RÉFLEXIONS DE M. CHEVREUL SUR LA NOTE DE M. HERMITE

1'. Ce serait une grande inconvenance de ma part qu'après avoir désiré de connaître l'opinion de M. Hermitesurun point de mathématique, j'eusse la témérité d'en faire la critique; critique d'autant plus déplacée que sa note éclairant des points qui me paraissaient confus, donne une certitude à des pensées vers lesquelles j'inclinais sans doute, mais sans avoir la conviction de leur exactitude. Cette conformité de manière de voir dont j'ai lieu de me féliciter m'enhardit à lui soumettre quelques réflexions relatives aux objections que lui suscite (3) le premier

passage de la statique de Poinsot qu'il cite (1), parce qu'une interprétation peu différente de la sienne me semble 'en atténuer beaucoup la gravité.

2'. En mathémathique, comme en toute science, il y a des hommes de génie et des gens médiocres: je ne parle pas des esprits mauvais^ y compris les e5prits faux.

Les hommes de génie seuls font de grandes découvertes en quoi que ce soit ; mais à mon sens aucun homme de génie ne voit toutes les conséquences logiquement comprises dans ce qu'il a découvert.

Un homme de génie peut être entraîné en mathématique comme en toute autre science à énoncer des aperçus inexacts. C'est cette considération qui ne me fait admettre comme vérité mathématique que les propositions auxquelles est acquis l'assentiment des mathématiciens les plus distingués, parce que Tesprit de V individu-homme est trop faible pour être infaillible ; je parle donc de Vhumanité mathématicienne.

3'. Il me semble que les paroles de Poinsot sont en parfait accord avec la distinction que je viens de faire. — Lorsqu'il dit : Si nous n'avons que des notior*s imparfaites^ ou si l'esprit ne considère la question

que d'un point de vue borné^ ni V analyse ni le calcul ne lui apporteront plus de lumières et ne donneront à nos résultats plus de justesse et plus d* étendue» Évidemment ces paroles ne s'appliquent point au géomètre INVENTEUR, Hiais au géomètre médiocre^ et quand il ajoute : Au contraire, on peut dire que cet art de réaliser en quelque sorte par le calcul de fausses ou de vagues conceptions n'est propre qu'à rendre l'erreur plus durable en lui donnant pour ainsi dire une sorte de CONSISTANCE, ces paroles concernent le méchant géomètre qui, appliquant le calcul d'une manière précise à des choses puériles ou fausses, est tout à fait comparable à un méchant physicien, à un méchant chimiste, à un méchant naturaliste, et Poinsot dit une chose vraie en parlant de la sorte de consistance donnée par le calcul à des propositions erronées qui parviennentà des hommes incapables de les dépouiller d'une forme qu'elles ne tiennent pas de la vérité.

4'. Enfin, quand M. Hermite reconnaît si bien l'élévation de l'esprit de Poinsot (5), je dis : Tel est bien le géomètre inventeur/

5'. Voilà mon interprétation du passage de Poinsot cité par M. Hermite (1).

6'. M. Hermile dit que Vanalyse ne se compose poinC d'un ensemble formé de conventions arbitraires aux^ quelles s'ajouteraient leur conséquence (7). Je suis parfaitement de son avis. Je ne traiterai jamais d'arWtraires ces distinctions définies rigoureusement que nous offre Tétude de la grandeur et qui se prêtent si merveilleusement à des démonstrations rigoureuses.

J'admets donc tous les rapports mathématiques DÉMONTRÉS RIGOUREUSEMENT commc récls, et CCS rapports existent depuis la création; l'homme ne les a pas créés, il les a reconnus ; voilà la part de Vobservation; et il les a démontrés rigoureusement : voilà la part de la raison.

J'admets la série des nombres entiers, l'existence

de la série des courbes et des surfaces dont les de-

grés sont ces nombre entiers, des transcendantes analytiques qui correspondent à ces courbes et à ces surfaces indépendamment de toute convention arbitraire.

J'admets encore parfaitement que l'étude continue dé ces représentations de grandeur clairement définie leur donne dans la pensée une sorte d'existence concrète.

Telles étaient aussi les opinions d'Ampère.

Mais je reconnais le premier qu'il est des esprits qui ne consentiront jamais à admettre cette sorte

de concrétion^ qu'on me permette, comme chimiste, cette expression, de donner une sorte de corps à des idées absolument abstraites. L'opinion que j'exprime n'est pas rationnelle^ à mon sens, mais c'est un fait empirique d'une disposition générale de l'esprit humain.

T Je me félicite de l'approbation donnée par M. Hermite à la distinction que j'ai établie entre les mathématiques et les sciences, dont l'objet est la .connaissance du concret, car l'importance en est extrême pour tous ceux qui se sentent le besoin d'apprécier le degré de certitude de leurs connaissances.

Voyons la différence sur laquelle repose cette distinction conformément à l'esprit du livre de la Méthode a posteriori expérimentale .

8*. Les mathématiques pures ont pour objet unique l'étude de la grandeur : non-seulement tous les signes y sont définis d'une manière précise, mais tous les attributs de grandeur qui se rattachent à une question ont une définition absolument complète.

9". Il en est tout autrement de la connaissance d'un objet concret.

Comme je l'ai dit dans Touvrage que je viens de citer,

La connaissance parfaite d'un objet concret exigerait que nous connussions parfaitement chacun dès attributs de l'objet.

Or, quelle est la vérité?

Non-seulement beaucoup d'attributs d'un même objet concret nous sont inconnus, mais il serait difficile d'en indiquer, du moins un certain nombre, que nous connussions parfaitement (119, 120, 127).

10'. Quelles sont les conséquences de cet état de choses?

Les voici :

ir. Tant qu'il ne s'agit que de raisonner d'après des définitions d'attributs sur la connaissance desquels tout le monde est d'accord, les raisonnements que je suppose logiques conduiront à des conclusions qui ne seront point erronées. A cet égard les raisonnements aboutissant à la connaissance du concret seront comparables aux raisonnements mathématiques.

12'. Mais ils cesseront de l'être dans les cas que je vais exposer.

13'. Un attribut était inconnu, lorsqu'on a donné les définitions dont je viens de parler (11); on le découvre; on en reconnaît l'influence dans les effets qu'on avait définis sans en tenir compte puisque alors il était inconnu; il s'ensuit donc que les définitions données antérieurement à cette connaissance sont plus ou moins erronées.

14'. Une propriété est connue, mais imparfaitement : vraie entre certaines limites, elle donnera lieu à un résultat erroné hors de ces limites.

La loi de Mariotte est exacte jusqu'à certaines limites pom* différents gaz, et la limite est en général d'autant plus vite atteinte que la température est plus basse et plus voisine du terme où a lieu la liquéfaction du gaz soumis à l'expérience.

La dilatation des gaz présente un cas analogue ; ce n'est qu'au-dessus d'une certaine température^ qui peut être différente selon leur espèce respective, que l'uniformité de dilatation se manifeste.

Ces deux exemples démontrent donc les erreurs commises dans les études du concret faute d'avoir connu parfaitement la limite où la loi de Mariotte cesse d'être vraie et où l'uniformité de dilatation cesse d'avoir lieu.

35i PREMIER DOCUMENT.

15'. Il est donc vrai de dire que les généralités que nous considérons comme des /ois, des principes^ des règles^ des classifications des êtres naturels en groupes de divers ordres^ concernant les sciences relatives au concret, ne reposent pas sur la connaissance du tout, mais sur celle d'une partie du tout (120); que dès lors la certitude que ces distinctions, exprès-

sions de la science du jour, n'éprouveront pas de la science du lendemain des modifications plus ou moins fortes, nous manque absolument.

Or c'est en cela précisément que gît la différence de la certitude de nos connaissances en mathématiques pures relativement à celles qui concernent les sciences du concret; car les mathématiques pures ne considérant que la grandeur exclusivement à tout autre attribut du concret, sont à V abri absolu de cette cause d'erreur à laquelle l'étude du concret est exposée, toutes les fois que dans le phénomène qu'elle examine, un attribut intervient dont on ne peut tenir compte parce qu'on ne le connaît pas, ou si le connaissant, la connaissance en est imparfaite (13', 14).

16'. La proposition de Buffon et celle de Poinsot •ont certainement vraies à ce point de vue que dans Yétude de la grandeur il rCy a qu'une seule propriété,

propriété comme, le fait remarquer M. Hermite, d'une extrême fécondité donnant naissance à une multitude de phénomènes psychiques quelenr variété rend comparables aux phénomènes du monde concret.

C'est cette propriété que l'homme a définie et sur laquelle reposent uniquement les calculs des mathématiques pures. Cette fécondité extrême de phénomènes que M. Hermite rattache à l'étude de la grandeur avec tant de raison, me rappelle l'alinéa (122) du livre de la méthode a posteriori expérimentale où comparant les abstractions relatives à la classification des êtres vivants avec celles du ressort des qualités morales de l'homme, je dis que celles-ci sont plus nombreuses et plus variées ; car l'histoire de ces qualités morales comprend ce qui a trait à la religion, aux lois, à la morale proprement dite, à l'administration, à l'économie politique, aux mœurs et aux passions; et ce monde moral est tout à fait en dehors du monde extérieur.

Quant au lettré, poëte ou prosateur, il puise les éléments de ses œuvres dans le monde moral et dans le monde concret^ par la forme sensible qu'il donne à ses personnages, ceux-ci parlent aux sens, et par les sentiments et les passions qu'il leur prête ils parlent à l'âme.