CHAPITRE V. IpJ

153. Equation de la perpendiculaire abaissée d^un point donné sur une droite donnée. Expression de là. distance du point à la droite.

Soient x'^j'\qs coordonnées du point, et

(i) yz=zax-^b

Téquation de la droite. Celle d'une droite quelconque passant par le point donné sera

et Ton devra avoir i H- aa' = o pour qu'elle soit perpendiculaire à la première. L'équation de la droite demandée* sera donc

Pour avoir la distance du point x\y' à la droite donnée, il .'audra calculer les valeurs de x et y qui satisfont aux équations (i), (2), et la valeur de cette distance p sera donnée par la formule générale démontrée précédemment. On aura ainsi, en supposant x et j connus,

Mais au lieu de x et y il est plus convenable de calculer les différences x — ^^y — y' \ et pour cela on mettra l'équation (i) sous la forme

y — j'=: rt(jc — x^) — [y' — ax^ — b.

Cette équation jointe à (2) fera connaître x — x' ^y — 7', et l'on obtiendra pour p la valeur suivante

154t. Remarque. — Si Ton prend le radical en valeur absolue, cette formule donnera pour p une valeur positive si on a)^'>ax'-f- t, et négative si j^'<^«a:' -h h.

igS ÉTUDE DES COURBES.

Or ax' -{-b est l'ordonnée de la droite donnée, pour Tabscisse a:'; l'inégal i té j^'}>/2x'-|- b a donc lieu, quels que soient les signes, lorsque le point donné est au-dessus de la droite donnée, c'est-à-dire dans la partie du plan qu'on obtiendrait en marchant dans le sens des ^positifs, à partir de tous les points de celle droite : l'inégalité y<^ax'-\-b aura donc lieu pour tous les points situés au-dessous de la droite.

Cette propriété de la formule (3) mérite d'être remarquée. En l'employant, et prenant toujours la valeur absolue du radical, elle donne des valeurs positives pour les perpendiculaires abaissées des points situés au-dessus de la droite, et négatives pour tous les points au-dessous. Ces perpendiculaires changent de signe en même temps que de sens.