S'S*-.SS

On a vu (n* 438) que si Q est la quantité d'électricité libre à l'intérieur de la surface.

Dans le cas actuel Q = 0 ; on a donc

•7- da=0 dn

et par suite

r rfV

D'un autre côté, pour tous les points d'un volume occupé par l'électricité, AY est égal à — krk (n" 433), et, par conséquent, est nul dans le cas actuel, puisque la densité k est nulle.

L'équation D se réduit donc à

<fY <fV

qui ne peut être remplie que si l'on a, en tous les points, -7- = o, -r- = 0

dx dy

dS et -T- = 0, c'est-à-dire si le potentiel Y est constant. dz

445. On en conclut que lorsqu'un corps conducteur présenta des cavités ne renfermant aucune masse agissante, toute l'électricité libre qu'il peut contenir se porte à la surface extérieure, comme si le corps était plein.

Supposons, en effet, qu'en un point situé à l'intérieur de la cavité le potentiel ait une valeur Ya différente du potentiel Y de l'enveloppe con-

ET Dl LEUR MESOKB EN UNITÉS ABBOLUBE. 567

doctiice, on pourra mener de ce point à renveioppe nne série de rayons le long desquels le potentiel variera d'ane manière continue de Va à V, et prendre anr chacun d'eux un point dont le potentiel soit compris entre V« et V et égal i Yt; Imaginons une surface passant par tous ces points. On aura ainsi nne surface de niveau enveloppant un volume qui ne contient aucune masse électrique^ et l'on a vu plus haut (n* 444) que le potentiel doit être constant à l'intérieur; on ne peut donc avoir ¥« différent de Yfr et de V.

Le potentiel étant constant ponr le corps conducteur et tous les points

enveloppés, on doit avoir en chaque pob)t •-- = o, <r- = 0 et --- s 0,

dx dy dz

on aV=o> et par conséquent la densité A; est nulle, puisque aV=— 4idl(.

446. On peut encore déduire de ce qui précède qu'un système formé de masses électriques répandues sur des corps conducteurs n'admet qu'un seul état d'équilibre.

Supposons d'abord que chacun des conducteurs renferme des quantités égales d*électricité positive et d'éfectricité négative, et que dans l'espace environnant 11 n'y ait en aucun point de l'électricité libre , nous allons démontrer que le seul état d'équilibre est l'état neutre.

Admettons en effet que les potentiels soient différents^ et soit V| celui du corps dont le potentiel a la plus grande valeur.

On pourra concevoir une série de lignes partant d'un point quelconque de ce corps, allant dans toutes les directions^ et sur lesquelles le potentiel variera d'une manière continue, soit qu'elles rencontrent un autre conducteur, soit qu'elles aillent sans en rencontrer Jusqu'à l'infini, où le potentiel est nul.

Prenons sur chacune de ces lignes un point dont le potentiel ait une valeur Va inférieure à V] et supérieure à celui des autres conducteurs. En faisant passer une surface par tous ces points, on aura une surface dont le potentiel V<i sera constant, à laquelle on pourra appliquer la formule D.

Remarquons que l'on a

Q étant la quantité d'électricité répandue dans le volume enveloppé par la surface, qui est nulle par hypothèse.

D'un autre cété, toutes les masses électriques comprises dans la surface considérée étant situées sur le corps, dont le potentiel est Vi , on

a, en prenant l'intégrale \ VAVdt; pour ce corps entier et en tenant

eompte de la relation AY s — 4icA,

{ VAVrfi; = Vi ^ AVrfy = — 4icVi i( iW» = — 4icViQ = 0.

L'équation (D) se réduit donc à

568 DBS GRANDEURS ÉLBGTRIQUES

jw /fV //V

qoi conduit à-7- = <^- = -T- = 0;le8 dérlTëes secondes do potentiel ax ay tu

sont donc aussi nulles, et l'on a en chaque point AV = — 4xft = 0 on

ifc = 0. Il ne peut donc y avoir de fluide libre à la surface du corps con*

ducteur considéré.

Il en est de même pour tous les autres conducteurs qui dolyent être à l'état neutre.

Supposons maintenant qu'on ait dans un espace des masses électriques Qf ^9 ^"i ^^'9 appartenant à des corps isolants et des charges Q, Q\ Q'' distribuées sur des corps conducteurs ; il est aisé de démontrer qu'il ne peut y aToIr qu'un seul état d'équilibre électrique.

Admettons qu'il y en ait deux et que dans le premier les densités aux divers points des conducteurs soient Ô, l\ V\ ^", etc., dans l'on des états d'équilibre, et dj^ B\, d''|, 8"\, etc., dans le second.

Si l'on change le signe de toutes les masses électriques qui conespondent au second état d'équilibre, on aura un nouvel état qui sera également en équilibre et correspondra aux masses —q, — ^, — q'', etc., et aux densités — 8|t — ^i» — 8"ii etc.

Superposons ce nouvel état d'équilibre au premier^ il est évident que l'équilibre devra subsister. Il n'y aura plus de masse électrique correspondant aux corps isolants, et les densités qui correspondent aux divers points des conducteurs, seront

a— a^, «'-^1, «"-«"n etc.

La quantité d'électricité répandue sur chacun des conducteurs est nulle, et^ ainsi qu'on vient de le voir, le seul état d'équilibre est l'éUt neutre, c'estrà-dlre celui oâ l'on a « — 8^ = 0, ô' — 8'i = 0, «'" — yj = 0, etc., ou « = «1, 8' = yi, «" = «"i, etc.

Le système n'est donc susceptible que d'un seul éUt d'équilibre.

447» La formule générale de Green établie plus haut

a éte établie sans faire aucune hypothèse sur la nature et la forme des deux fonctions U et Y; on peut intervertir ces deux fonctions et poser

J ) dn )\dx dx^ dy dy ^ di dir

En retranchant la seconde équation de la première, Il vient

(E) ÇuAVrf.-5vAUrf»=5(u^-v5ï)*.

les deux premières intégrales devant être étendues à tout le volume enveloppé par la surface et la seconde à toute la surfsce enveloppante.

448. SappoBODft que dans cette équation Y représente le potentiel en un point intérieur du volume enveloppé par une surface, potentiel dû aussi bien aux masses électriques contenues dans ce volume qu'aux

masses extérieures, et que U ait pour valeur -, p représentant la distance

P d'un point intérieur quelconque à un point fixe, que nous désignerons

par P, l'équation devient

449. On a vu plus haut (n* 432) que pour tout point intérieur à une masse électrique, on a

AV = — 4idk, k étant la densité de Télectricité au point considéré; on a donc

AVdi; . * C kdv

= 4ic V = — 4icVft,

\b représentant le potentiel au point P dû à la masse électrique enve< ioppée.

4liO. En ce qui concerne le second terme, \ VA - dv, il y a deux cas à

considérer suivant que le point d'où partent les rayons p est extérieur à la surface enveloppante, ou qu'il est intérieur. Dans le premier cas, p ne devenant Jamais infiniment petit, on a

On arrive à cette relation par la même méthode que celle employée au n* 431, qui nous a eondoit à l'équation

fite*"*" dy* "^ dji« ~"®'

Pour un point Intérleor à la masse électrique, la même méthode ne peut s'appliquer; mais on peut concevoir autour du point P une petite sphère et diviser le volume occupé par l'électricité en deux parties. Tune extérieure et l'autre intérieure à la sphère. La formule précédente est applicable à la masse électrique extérieure, qui donne par conséquent

A - = 0 ou \ VA - dt; = 0.

Quant à la masse intérieure, dont le potentiel V est constant et égal à oelni du point P, si l'on suppose la sphère de très petit rayon, on a,

570 DES GRANDBUR8 ÉLECTRIQUES

en représentant ce potentiel par V*,

Or on a tq qu'en un point occupé par le fluide électrique^ aV ou

Sdq Ckdv C dv

-^, ou enfin A\ — est égal à *4«ft; si A si, on a à\ — =— 4«;

Ç dv on peut donc poser à\ — = — 4ic^ et, par suite.

Va i rfw = — 4icV«.

4SI. Ainsi l'équation F peut se mettre sous la forme

— .=JC-i-

si le point d'où partent les rayons est à l'extérieur de la surface qui enteloppe la masse électrique considérée, et sous la forme

-™-lC-£-'y)*.

(H) 4it(y

si ce point est situé à l'intérieur de cette surfsce.

Si toutes les masses électriques sont à l'Intérieur de la surface, on a Va = Vfr ; si, au contraire, elles sont extérieures, on a V» = 0.

452. On dédoit de ces deux relations que, lorsque dans un système élecirlsé en équilibre un conducteur enveloppe diverses masses éleclriques, la couche répandue à sa surface interne et les masses électriques situées à l'intérieur constituent on système eu équilibre et dont l'action à l'extérieur est nulle.

Concevons, en effet, dans le corps conducteur enyeloppant, une surface fermée comprise entre les deux limites de ce conducteur, et appliquons l'équation précédente è cette surface, en remarquant que, le potentiel do

corps enveloppant étant constant, on a -7- =0, et qu'en représentant par

V| ce potentiel, on peut poser

J dn

On peut démontrer d'ailleurs que I -y^ dv est égal à 0, on à — 4ic sui-

•/ dn

vant que le point P, d'où partent les rayons p, est extérieur ou intérieur

à la surface. Soit en effet S (fig, 90) la surface, dont AB=<f9 représente

ET DE LBCa MESURE EN UNITÉS ABSOLUES. 571

on élément, AC la normale dn à cet élément, APB un cAne dont le sommet est an point P et dont la base est l'élémMit da.

On a:

BC dp

dn = AC = ^

C08 BGA cos BCA '

pour transfonner da, concerons une sphère de rayon égal à l'anité dont )e centre soit au point P^ et soit dtù la surface découpée sur cette sphère par le cône BPA^ on aura

da = surf. BA = cdXPB cos BGA = cop* cos BG A.

En substituant dans l'eipressioD J «-p db les yaleurs de d -, de dn et de dvt 11 vient

Cette intégrale qui doit être étendae A toute la surface fermée qui enveloppe le volume considéré^ est égale à zéro si le point P est à l'extérieur^ et à —4'2c s'il est situé à l'intérieur.

453. Si le point est A Peitérieur de la surface qui enveloppe les masses

SdV V — (fa est nul, et l'on a, en vertu de l'équation G,

S'il est à l'intérieur de la surface

Y^d6 = -4icVi.

et l'on a d'après l'équation H :

454. Ainsi, pour tout point extérieur à la surface enveloppante et par

572 DflS GRANDEURS ÉLECTRIQUES, ETC.

coDséqoeot aasBi^ pour tout point do corps eonductenr qui forme l'enveloppe^ le potentiel dû aox massée électriques situées à rintériear^ et dont la somme algébrique est égale à zéro^ est nul, ainsi qae les composantes

dS dS dS ^ ^ ,, ^ .

-7-, -r- et -r- dues à ces masses électriques. dx dy dz

On ne change donc rien à l'équilibre extérieur si Ton fait disparaître le fluide libre situé à Tintérleur, en établissant nue communication entre Tenveloppe et les corps éiectrisés qni y sont renfermés.

466. Pour les points situés à rintérieur, le potentiel Va a pour valeur

V« = V* + Vi,

Vi étant le potentiel de renveloppe conductrice qui est uniquement dû à Taction des masses extérieures, et coneerre la même valeur pour tous les points entourés par cette enveloppe. 1^ force qui agit en chaque point de l'intérieur, a pour composantes

--7- , — et --T— ; elles sont égales aux trois composantes --r— > -^ 6t

dVé

-T- qui résultent uniquement des masses électriques intérieures.

L'ensemble des masses intérieures constitue donc aussi un système en équilibre de lui-même, complètement indépendant des masses extérieures.

Si l'on fait communiquer l'enveloppe avec le sol, Y^ devient nul, et l'on a en chaque point Va = \b, le potentiel est alors uniquement dû aux masses intérieures, et est Indépendant des quantités d'électricité si tuées à l'extérieur.

On sait que ces lois ont été trouvées expérimentalement par Faraday.

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