I 2. — LE CONTINU ET LES COUPURES

Mais qu'est-ce qu'un continu à n dimensions ; en quoi diffère-t-il d'un continu dont le nombre des dimensions est plus grand ou plus petit? Rappelons d'abord quelques résultats obtenus récemment par les élèves de Gantor. Il est possible de faire correspondre un à un les points d'une droite à ceux d'un plan, ou, plus généralement, ceux d'un continu à n dimensions à ceux d'un continu à p dimensions. Ceci est possible, pourvu qu'on ne s'astreigne pas à la condition qu'à deux points infiniment voisins de la droite correspondent deux points infiniment voisins du plan, c'est-à-dire à la condition de continuité.

On peut donc déformer le plan de façon à obtenir une droite, pourvu que cette déformation ne soit pas continue. Gela serait impossible au contraire avec une déformation continue. Ainsi la question du nom-

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bre des dimensions est intimement liée à U notion de continuité et elle n'aurait aucun sens pour celui qui voudrait faire abstraction de cette notion.

Pour définir le continu à n dimensions, nous avons d'abord la définition analytique ; un continu à n dimensions est un ensemble de n coordonnées, c'est-à-dire un ensemble de n quantités susceptibles de varier indépendamment, l'une de l'autre et de prendre toutes les valeurs réelles satisfaisant à certaines inégalités. Cette définition, irréprochable au point de vue mathématique, ne saurait pourtant nous satisfaire entièrement. Dans un continu les diverses coordonnées ne sont pas pour ainsi dire juxtaposées les unes aux autres, elles sont liées entre elles de façon à former les divers aspects d'un tout. A chaque instant en étudiant l'espace, nous faisons ce qu'on appelle un changement de coordonnées, par exemple nous faisons un changement d'axes rectangulaires ; ou bien nous passons aux coordonnées curvilignes. En étudiant an autre continu, nous faisons aussi des changements de coordonnées, c'est-à-dire que nous remplaçons nos n coordonnées par n fonctions continues quelconques de ces n coordonnées. Pour nous qui tirons la notion du continu à n dimensions, non de la définition analytique précitée, mais de je ne sais quelle source plus profonde, cette opération est toute naturelle; nous sentons qu'elle n'altère pas

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ce qu'il y a d'essentiel dans le continu. Pour ceux, au contraire, qui ne connaîtraient le continu que par la définition analytique, l'opération serait licite sans doute, mais baroque et mal justifiée.

Enfin cette définition fait bon marché de l'origine ntuitive de la notion de continu, et de toutes les richesses que recèle cette notion. Elle rentre dans le type de ces définitions qui sont devenues si fréquentes dans la Mathématique, depuis qu'on tend à « arithmétiser » cette science. Ces définitions, irréprochables, nous l'avons dit, au point de vue mathématique, ne sauraient satisfaire le philosophe. Elles remplacent l'objet à définir et la notion intuitive de; cet objet par une construction faite avec des matériaux plus simples; on voit bien alors qu'on peut efi'ectivement faire cette construction avec ces matériaux, mais on voit en même temps qu'on pourrait 'en faire tout aussi bien beaucoup d'autres; ce qu'elle ne laisse pas voir c'est la raison profonde pour laquelle on a assemblé ces matériaux de cette façon et non pas d'une autre. Je ne veux pas dire que cette « arithmétisation » des mathématiques soit une mauvaise chose, je dis qu'elle n'est pas tout.

Je fonderai la détermination du nombre des dimensions sur la notion de coupure. Envisageons d'abord une courbe fermée, c'est-à-dire un continu à une dimension; si, sur cette courbe nous

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marquons deux points quelconques par lesquels nous nous interdirons de passer, la courbe se trouvera découpée en deux parties, et il deviendra impossible de passer de l'une à l'autre en restant sur la courbe et sans passer par les points interdits. Soit au contraire une surface fermée, constituant un continu à deux dimensions; nous pourrons marquer sur cette surface, un, deux, un nombre quelconque de points interdits ; la surface ne sera pas pour cela décomposée en deux parties, il restera possible d'aller d'un point à l'autre de cette surface sans rencontrer d'obstacle, parce qu'on pourra toujours tourner autour des points interdits.

Mais si nous traçons sur la surface une on plusieurs courbes fermées et si nous les considérons comme des coupures que nous nous interdirons de franchir, la surface pourra se trouver découpée en plusieurs parties.

Venons maintenant au cas de l'espace; on ne peut le décomposer en plusieurs parties, ni en interdisant de passer par certains points, ni en Dterdisant de franchir certaines lignes ; on pourrait toujours tourner ces obstacles, il faudra interdire de franchir certaines surfaces, c'est-àdire certaines coupures à deux dimensions; et c'est pour cela que nous disons que l'espace a trois dimensions.

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Nous savons maintenant ce que c'est qu'un continu à n dimensions. Un continu a n dimensions quand on peut le décomposer en plusieurs parties en y pratiqLant une ou plusieurs coupures qui soient elles-mêmes des continus à n-1 dimensions. Le continu à n dimensions se trouve ainsi défini par le continu à n-1 dimensions ; c'est une définition par récurrence.

Ce qui me donne confiance dans cette définition, ce qui me montre que c'est bien ainsi que les choses se présentent naturellement à l'esprit, c'est d'abord que beaucoup d'auteurs de traités élémentaires, qui n'y entendaient pas malice, ont fait au début de leurs ouvrages quelque chose d'analogue. Ils définissent les valûmes comme des portions de l'espace, les surfaces comme les frontières des volumes, les lignes comme celles des surfaces, les points comme celles des lignes ; après quoi ils s'arrêtent et l'analogie est évidente. C'est ensuite que dans les autres parties de l'Analysis Situs, nous retrouvons le rôle important de la coupure; c'est sur la coupure que tout repose. Qu'est-ce qui, d'après Riemann, distingue, par exemple, le tore de ia sphère? c'es: qu'on ne peut pas tracer :ur une sphère une courbe fermée sans couper cette surface en deux; tandis qu'il y a des courbes fermées qui ne coupent pas le tore en deux, et qu'il faut y pratiquer deux coupures fermées n'ayant aucun

point commun pour être sûr de l'avoir dirisé. Il reste encore un point à traiter. Les continus dont nous venons de parler sont des continus mathématiques, chacun de leurs points est un individu absolument distinct des autres et, d'ailleurs, absolument indivisible. Les continus que nous révèlent directement nos ^sens, et que j'ai appelés continus physiques, sont tout différents. La loi de ces continus est la loi de Fechner, que je dépouillerai du pompeux appareil mathématique qui l'entoure d'ordinaire pour la réduire au simple énoncé des données expérimentales sur lesquelles elle repose. On sait distinguer au jugé un poids de 10 grammes d'un poids de 12 grammes ; on ne pourrait distinguer un poids de 11 grammes, ni de celui de 10 grammes, ni de celui de 12 grammes. Plus généralement il peut y avoir deux ensembles de sensations que nous distinguons l'un de l'autre, sans que nous puissions distinguer ni l'un, ni l'autre d'un même troisième. Cela posé, nous pouvons imaginer une chaîne continue d'ensembles de sensations de telle sorte que chacun d'eux ne se distingue pas du suivant, bien que les deux extrémités de la chaîne se discernent aisément; ce sera là un continu physique à une dimension. Nous pouvons également imaginer des continus physiques plus complexes. Les éléments de ces continus physiques seront encore des ensembles de

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sensations (mais je préfère employer le mot élé" ment qui est plus simple). Quand dirons-nous alors qu'un système S de semblables éléments est un continu physique? C'est quand on peut considérer deux quelconques de ses éléments comme les extrémités d'une chaîne continue analogue à celle dont je viens de parler et dont tous les éléments appartiennent à S. C'est ainsi qu'une surface est continue, si on peut joindre deux quelconques de ses points par une ligne continue qui ne sorte pas de la surface.

Pouvons-nous étendre la notion de coupure aux continus physiques et déterminer par là le nombre de leurs dimensions? Évidemment oui. Supposons que l'on s'interdise certains éléments de S, et tous ceux qu'on n'en peut discerner. Ces éléments interdits pourront d'ailleurs être en nombre fini, ou former par leur réunion un ou plusieurs continus. L'ensemble de ces éléments interdits constituera une coupure; et il pourra se faire qu'après avoir pratiqué cette coupure, on ait partagé le continu S en plusieurs autres, de façon qu'il ne soit plus possible de passer d'un élément quelconque de S à un autre élément quelconque par^ une chaîne continue, aucun élément de cette chaîne n'étant indiscernable d'aucun élément de la coupure.

Alors un continu physique que l'on peut découper

ainsi en s'interdisant un nombre fini d'élément» aura une dimension; un continu physique aura n dimensions, si on peut le découper en y pratiquant des coupures qui soient eiles-mêmes des continus physiques à n-1 dimensions.