Des formes imaginaires en algèbre. [Texte imprimé]

Nous ne ferons que répéter une vérité admise par tout le monde, en disant que c’est principalement sur les expressions de forme imaginaire que sont concentrées aqjourd’bui, en algèbre, les obscurités et les bésitations qui tiennent les esprits en suspens.

Ce n’est pas que tout soit bien clair sur les' expressions négatives, sur les expressions fractionnaires et sur certaines extractions de racines. Hais ces so^s de difficultés n’ont pas à coup sûr l’importance de celles qui concernent l’imaginaire; on a fait de ce dernier un monde à part. Un abîme, on peut le dire, sépare l’imaginaire de tout le reste; car ce reste est considéré comme réel, et le contraste des mots suffirait à lui seul pour faire comprendre l’opposition qu’on voit généralement dans la nature des choses.

On ne sera donc pas surpris que, sans négliger l’examen des difficultés du second ordre, nous nous occupions plus spécialement de celles qui se rattachentà l’imaginaire, et que nous essayons de porter la lumière sur les points les plus obscurs de la route.

L’imaginaire a été jusqu’à ce jour fort peu considéré au point de vue abstrait; tout ce qu'on en sait à cet égard peut se borner à dire qu’on ne le comprend pas.

AVANT-PROPOS

Mourey et de quelques autres. Quant à ceux de Cauchy, ils sont postérieurs d’une dixaine d’années.

Sans entrer ici dans le détail des tentatives que je fis à cette époque, pour que l’Académie des sciences se prononçât soit dans un sens, soit dans un autre. Je me bornerai à dire que je ne pus rien obtenir, et qu’après avoir vainement attendu un rapport pendant dix-huit mois, je me décidai à publier mes Études philosophiques sur la science du calcul {*), dans lesquelles je présente de nombreux rapprochements entre la forme imaginaire et les formes géométriques.

A en croire ce qui m’a été écrit, ce travail n’a pas été sans influence sur quelques esprits ; toutefois le nombre n’en a pas été grand, et, en France, l’inertie a continué de dominer.

11 n’en a pas été de môme à l’étranger. 11 y a longtemps qu'en Italie, en Angleterre, en Allemagne, les nouvelles idées ont été acceptées, étudiées, utilisées. 11 semblerait cependant que nous éprouvons aujourd’hui en France le contre-coup des tendances étrangères; on a d’abord dit et écrit quelques mots sur ces idées, avec timidité sans doute, mais sans manifester de * répulsion. Plus tard des dispositions approbatives se sont produites, et il est incontestable qu’aujourd'bni elles ont gagné du terrain, trop de terrain peut-être dans quelques esprits; car si l’immobilisme a des inconvénients, la précipitation a aussi les siens. A en juger par quelques publications récentes, je crains fort que l’ardeur d’avancer dans une voie nouvelle, la manie de vouloir tout imaginariser n’aient poussé quelques auteurs à émettre des propositions non justifiées, peut-être même injustifiables.

Sic’estun tort de prononcerl’exclusivisme abaolude certaines formes, c’en est un aussi de tenter en faveur de ces formes des

(*) Duiiod, éditeur, quai des Augustias, n* i9.

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AVANT-PROPOS

envahissements trop étendus. Dans la science, il faut qu’il y ait place pour tout, sans empiétements, et dans les conditions mêmes qu’elle indique.

11 m’a semblé que le moment était propice pour revenir sur ces intéressantes questions ; qu’en présence des progrès constatés dans le mouvement intellectuel chez les autres nations, nous ne pouvions pas rester en arrière, et qu’il était utile qu’il se fit quelque chose en France.

C’est ce que je viens essayer aujourd'hui.

Mais ce qui je crois est une cause de grande hésitation chez beaucoup d’esprits, c’est qu’en admettant qu’il est bien établi que la forme imaginaire correspond en géométrie aux longueurs dirigées, et qu’on peut ainsi se faire une idée nette de son interprétation dans ce cas particulier, on ne comprend pas aussi bien sa présence continuelle dans les recherches d’algèbre pure, et le rôle qu’elle peut y jouer; car ces recherches ne s’appliquent pas plus a la longueur qu’à des nombres, des poids, des temps, et à toute autre espèce de quantités pour lesquelles jusqu’à présent, du moins, la forme — i reste quelque chose d’irréalisable.

11 est certain, par exemple, qu’on a quelque peine, au premier abord, à se rendre compte de l’intervention de l’imaginaire dans une question purement arithmétique. Si, par la force des choses, on est contraint d’accepter une telle réponse, il n’y a pas moins dans ce fait un sujet d’hésitation, de révolte même, à la suite duquel l’esprit est incessamment et malgré lui poussé à demander le pour<]uoi d’une chose dont on n’a pas encore donné le parce que.

il faut bien qu’il y ait pourtant une cause à tout ceci, et je suis convaincu que si cette cause était connue, si l’on pouvait s’expliquer que, même lorsqu’on ne traite pus une question de géométrie, lorsqu’on s’occupe uniquement de nombres arithmétiques, si, dis-je, on pouvait se rendre compte des

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nécessités qui font que, même alors, Tintervention de l’imaginaire peut se justifier, on aurait puissamment contribué à dissiper les incertitudes qui tiennent en suspens un si grand nombre de géomètres.

Ce qu’il y, a d’incontestable, c’est que c’est là un désir qui existe chez beaucoup d’esprits, si même il n’est pas général ; dans un article sur le princi|)e et la règle des signes (*),

.U. Transon exprime fort judicieusement ces aspirations dans les termes suivants ;

« La plupart des géomètres, dit-il, persistent à considérer « l’attribution des signes plus et moins, à des quantités isolées,

» comme étant absolument impossible et absurde, au moins a lorsqu’il s'agit des calculs de l’algèbre proprement dite.

« Or, il semble naturel de croire que l’usage du principe »■ des signes, universellement accepté dans la géométrie ana- II lytique, devra tôt ou tard réagir sur ta manière de concevoir « la théorie des quantités positives ou négatives dans l’algèbre « elle-même, car il serait au moins étrange qu’un principe « reconnu essentiel et indispensable à l’une des applications « les plus étendues de la science du calcul, lui fût étrangère *

« et contradictoire, lorsqu’on la considère, cette même science, a dans toute sa généralité. »

Je pense que le présent travail aura pour résultat de combler cette lacune. L’on verra qu’en effet les conséquences dé- Qnitives des explications qui vont être présentées sur les principales obscurités de la science, conduisent à la constitution » d’une algèbre qui n’a plus pour objet une espèce en particulier, abstraction faite de toutes les autres, mais dont le rôle plus général, tout à fait universel, consiste à rechercher et à déterminer les rapports de pluralité de mesure et d’ordre qui

(') Nouvelles Armâtes de Mathématiques, 9* série, tome VI, 1867.

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peuvent convenir ou ne pas convenir à une espèce quelle qu’elle soit, suivant les propriétés plus ou moins étendues, plus ou moins restrictives dont la nature l’a douée , et qui constituent les conditions même de son existence.

C’est là ce que je cherche à établir dans la première Partie de cet ouvrage. Je ne m’y occupe que très-incidemment des considérations concrètes qui sont relativement dans un état assez avancé de progrès, puisque c’est presque exclusivement sur elles qu’on voudrait baser l’algèbre des expressions imaginaires. Mais j’envisage principalement ces expressions dans le domaine abstrait; j’essaye de faire comprendre, même dans ce cas, les causes premières et l’utilité de leur intervention ; j’indique comment on peut, eu abstrait, en établir la tbéorie; enfin, je mets en relief les indications diverses qu’en toute circonstance elles viennent mettre à notre disposition.

Chemin faisant, je m’explique sur le fractionnaire, l’irrationnel, le négatif.

Dans la seconde partie, je développe les idées suivant lesquelles doit se faire aux quantités, autres que le nombre, l’application des faits et des lois constatés dans le domaine abstrait; j’explique comment les formules qui figurent dans ce domaine peuvent être, suivant les cas, l’expression algébrique et équivalente des attributs de ces quantités, c’est-à-dire des lois naturelles qui régissent leur existence, et par suite comment ces atttributs deviennent à leur tour l'image physique des divers rapports dont la réalisation est impossible avec la seule idée de nombre.

Je m’étends avec quelques, détails sur toutes ces choses, parce que ce sont là des explications qui manquent à la science et dont cependant elle ne peut se passer. Presque tous ceux qui admettentcommeune vérité aujourd'hui bien établie, que le produit de r par cos a sJ — i sin a est l'expression algébrique d’une longueur r dirigée suivant l’angle a, et qui se sont familiarisés

avant-propos;

par quelques éludes avec l’emploi de celte forme, frappés des grandes simplifications qu’elle introduit dans les calculs et dans les conceptions, s’étonnent beaucoup que les idées qui se rattachent à cet ordre de considérations n’aient que très-lentement progressé. Mais ils ne réfléchissent pas que tout cela n’est pas méthodiquement exposé dans les ouvrages d’enseignement, que les moyens d’initiation manquent, et que ce ne sont pas les trop rapides explications qu’on peut rencontrer çà et là dans quelques mémoires isolés, qui sont de nature à donner aux esprits la complète intelligence d’une théorie qui se distingue des autres par sa nouveauté d’abord, et en second lieu par une nature particulière -d’aperçus, qui se vulgarisera par la suite, mais avec laquelle ou. n’est pas encore suffisamment familiarisé.

Nous dirons même toute notre pensée eu exprimant l’opinion que ces indications isolées, portant tantôt sur un point de doctrine, tantôt sur un autre, suivant la nature des considérations auxquelles on veut les ajipliquer, (|ue ces demi-confidences, toujours un peu mystérieuses pour le lecteur dont l’initiation n’est pas entière, que ces explications nécessairement écourtées, (laree qu’elles ne sont qu’un accessoire dans le sujet principal, ont plutôt l’air d'oracles prononcés par des augures que d’éclaircissements suivis, comme le sont ceux que, dans ses leçons, le maître donne à l’élève. Cette manière de faire a donc, à mon avis, plus d’inconvénients que d’utilité. En général, nous ne lisons pas avec intérêt et avec fruit un travail qui repose sur des bases théoriques, dont la conception complète nous manque, et dont les relations principales avec ce que nous savons déjà de la science restent en grande partie à l’état latent. Il peut résulter de là un sentiment de répulsion ou tout au moins d’indifférence qui doit nuire à la propagation des idées nouvelles, et imposer à leur avènement de fâcheux retards.

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AVANT-PROPOS

Il nous a donc semblé qu’un travail d’exposition générale et aussi complète que possible, tant sur la forme imaginaire en elle-même, au point de vue abstrait, que sur les assimilations qu’on en peut faire avec les propriétés naturelles dont jouissent certaines quantités, serait une œuvre utile.

Ce travail nous paraît d’autant plus nécessaire aujourd’hui, que nous sommes à cet égard dans une époque dé transition, et que, faute de s’entendre, on pourrait s’engager dans des discussions aussi longues qu’oiseuses. Sans doute la vérité Unirait par percer et l’opinion se fixerait après ces débats, mais ce moyen ne serait ni le plus direct ni le plus simple. Le mieux est donc de présenter un exposé méthodique de la théorie, de faire connaître ses principes, ses procédés, ses conséquences les plus essentielles. Nous croyons que c’est là le moyen le plus sûr de la faire accepter et d’assurer une marche rapide à sa propagation.

Nous ne saurions avoir la prétention de développer ici tout ce qui peut se dire sur ces matières, et le lecteur ne saurait avoir celle d’exiger -de nous l’accomplissement d’une pareille lâche ; d’une part, nous nous hâtons de le déclarer, et nous le répéterons souvent dans cet écrit, notre but n’est pas de produire un ouvrage d’enseignement scolastique , nous voulons seulement signaler la nécessité de procéder à des réformes devenues indispensables, et exposer d’après quel ordre d’idées elles devront être faites; réformes qu’il faut se hâter d’introduire librement chez nous, si nous voulons éviter à notre amourpropre national la nécessité de les accepter de l’étranger. D’autre part, il ne nous en coûte nullement d’avouer que nos connaissances sont loin d’être universelles, que beaucoup de dépendances de la nouvelle doctrine nous sont encore inconnues; que même, en dehors de ce qui concerne l’imaginaire, notre intelligence n’est pas assez bien douée, et le fonds de nos connaissances acquises n’est pas assez riche pour que nous ayons

Digiteed baCoosle;

AVANT-PROPOS. XIII

pu avec un égal succès nous tenir au courant de tous les faits théoriques constatés dans les parties les plus reculées et les moins accessibles de la science du réel.

L’exposition à laquelle nous allons procéder sera beaucoup plus modeste. Nous ne sortirons guère des routes les plus ordinairement suivies. Mais, même dans ces limites qui, malgré ce qu’elles ont d’étroit, comprennent en résumé ce qu’il y a de plus utile pour la majorité des intelligences, on verra que la matière ne manque pas à de nombreuses et importantes observations. Quant aux voies nouvelles que l’interprétation de la forme imaginaire nous invite à suivre, nous ne faisons que les ouvrir ; d’autres après nous y pénétreront à de plus grandes distances et y récolteront des moissons plus abondantes. Notre rôle se borne à indiquer suivant quelle direction il faudra s’avancer; comment les futurs pionniers de lu science devront faire usage des nouveaux moyens d’investigation sur lesquels doit se porter désormais l’attention des géomètres, pour faire fructifier la semence que nous venons mettre entre leurs mains; par quels procédés la pratique des calculs, légitimée par les conceptions de la théorie, nous mettra en possession des perfectionnements qu’il nous est permis d’entrevoir, des progrès que nous sommes en droit d’espérer.

Cet ouvrage n’est pas à beaucoup près le dernier mot de ce que nous avons à dire sur les formes imaginaires, mais il est le préambule nécessaire de ce que nous aurons à développer par la suite sur le même. sujet. Il forme une introduction dans laquelle nous avons exposé les principes de la théorie nouvelle, et qui sera le guide élémentaire au moyen duquel l’esprit pourra s’élever à l’intelligence de questions plus compliquées que celles que nous avons traitées ici.

Les applications les plus intéressantes de la théorie des imaginaires à la construction géométrique des racines des équations, que ces racines soient réelles ou imaginaires, à la re-