Quoique les deux équations aa—xx~—yy~ o

. DES FIGURES DE GEOMETRIE. '17g et aa — x'x'+y'y' = one puissent être ramenées à la même forme en changeant les signes des quantités x',y, on peut cependant y parvenir, mais c’est en mettant, non pas —y' à la place dey'; mais y' V — 1 à la place dey' ou y' V + 1 ; car alors on a évidemment — y y au lieu de - 4 - yy\ et les deux équations se trouvent ramenées à la même forme.

On voit par-là que, quoiqu’il n’existe entre deux systèmes ni corrélation directe, ni corrélation indirecte, il est possible, s’il y a corrélation complexe , qu’on parvienne à établir entre les quantités mêmes qui composent ces systèmes une sorte de corrélation particulière , qui consiste, lorsqu’on a établi comme à l’ordinaire la corrélation des valeurs absolues, non à changer les signes de + en — , ou les coefficiens de + 1 en — 1 , mais ces mêmes coefficiens de 1 en V — 1 ; c’est-à-dire, que lorsqu’il y a corrélation indirecte entre les fonctions des quantités , il existe entre des quantités mêmes une sorte de corrélation que j’ai désignée sous le nom de complexe, et qu’on peut aussi appeler imaginaire. Elle est com-> plexe en tant qu’on la considère dans les fonctions de ces quantités primitives $ et imaginaire en tant qu’on la considère dans les quantités elles-mêmes.

245 . Nous avons vu que toute équation où il n’entre que des quantités élevées au quarré, appartient également , et sans changement désignés, à tous les systèmes qui sont entre eüX , soit directement, soit indirectement corrélatifs. Mais la même

jSo DE LA CORRÉLATION chose n’a pas lieu pour ceux qui n’ont entre eux qu’une corrélation complexe, puisqu’alors , pour rendre les formules du système primitif immédiatement applicables à l’autre, il peut y avoir telle quantité dont le coefficient se change de V + 1 en V — 1 ; ce qui fait que le quarré de l’une devient inverse à l’égard du quarré de l’autre.

244. Si dans les deux systèmes, considérés cidessus, on cherche la corrélation qui existe entre le système des quantités a, (*+.y), (* — y), d’une part , et celui des quantités a , ( x'+y ) , ( *' — y' ) , de l’autre , on trouve que cette corrélation est également complexe ; car la seconde équation est e*+ (x + y ) (x — y) = o. Mais en changeant les signes de ces quantités ( *'+ y‘ ) et ( k — y ) , ou de l’une d’entre elles seulement , on ne donne pas pour cela à cette équation la même forme qu’à la première aa — xx — yy = o. Pour les ramener à la même forme , il faut mettre pour x' + y', x +y' V — 1 , et pour l’autre, x' — y' V — i. Ainsi, la corrélation complexe indique encore dans ce cas une corrélation imaginaire entre les nouvelles quantités comparées; ou, si l’on veut, une corrélation en partie complexe et en partie imaginaire.

245. Nous avons vu que lorsqu’en cherchant la solution d’un problème, on trouve pour l’inconnue une valeur négative, c’est une preuve que la question n’a pas été mise exactement en équation , ou plutôt, que la véritable solution se trouve mêlée

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. l8r avec une autre solution qui se rapporte* non au système examiné , et sur lequel le raisonnement a été établi, mais à un autre système qui est , avec le premier , en corrélation indirecte.

De même, lorsqu’en cherchant la solution (l’un, problème, on trouve pour l’inconnue une valeur imaginaire, c’est une preuve que la solution se rapporte, non au système examiné, et sur lequel leraisonnement a été établi , mais à un autre qui n’a , avec le premier , qu’une corrélation complexe.

Mais ce nouveau système n’est pas moins existant que celui qui est en simple corrélation indirecte ; il y a seulement des changemens plus sensibles à opérer dans les signes ou coefficiens • les rapports des quantités corrélatives n’en sont pas moins réels ; ils sont seulement plus éloignés, plus disparates, moins faciles à -saisir; parce que n’est pas sur les valeurs primitives même que les changemens de signes doivent s’opérer , mais sur des fonctions plus ou moins compliquées de ces mêmes valeurs pour rendre les formules de ce système immédiatement applicable» au système transformé.

246. Soit, par exemple, un système de trois lignes droites , a , x ,y , liées par cette condition , que y soit moyenne proportionnelle entre la somme des deux autres et leur différence.

x pouvant être plus petite que a ou plus grande , je dois choisir entre les deux hypothèses pour établir mon raisonnement. Je suppose donc x<^a y et j’ai , d’après la condition donnée ,

DE LA CORRÉLATION <* + x :y ” y : a — x ou yy = aa — xx.

Concevons maintenant que ce système varie par degrés insensibles , (le manière que a devienne moin dre que x. La proportion précédente ne peut plus avoir lieu , et il faut qu’elle soit pour ce cas , a + x :y ::y: x—i-a ou yy*=xxr—aa.

Or, les deux systèmes que nous venons d’examiner ne sont ni directement , ni indirectement corré-. latifs , puisqu’en changeant d’une manière quelconque les signes des quantités primitives, je ne puis ramener les équations à la même forme j et quoiqu’employés à résoudre la même question généralement posée , les deux cas particuliers qu’elle renferme sont assez disparates pour qu’on ne puisse établir entre les deux systèmes qu’une corrélation complexe. Cette corrélation complexe ouimaginaire existe en effet, puisqu’en changeant le 'signe du quarré yy de + en — r- , c’est-à-dire , son cofficient de + r en — ■ 1 , ou celui de la quantité simple y de [/ -+■ i en V — i , la dernière de ces équations devient identique avec la première.

247, Ainsi. , quoique la valeur y= V aa . — xx que donne la première pour y , devienne imaginaire lorsque x devient plus grande que a , il n’en existe pas moins un autre système auquel cette formule peut devenir immédiatement applicable. Mais ce n’est plus par le simple changement du signe des quantités primitives qu’on peut trouver le nouveau système; c’est par un changement de signe fait à

DES FIGURES DE GÉOMÉTRIE. ]83 des fonctions de ces quantités; ou, si l’on ne veut opérer que sur les quantités mêmes, ce ne sera plus en changeant les signes de + en — > niais lescoeffi-

ciens de V + i en V — 1 . Ce changement effectué donne

yy — xx — aa ou y—Vxx — aa ; formule immédiatement applicable au système oit x lequel est compris comme Fautre dans la question générale proposée.

a48. On voit donc que lorsqu’en cherchant la solution d’une question proposée, on trouve diverses racines, les unes positives , d’autres négatives , d’autres imaginaires , on- peut conclure qpe la question qu’on s’est proposée n’est que partielle , qu’elle n’est qu’un cas particulier d’une question plus générale ; que les racines positives donnent la solution de cette question partielle ;.qpe les racines négatives donnent celles d’autres questions partielles qui ne diffèrent des premières, que parce que quelques-unes des quantités considérées y deviennent inverses ; et . qu’enfin les racines imaginaires donnentcelles d’autres questions partielles faisant toujours des cas particuliers de la question générale , mais différant des premières en ce que ce ne sont plus les quantités elles-mêmes considérées qui deviennent inverses,, mais telles ou telles fonctions dè ces mêmes quantités. Si c’èst un avantage d’avoir ainsi , par la solution d’un cas particulier , Findication de plusieursautres questions analogues, et de pouvoir- géné-

l84 DE LA CORRÉLATION raliser les solutions , c’est aussi un inconvénient de ne pouvoir séparer lorsqu’on le voudroit les questions partielles les unes des autres. Or , il faudroit , pour y parvenir, pouvoir décomposer les équations dans toutes leurs racines, soit réelles , soit imaginaires; ce qu’on ne peut guère espérer.

24g. Supposons qu’on trace une courbe dont l’équation soit yy = aa — xx , et une autre dont l’équation soityy = *Jf — aa. Ces deux courbes formeront donc deux systèmes qui ne seront ni directement, ni indirectement corrélatifs, mais seulement en corrélation complexe. Ainsi , ces deux courbes , sans être liées d’une manière aussi intime que le seroient, par exemple, les deux branches de la même courbe , ayant pour équation yy=aa — xx f dont l’une ne diffère de l’autre qu’en ce qu’elles sont placées de différens côtés par rapport à l’axe; ces deux courbes , dis- je , ne laisseront pas d’avoir beaucoup de propriétés semblables ou analogues. Et en effet, la première est un cercle ayant a pour demidiamètre ou demi-axe; etl’autre,j^y=x^ — aa estune hyperbole équilatère, ayant aussi a pour demi âxe: or, on sait l’analogie qui existe entre ces deux courbes. Sans entrer en détail à cet égard , observons entre elles quelques points de rapprochement.

Ayant donc mené par un point quelconque A (Jig. 28 ) deux droites orthogonales B C , DF, chacune égale au diamètre 2 a , et prolongé ces droites indéfiniment, décrivons, en prenant B C pour axe.

DES FIGURES DE GEOMETRIE. l85 la circonférence B D C F , et l’hyperbole B m n avec son opposée C m! n.

D’un point quelconque m de l’hyperbole, menons aux deux sommets B , C , les droites Bra, Cm ; du point g 1 , où cette dernière coupe la circonférence, ijienons B g} des points m, g, menons les ordonnées m S, gr; enfin, du point B, menons BVD perpendiculaire à B C , et qui coupe m C au point V.

2&0. Par la propriété de l’hyperbole , S m est moyenne proportionnelle entre S B et SC; et par celle du cercle, gr est moyenne propoi'tionnelle entre B r et C r. Voilà d’abord une analogie remarquable entre les propriétés de ces deux courbes, car on voit que ce sont précisément les deux systèmes qui donnent la solution du problème général dont il est parlé ( 2i6) , de trouver une moyenne proportionnelle entre la somme et la différence des deux quantités a et x.

25 l . La première de ces propriétés donne SB : S/rc :: Sot :SC.

Donc les triangles rectangles B S m , m S C, ont leurs côtés adjacens à l’angle droit proportionnels. Donc ces deux triangles sont semblables ; donc l’angle SmB oumBV = mCS = BCm.

2 5 2 . La seconde de ces propriétés donne Br : rg :: rg : C r.

Donc les deux triangles rectangles B rg j grC^nnt

l86 DE LA CORRÉLATION leurs côtés adjacens à l’angle droit proportionnels; donc l’angle rgB ou gB V =^CB; donc les angles m BV,gBV, sont l’un et l’autre égaux à BCgou B C ms donc on a

mBV=gBVj

autre analogie de propriétés entre les deux courbes, en ce que les droites m B, #13, menées des points correspondans m, g , font le même angle avec la tangente au sommet B , et par conséquent aussi avec l’axe commun B C perpendiculaire à cette tangente.,

253. Les deux angles m BV, mBS, font ensemble un angle droit : donc m B S est complément de m B V ou de m C B qui lui est égal , comme on vient de le voir ; donc daus l'hyperbole équilatère , aussi bien que dans le cercle, les deux droites menées d’un point quelconque de la courbe aux extrémités de l’axe, font, avec ce même axe, deux angles qui sont complémens l’un de l’autre.

Mais dans le cercle , la somme de ces deux angles éf BC, g CB, formés aux extrémités de l'axe dans le triangle m B C , fait le quart de la circonférence ; au lieu que, dans l’hyperbole, c’est la différence m B C — m C B des deux angles formés aux extrémités de l’axe dans le triangle correspondant mBC, qui forme le quart de la circonférence.

On peut donc de cette manière regarder l’hyperbole comme un système en simple corrélation indirecte avec le cercle, et dans lequel l’angle B C m devient inverse, puisque dans le cercle on a

B Cg — angle droit — g B C ,

et que dans l’hyperbole , au contraire , on a a A

BCm — mBC — angle droit.

254. D’un nouveau point n pris sur l’hyperbole, menons aux sommets B , C , les droites n B , n C $ nous aurons , par les même raisons que ci-dessus ,

/z B C — nCB = angle droit ; donc nBC — nCB = mBC — mCB,

ou en transposant,

n B C — mBC = nCB — m C 13;

donc

C’est-à-dire, que dans l’hyperbole équilatère ainsi que dans le cercle, les angles qui , ayant leurs sommets aux deux extrémités de l’axe, sont appuyés sur le même arc de la courbe ( m n ) sont égaux entre eux..

Si l’on mène g h perpendiculaire à D F , et mp perpendiculaire au même axe , il est clair que les deux trapèzes ghB A,B Amp , seront semblables. Donc on aura

gh:BA::BA’.mp ou rA:BA::BA:SA;

c’est-à-dire, que l’axe commun B A est moyenne proportionnelle entre les deux abscisses correspondantes du cescle et de l’hyperbole.

1 88 DE DA CORRÉLATION, CtC.

2.55. Enfin, la propriété qu’a le cercle , d’avoir tous 6es rayons égaux, trouve aussi dans l’hyperbole équilatère une propriété qui , quoique différente , lui correspond. En effet, puisque les trapèzes ghJiA, B Amp y sont semblables , en tirant dans le premier la diagonale A g , et dans le second la diagonale coi'respondante p B, on voit que , dans le premier trapèze , la diagonale A g et le côté A B étant égaux , la diagonale p B et le côté p m doivent aussi être égaux entre eux ; c’est-à-dire, que dans l’hyperbole équilatère, tout point p du second axe est également éloigné du sommet de la courbe et du point de cette courbe qui lui répond perpendiculairement.

2 56. On voit comment il seroit possible de pousser plus loin ce rapprochement. On peut également établir la corrélation de l’ellipse avec l’hyperbolo non équilatère en leur donnant des axes communs , comme on l’a fait pour les courbes qu’on vient de considérer. La théorie des corrélations complexes donne lieu à des recherches très-étendues , puisque c’est par eux que sont visiblement caractérisées les différentes courbes d’un même ordre. Je n’ai eu ici pour objet que de proposer , sur la comparaison des figures en général , quelques vues qui peuvent mériter l’attention des Géomètres.