AH-, FG", CH", CG

Il nous reste à établir la corrélation des signes. Pour cela , il faudra considérer séparément chacune des quantités du nouveau système , et la comparer avec sa correspondante dans le système précédent, pris maintenant pour terme de comparaison. Si les quantités , ainsi comparées deux à deux, n’ont point changé de corrélation entre elles, leurs valeurs conserveront le même signe de corrélation ; c’est-à-dire , qu’il faudra donner à chacune de celles du troisième le même signe de corx élation qu’a sa correspondante dans le second ; et si ces quantités ont changé de corrélation l’une à l’égard de l’autre, il faudra donner à chacune des valeurs qui se trouvent dans le

DES FIGURES DE GEOMETRIE. 67 troisième système , le signe de corrélation contraire à celui de sa correspondante dans le second. Ainsi ,

ABB’ n’ayant passé ni par o, ni par co , pour

devenir A B B' B", doit rester comme dans le second système; c’est-à-dire, que son signe de corrélation dans le troisième système, est aussi +.

F B' n’a pareillement passé ni par o, ni par 00 , pour devenir F B' B". Donc il doit conserver le même signe de corrélation qu’il avoit dans le second système; c’est-à-dire, — .

106. En continuant de procéder ainsi pour toutes les autres quantités, on établira comme il suit la corrélation des signes pour le troisième système.

3 e Syst... +ABFB",— FffB 5 ',— BTT,— FË^ + ÂD' + FË 3 , +ÂH 7 ', + FG 7 ', —CH 3 , —CG 3

De plus, ce que nous venons de dire du point B" lui est visiblement applicable, tant qu’il ne sortira pas du troisième quart de la circonférence. Donc les signes de corrélation trduvés ci-dessus ont lieu pour tout le troisième quart de la circonférence. Passons au quatrième quart. .

107. Supposons donc que B" vienne se placer en B'", après avoir passé par F'; établissons ce nouveau système en menant les perpendiculaires B " D ", B'" K'", sur les diamètres A A', F F', respectivement, la tangente indéfinie HAH , et enfin la sécante indéfinie CB'" H'".

Le nouveau système sera donc , en suivant l’ordre des points dans la construction comme ci-dessus, A B'"C D" E"'F G'" H'". Prenant donc pour terme de comparaison le système précédent, et procédant comme on l’a fait pour les systèmes déjà examinés, on établira la corrélation des valeurs absolues et des signes pour ce quatrième système, comme il suit :

4 e Syst . . . . + ABB'B"B% — FB B"B% — B ^D"', +B 777 ! 7 ", +ÂD 77 ', + F^',— ÂH^—FG 77 ', -fCH 77 ',— CG 777 .

Et il est évident que ces signes de corrélation seront pour tout le quatrième quart de circonférence.

108. On pourroit former un cinquième système en imaginant que le point B revient à sa première position B en passant parle point A; puis un sixième, en imaginant qu’il va se replacer de nouveau au point B en passant encore par F ; ainsi de suite : mais il est clair que les quantités et valeurs qui entretient dans la composition de ces nouveaux systèmes , ne différeroient des premiers que par les arcs, qui deviendroient plus grands que la circonférence ; c’ést-à-dire, par exemple, que, pour le cinquième

système, l’arc ne seroit plus AB, comme dans le premier, mais une circonférence entière, plus ce

même arc A B ; tandis que toutes les droites tracées dans ce cinquième système seroient les mêmes que dans le premier. II en seroit de même du sixième système comparé au second, du septième comparé au troisième, du huitième comparé au quatrième,

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. 69 du neuvième comparé de nouveau au premier, etc. On peut donc ramener tous les systèmes possibles aux quatre que nous venons d’examiner.

103. Réunissons en un 6eul tableau les corrélations des quatre systèmes; et puisque ces corrélations 11e changent pas tant que les points B, B', B", B'", restent chacun dans le quart de ciréonférence qui lui a été assigné. Nous pouvons supposer, pour plus de simplicité ( fig- / ) , que E et E' coïncident ensemble, de même que E" et B'", D et D ", D' et D' , .ce qui nous donnera

BD = B'D'= B D ==B , "D'" i et BË= B 7 ! 7 = B' 7 ! 7 ' = B 777 ! 77 '.

Le tableau général de corrélation des quatre systèmes examinés sera donc établi comme il suit :

Syst. du 1 er quart de cire. ( + AB,k. .. . ►. . + FB,.....»

Sysf. du 2 ' quart de cire. J + ABB, —b B.......

S-, st. du 3 e quart de cire, j -f-ABBB", . . . . — I' B B ,. • . • S) st. du 4' quart de cire. [ + ÂBB'B 'B%... — FB'B"B 77 ', ...

I 43 d,+BË,+ÂD, +FË, +ÂH,+FG,+CH,+CG.

+BD,-BË,+ÂF,+FÊ, -ÂH,-FG,-CH,+CG.

— BD,— BË,+ÂD',+FË Ï ,+ ÂH,+FG,-CH;-Câ — BD,+ BË,+ÂD, + FË",— AH,— -FG, + CH,— CG.

HO. Si donc les propriétés du système primitif , c’est-à-dire , du premier quart de circonférence , sont exprimées par des formules quelconques, où

ES

n’entrent que les variables comprises dans le tableau, et où les signes + et — n’aient d’autre emploi que celui d’indiquer des opérations exécutables sur ces quantités ; on n’aura ( 27 ) , pour rendre ces formules immédiatement applicables à un autre point quelconque de la circonférence, qu 5 à y faire les changemens indiqués par le tableau , suivant que la seconde extrémité de l’arc dont la première est au point A, se trouvera sur le second , le troisième ou le quatrième quart de la circonférence.

111. Les résultats de ce tableau peuvent se réduire à une règle fort simple. Cette règle est : i°. que le signe de corrélation est + pour la valeur de la droite BD, tant que le point B est au-dessus du diamètre AA', passant par le premier point A de t’arc; c’est-à-dire, du même côté que le système primitif ; et — pour cette même droite , B D , dès que le point B passe au-dessous de AA', comme lorsqu’il vient en B" ou B'" : 2 0 . que le signe de corrélation est 4 - pour la droite B E perpendiculaire au diamètre F F', tant que le point B se trouve, par rapport à F F', du côté où est le premier point A de l’arc; et — dés qu’il passe de l’autre côté, comme en B' ou B".

Quant aux autres droites du système , leurs signes de corrélation se déduisent de cette même règle , en en exprimant la valeur par celles dont cette règle fait connoître le signe. Par exemple, veut-on savoir

DES FIGURES DE GEOMETRIE, le signe de A H'" ? On fera cette proportion :

Âïr : ÂC :: F"!) 77 ' : ÜF.

Donc