucun effort. Au delà de celle vitesse, il devrait être entraîné par le récepteur ; ce serait du travail résistant et non plus du travail moteur qui se produirait sur le récepteur.

Au contraire, si nous considérons les opérateurs, la résistance ne diminue pas en général si la vitesse augmente ; elle aurait plutôt tendance à augmenlcr dans la plupart des cas. D'jylleurs, il y a une résistance passive qui croît indéfiniment avec la vitesse, c'est la résistance des milieux.

D'après cela, prenons deux axes rcclangulaircs OX et 0\\ (pi. I, fig. 4). Comptons suivant OX une quantilé variable mesurant les vitesses successives que prend la machine, par exemple le nombre de tours que fait une certaine pièce par seconde.

Comptons suivant OY les quantités de travail moteur ou résistant obtenues à ces diverses vitesses dans l'unité de temps.

D'après ce qui vient d'être dit, la courbe du travail moteur aura la forme générale 0mA ; OA mesure la vitesse à laquelle le moteur cesse de pouvoir exercer un effort sur le récepteur.

La courbe du travail résistant sera ou la droite OB, ou unccourl>c OC se relevant un peu au-dessus de la droite.

Les deux courbes se couperont nécessairement en un certain point D, dont l'abscisse OD' mesurera la vitesse de régime qui devra s*établir.

(1**) Ajoutons que dans beaucoup de machines des dispositions sont prises pour que celle vitesse de régime ait une valeur à peu près délôrniiiîée à l'avance, et pour que, dans les variations que peuvent subir la force motrice et les résistances, les écarts autour

DÉFINITIONS ET NOUONS PIŒUMINAIRES. ^ 15

de celte vitesse soient rebtreinis entre certaines limites, ou du moins ne puissent pas croitre indéliniment.

Les moyens emplrfjés à cet effet sont de deux sortes, les régulateurs elles volants.

(18) Il y a plusieurs espèces de régulatours. Les uns agissent sur le récepteur pour diminuer au augmenter l'action de la force motrice, selon que la machine s'emporte ou se ralentit.

Par exemple, sur une roue hydraulique, le régulateur diminue ou il augmente rouvcrture de la vanne.

Sur une machine à vapeur, il ferme plus ou moins la soupape à gorge, ou il augmente ou diminue le degré de la détente.

Si Ton veut être assuré que la machine ne s'emportera pas au delà d'une certaine vitesse, par exemple dans le cas d'un débrayage complet de tous les outils, ou bien dans le cas de ruptui e accidentelle d'une transmission voisine du récepteur, il suffit d'arranger les choses pour qu'à cette vitesse le régulateur ait fermé entièrement la vanne, ou la soupape à gorge, ou manœuvré Tappareil de détente de manière à rendre l'admission nulle.

Le type le plus ordinaire de ces aqpareils est le régulateur à boules et à force cenirifuge (pendule de ^Yalt), dont il sera parlé plus loin. Mais il en existe qui fonctionnent d'après d'autres principes. Dans tous les cas, la variation de vitesse détermine le mouvement d'une certaine pièce qui va agir directement sur l'appareil de distribution^ si celui-ci est facile à mettre en jeu, ou bien sur un embrayage quelconque, si le mouvement de l'appareil de distribution demande une- certaine dépense de temps et de force.

D'autres régulateurs, au lieu d'agir sur le récepteur, agissent en créant une résistance, soit en serrant plus ou moins les mâchoires d'un frein, soit au moyen de surfaces en mouvement dans un fluide quelconque, Tair ou l'eau.

Ces régulateurs sont, en principe, moins satisfaisants que les premiers et d'un emploi moins habituel.

(19) Les volants ont un rôle essentiellement différent des régu-

l'> COURS DE MACHINES.

latcurs, rôle qui n'est pas toujours parfaitement compris, et qu'il importe de préciser.

Un volant est habituellement une roue à jîinte épaisse et large, calée sur un arbre animé d'un mouvement de rotation. La force vive d'une semblable pièce se calcule facilement : w t tarit la-vitesse angulaire, m la masse d'un point à la distance r de Taxe, la vitesse de ce po nt est ?a) et la force vive mr^b>^, La torce vive totale est or2T?ir*, qui peut s'écrire Mp'w', en appelant M la masse totale du volant et p son rayon de giration par rapport à l'axe de l'arbre qui le porte.

Si l'on suppose qu'il s'agisse d'une machine à mouvement périodique régulier (n° 4), et que Ton considère l'inlervalle qui s'écoule entre un minimum et un maximum de force vive, l'excès du travail moteur sur le travail résistant dans cet intervalle sera égal à la demi-variation de force vive éprouvée par la machine.

Si l'on suppose en outre que la masse ou plutôt la force vive des autres parties de la machine puisse être négligée devant celle du volant, on aura, en désignant par w^ la vitesse au commencement et par w^ la vitesseà la fin de l'inlervalle considéré,

Le second membre se calcule quanil on connaît les forces qui agissent sur la machine et sa constitution géométrique. On a d'ailleurs

et par suite

^^^M«i - «o) X Mp-- = T„ - T..

La quantité -^ — - peut être prise pour la vitesse moyenne û. Si

Ton vent que la varialion w^ — Wq soit une fraction donnée - de h

vitesse moyenne, l'équation devient

1 n« Mp* = T„ - Tr

DÉFINITIONS ET NOTIONS PRÉLlMLNAlRtS. 17

On voit que si Ton se donne T,, — T, , ainsi qne la fraction -

Féquation détermine entre les trois quantités Û, M et p une relation à laquelle doivent satisfaire le volant et la vitesse de l'arbre sur lequel il est calé.

Le volant peut donc toujours être installé de manière que, l'écart T, — T,. étant donné, cet écart, qui entraîne une variation détei^minée dans la force \ive du système, corresponde à une variation aussi petite qu! on voudra autour de la vitesse moyenne.

Telle est la fonction régulatrice que remplissent les volants dans les machines à mouvement périodique régulier, telles, par exemple, que celles qui sont actionnées par la force motrice de la vapeur s exerçant sur un piston.

[%Q) Mais cette fonction des volants n'est pas la seule. Les volants sont encore utiles dans les machines à mouvements périodiques irréguliers ; ils sont même indispensables dans toutes celles où la force motrice peut être regardée comme constante, tandis que les résistances sont essenliellement intermittentes, mais trés-considérables au moment où elles viennent à s'exercer. Telles sont ks machines à frapper la monnaie, les machines à percer, estamper, laminer, etc., etc.

Pendant que la force motrice agit seule sur ces machines, le travail moteur, n'ayant pas à surmonter de travail résistant, s'accumule dans la machine sous forme de force vive, et le volant permet une grande accumulation a\ec un faible accroissement de vitesse.

Lorsque la résistance vient à agir, le travail résistant, pendant cette action, l'emporle énormément sur le travail moteur correspondant, qu'on peut en quelque sorte négliger. Mais la machine,, fonctionnant, comme on dit vulgairement, en vertu de la vitesse acquise, restitue le travail moteur qui s'y était accumulé tout à l'heure sous forme de force vive. La résistance est vaincue, le résultat industriel voulu est oblenu. La vitesse de la machine est diminuée, mais non annulée. Elle va recommencer à croître, jusqu'au moment où de nouveau la résistance viendra s'exercer.

18 COURS DE MÀGUINES.

Le volant est assimilable à un réservoir dans lequel il se ferait une affluenee modérée et constante d'un liquide qui devrait être dépensé en grand à certains moments déterminés. La dépense serait à ces moments beaucoup plus grande que Taffluence ; mais la continuité de celle-ci établirait la compensation.

Quelle que soit la manière dont les volants fontionnent, on voit que par eux-mêmes ils ne créent pas de travail. Il est impossible qu'ils en créent: Ils en absorbent même une certaine quantité, par le surcroît de frottement des tourillons et par la résistance du milieu dans lequel ils se meuvent. Mais leur rôle n'en est pas moins important à divers points de vue, ainsi qu'on vient de le dire.

^ (21) En résumant tout ce qui vient d'être dit sur la machine idéale^ telle qu'elle a été déflnie ci-dessus (n°3), c'est-à-dire, 'on le répète, la machine formée de pièces géométriquement solides, n'ayant que des surfaces d'appui inébranlables et parfaitement polies, et des liaisons parfaitement flexibles et inextensibles, on voit qu'une telle machine est un appareil qui sert à recueillir le travail d'un moteur et à le répartir entre les divers opérateurs qu'elle doit faire mouvoir pour surmonter certaines résistances ; que dans une évolution complète d'une machine, depuis sa mise en marche jusqu'à l'arrêt, cette répartition se fait intégralement, sans aucun déchet ; que pendant la marche, il s'établit toujours un régime qui correspond soit à une vitesse constante, soit à une vitesse variable oscillant entre certaines limites par périodes régulières ou irrégulières; qu'à un instant donné la force vive possédée par la machine est la mesure de l'excès du travail moteur sur le travail résistant produit depuis sa mise en marche ; que cette force vive peut être à son tour employée à surmonter une quantité correspondante de travail résistant; et enlîn que ces variations de force vive peuvent correspondre à des variations dp vitesse aussi petites qu'on voudra, moyennant l'emploi de volants convenablement établis.

(22) Actuellement, si nous reprenonsles hypothèses sous lesquelles les machines jouissent des propriétés qui viennent d'être rèsu-

mées, nous devront reconnaître que, pour certaines machines, ces hypothèses ne sont pas entièrement admissibles.

Ces machines sont celles qui sont constituées géométriquement de telle sorte, que les liaisons établies entre les diverses pièces ne peuvent subsister sans obligera supposer, à certains moments, des changements brusques de vitesse.

Tel est, par exemple, le cas de cames portées sur un arbre tournant venant successivement soulever les mentonnets des flèches d^un bocard.

A l'entrée en prise de la came, elle est animée d'une certaine vitesse finie; le mentonnet, au contraire, est immobile. Comme il ne peut prendre instantanément une vitesse /iitte, à moins de supposer à l'action de la came une intensité infinie j il est nécessaire que les deux surfaces qui entrent en contact se déforment d'abord d'une petite quantité, et par conséquent l'hypothèse de surfaces parfaitement inébranlables n'est plus admissible. Il se développe pendant cette déformation une action et une réaction très-considérables, mais qui ne peuvent être calculées, parce qu'elles dépendent de la raideur plus ou moins grande des surfaces en contact. De ces deux forces agissant pendant un temps très-court, et avec une intensité d'autant plus grande que le temps est plus courte Tune imprime à la flèche du bocard la vitesse finie avec laquelle elle est soulevée, l'autre produit sur la came une diminution de vitesse également finie, et quand ces deux pièces ont pris une même vitesse suivant la normale commune au point de contact, l'observation montre qu'elles se meuvent en restant ainsi appuyées l'une contre l'autre, jusqu'au' moment où la came cesse, par suite de son tracé géométrique, d'être en prise avec le mentonnet. La flèche continue à s'élever en vertu de sa vitesse acquise; et elle retombe sous l'action de la pesanteur, pour être bientôt reprise par la came suivante.

Toutes les fois qu'une circonstance de cette nature se produit, toutes les fois que par suite de la combinaison géométrique du système il doit se produire des changements brusques de vitesse^ on a ce qu'on appelle un choc.

(S8) Dans le cas d'un choc, on est forcé d'admettre que les pièces

de la machine ne peuvent conserver rigoureusement leurs formes. Le travail des forces intérieures ne disparait donc plus deTéquaiioa générale des forces vives, pour ne laisser subsister que le travail de la puissance de là résistance et des forces extérieures, comme on Ta dit au n**9.

C'est au contraire ce dernier travail qui est négligeable devant celui des forces intérieures, puisqu'une variation finie de vitesse, et par conséquent de force vive, se manifeste presque instantanément, c'est-à-dire sans déplacement apparent des pièces de la machine, et par suite sans travail appréciable des forces extérieures appliquées à ces pièces.

Cette variation de force vive ne peut pas être un gain de force vive ; elle ne peut être quune perte, puisque les forces moléculaires qui entrent enjeu par suite de la déformation des pièces résistent à cette déformation, et par conséquent donnent lieu tout d'abord à du travail résislant. Ces forces peuvent bien, lors du retour des pièces à leur forme primitive, produire du travail moteur. Mais ce dernier peut au plus être égal au travail résistant développé pendant la déformation. La perle définitive de force vive peut être plus ou moins grande selon la nature des corps, selon les circonstances du choc, mais c'est toujours une perte.

(24) Ainsi, pour compléter la notion des machines, même idéales, que nous avons considérées précédemment, il doit être entendu que l'égalité entre le travail moleur et le travail résistant n'a lieu que dans le cas où la machine fonctionne sans chocs, et que des machines où surviennent des chocs périodiques nécessiteront en général, pour compenser les pertes de force vive qu'ils occasionnent, un supplément de travail moteur.

Nous pouvons aller plus loin, et montrer que dans les machiîies réelles composées de corps physiquement constituées dans des conditions autres que les machines idéales ci-dessus considérées, il se produit, même sans chocs proprement dits, des effets analogues à ceux dont il vient d'être parlé, c'est à-dire des phénomènes de déformation et de vibration qui entraînent une déperdition de travail moteur.

DEFi:SlTIONS ET NOTIONS PRÉLIMINAIUES. 21

Cette observalion demande quelques développements.

(25) Une pièce de machine n'est pas un solide géométrique. C'est un corps composé d'un nombre très-grand, mais fini, de points matériels, maintenus, dans l'état naturel, à certaines distances qui varient lorsque des forces extérieures viennent à agir sur lui. A chaque système de forces qu'on peut supposer appliqué à cette pièce correspondrait une certaine forme d'équilibre. Le corps ne résiste à la déformation, n'^5tso/id^, qu'à la condition de commencer par y céder. Pendant que la pièce se meut et que les forces qui agissent sur elle changent d'intensité ou de direction, la forme de ce corps se modifie incessamment.

Toutes les fois qu'on le considère avec une forme autre que sa forme naturelle, on peut affirmer que le changement a été la cause d'une certaine consommation de travail moteur; car si nous considérons deux points matériels voisins à leur distance primitive, il faudra dépenser du travail moleur aussi bien pour les rapprocher que pour les écarter.

En outre, quand la forme du corps varie, et^surtout varie un peu rapidement, les points matériels ne se fixent pas immédiatement dans la position qui conviendrait à la nouvelle répartition des forces. Ils arrivent à cette position avec une certaine vitesse ; ils la dépassent d'abord et exécutent autour de cette position une série de petites oscillations. Ils ont ainsi, indépendamment de la vilesse apparente que Ton concluerait du mouvement de translation ou de rotation de la pièce dans son ensemble, une vitesse de vibration, à laquelle correspondra en général un supplément de force vive, et par conséquent une certaine consommation de travail moteur.

Ce mouvement vibratoire se perdrait bientôt par communication aux pièces et aux supports de la machine, et au milieu ambiant. Si donc il persiste, si l'on observe que pendant le moiitement d'une machine nne pièce subit des variations de forme et est entretenue dans un état de vibration ou de trépidation, on est autorisé à dire qu'il se fait en ce point de la machine une consommation parasite de travail moteur. C'est comme un écoulement ou une fuite de travail moleur qui aurait lieu en ce point dans l'acte de distribution

et de répartition du travail moteur, qui est le râle de la machine.

(JS6) De même au contact de deux surfaces qui se pressent et ne sont pas parfaifement inébranlables, il se fait une légère déformation de chacune d'elles ; les points matériels de ces surfaces s'engrènent plus ou moins, et lorsqu'elles doivent glisser Tune sur l'autre, le glissement ne se fait pas sans résistance.

Cette résistance donne lieu, au départ, à une sorte darrachemeni des points matériels ainsi engrenés.

Pendant le mouvement, ces engrènements et dégrènements successifs des molécules qui entrent en contact, entretiennent un mouve-' ment vibratoire y et causent des arrachements partiels qui entraînent Vusure plus ou moins rapide des surfaces frottantes.

L'ensemble de ces phénomènes, probablement très-complexes et qu'on ne saurait définir, se traduit empiriquement en introduisant la notion d'une résistance, que l'on considère comme proportionnelle à la pression normale, comme agissant sur les points en contact dans le plan tangent commun aux deux surfaces, et pour chaque point en sens contraire du glissement qu'il tend à prendre relativement à l'autre.

Les mouvements vibratoires tantôt sont perceptibles au toucher et à l'ouïe, tantôt se manifestent par certains phénomènes calorifiques.

Sous quelque forme qu'ils apparaissent, ces mouvements occasionnent une dépense première de travail moteur pour être produits et une consommation ultérieure persistante pour être maintenus^ à mesure qu'ils tendent à se dissiper en se propageant dans les milieux avoisinants.

(27) Dans l'état actuel de nos connaissances» ces diverses circonstances échappent entièrement à l'analyse, et c'est comme résultat purement empirique qu'on les représente dans leur ensemble, au point de vue de la perte de travail moteur qu'elles occasionnent, par un terme de la forme fiids :

Dans ce terme N est la réaction normale actuelle des deux surfaces en contact ; f est le coefficient de frottement, relatif à la na-

' ture et à l'état actuel de poli et de graissage des deux surfaces. La force fN est la valeur du frottement. Ce frottement agit dans le plan tangent aux deux surfaces et pour chacune d'elles, comme on l'a dit plus haut, en sens contraire du déplacement relatif de son point de contact.

Pour chacune d'elles, le travail correspondant s'obtient en multipliant la force fN par la projection du déplacement absolu sur la direction de la force. Ce travail peut être moteur pour un des corps, et il est alors nécessairement négatif pour l'autre. La somme de ces travaux est toujours essentiellement négative et égale à la force /N multipliée par l'étendue du glissement relatif.

(1158) L'équation générale des forces vives appliquée aux machines ordinaires pourrait, en ayant égard aux observations ci-dessus, s'écrire de la manière suivante :

T„ ^ Tr :;:Q/i = 2 Q mV* - i mVo») + Tr 4- T. -h ^ ïf^US

équation dans laquelle les différents termes auraient les significations précises suivantes :

Le premier membre et le premier terme du second membre reproduisent l'équation du nM2 trouvée dans le cas des machines idéales fonctionnant sans chocs : les termes suivants sont donc les les corrections que comporte l'équation, soit lorsqu'il survient des chocs, soit lorsqu'on revient aux machines formées de pièces ayant les propriétés physiques ordinaires. T^ est le travail esseiitiellement résistant- correspondant au frottement de glissement dont il vient d'être parlé. C'est un terme qui peut être calculé exactement pour une machine donnée, mais qui ne représente que très-imparfaitement sans doute^le phénomène très-complexe dont il a pour but de tenir compte.

Ty est le travail essentiellement résistant qui correspond aux forces moléculaires qui entrent en jeu dès que deux points matériels d'une pièce de la machine ne sont pas exactement à la même distance que lorsque la pièce était au repos.

T, varie incessamment d'un instant à l'autre pendant le mouve-

24 ^ COIRS DE MACHINES.

ment vibratoire des pièces. II pourrait être nul à un instant dans le cas, extrêmement particulier, où totis les points matériels seraient tous en même temps revenus à leur position relative initiale ; mais, hors ce cas, il est nécessairement négatif.

I^iaU* est un terme destiné à tenir compte de la force vive parasite qui 6st due au mouvement vibratoire des pièces de la machine et à celui qu'elles communiquent aux supports de la machine et au milieu ambiant.

Les deux termes T^ et f^2iJi.U* devraient être calculés, en déduisant le travail moléculaire et la force vive du mouvement vibratoire déjà pris implicitement en considération dans le terme empirique T^. En fait, les deux termes échappent entièrement au calcul, et ils ne sont mis en évidence que pour rappeler le sens dans lequel agissent ces phénomènes de déformation et de vibration.

(29) En pratique, T„ est la source d'une dépense et T^ la source d'un profit. La quantité T« — T^, qui serait nulle dans une machine idéale, qui fonctionnerait sans chocs, doit être rendue ûussi faible que possible.

Quels sont les moyens à employer pour arriver à ce résultat de la manière la plus satisfaisante?

11 faut d'abord, un moteur étant donné, rendre T« aussi grand que possible. L'étude de^ divers moteurs permet de résoudre cette question. Cette élude porte à la fois sur un certain nombre de notions théoriques et sur des résultats d'expérience. Elle sera traitée plus loin;

Pour le terme T^, on peut dire que dès que les résistances à vaincre ne sont pas des forces d'une définition simple, telles que la gravité ou la pression des fluides élastiques, ce terme échappe en général au calcul ; le bon établissement des opérateurs repose alors à peu près exclusivement sur des données d'expérience. Leur connaissance générale est du ressort du technologiste, plutôt que de ringénieur, ou du mécanicien.

En négligeant le terme zpQfc, sans intérêt pour les machines fixes, et le terme 2:|(wV* — ^wV)? ?ui s'annule de lui-même quand ou considère une machine partie du repos et revenant au repos, on

arrive au terme T^, qui esl, d'après ce qui a été dit au n^ 27, de la forme /2/'Nds. La question est de le faire aussi petit que possible, résultat auquel on parviendra en diminuant chacun des frois facleurs/', N etds,

(30) On diminuera le fadeur f en entretenant le mieux possible le poli et le graissage des surfaces frottantes. Cela peu devenir trèsimporîant dans les machines qui font mouvoir un très-grand nombre d'opéraleurs n'ayant chacun qu'une très-faible résistance utile à surmonter, tels que les broclies d'une filature, par exemple. Les tourillons de ces bioches, s'ils ne sont pas parfaitement lubrifiés avec des matières grasses bien liquides, peuvent donner lieu à une n^sistance nuisible égale ou supérieure à la résistance utile que la broche doit vaincre.

Pour le facteur N, on cherchera à le diminuer de diverses manières.

S'il s'agit d'un support fixe, on cherchera à diminuer le poids des pièces, ce qui est en môme temps une économie dans la dépense de premier établissement ; et si ces pièces sont soumises à diverses forces autres que leur poids, on s'ai rangera pour que la résultant^ de l'ensemble de toutes ces forces soit aussi petite que possible.

S'il s'agit de pièces mobiles agissant l'une sur l'autre, le but de celte action étant en général la transmission d'une certaine quantité de travail nécessaire au jeu des outils que la pièce conduite doit faire fonctionner, l'effort N sera d'autant plus faible que la vitesse normale des points en contact sera plus grande, puisque le travail transmis est précisément le produit de cette force par l'espace parcouru suivant la normale.

On évitera donc des balanciers trop courts, des engrenages de trop' petit diamètre, etc., etc.

Celte diminution de la force N est d'ailleurs propre à diminuer l'usure et à assurer par conséquent la conservation de la machine.

Quant au facteur ds, le moyen de le diminuer est de réduire rétendue des glissements pour un mouvement d'une amplitude donnée des pièces de la machine. C'est en vue de ce résultat que

26 COURS DE UACllINËS.

les arbres tournants, par exemple, sont toujours porlés sur des pivots ou des tourillons formés de matières bien résistantes dont on réduit autant que possible le diamètre.

(31) Enfin, pour les deux termes T^et J 2^.11% qui échappent, avons-nous dit, au calcul, leur présence dans le second membre de l'équation indique que les pièces doivent être calculées et établies dans des conditions qui préviennent non-seulement les ruptures ou les déformations permanentes, mais même les simples flexions. Il faut que les pièces ne puissent fouetter ni vibrer sensiblement, sous l'action des forces appliquées. La même condition doit être remplie par les supports et les fondations de la machine. "Sous ce rapport, les machines dont toutes les pièces ont un mouvement continu et régulier ont une petite supériorité théorique (impossible d'ailleurs à chiffrer) sur les machines à mouvement alternatif.

En définitive, si Ton considère une machine en marche, tous les points où l'on perçoit soit à l'œil, soit à l'oreille, soit même simplement au toucher, des fouetlements, des vibrations, des échauffements des pièces et de leurs supports, sont, on peut l'assurer, des points où il se fait une dépense de travail moteur, au préjudice de celui qui devrait être transmis jusqu'aux opérateurs. •

(3«) En résumé, une. machine étant en marche, on recueille sur le récepteur une certaine quantité de travail moteur; la machine (ievrait le transmettre intégralement aux opérateurs ; mais on en perd une partie en route par l'usure, les déformations, échauffements, vibrations, qui constituent le phénomène complexe des frottements ; on en perd également par les déformations, échauffements et vibrations que subissent les diverses pièces de la machine pendant qu'elle fonctionne, et par les mouvements parasites communiqués aux corps environnants. Le reste seulement du travail est transmis utilement aux opérateurs. Ce reste peut être évalué pour une machine donnée par comparaison avec d'autres machines analogues ; mais il ne pourrait être obtenu rigoureusement que par une mesure expérimentale, et il échappe, dans l'état actuel de nos connaissances, à tout calcul précis.

(33) Se connaître en machines, c'est apprécier si sur une machine donnée les conditions d'un bon établissement, conformément aux indications générales ci-dessus, sont satisfaites ; c'est encore, dans un projet de machine, savoir satisfaire convenablement à ces conditions. L'objet des chapitres suivants sera le développement de ces généralités.

On abordera successivement l'étude théorique et pratique des différents moteurs que l'industrie utilise, les notions théoriques et les données pratiques sur la résistance des matériaux employés dans la construction des machines, et enfin l'application de ces notions et de ces données au calcul des différents organes en nombre restreint qui constituent les éléments principaux et essentiels de la plupart des machinés que l'on rencontre dans l'industrie.

On terminera par l'examen de quelques-unes de ces machines.