CHAPITRE XVI

lignes qui auraient pour expressions numériques les nombres que Ton se proposait de calculer; et pour connaître ces nombres il suffira de mesurer ces lignes au moyen de l'unité choisie.

Nous allons faire Tapplication de ces considérations générales à divers genres de questions.

DES PREMIERES OPÉRÀTIOJfS SUR LES NOMBRES.

279. U* addition et la soustraction de nombres connus ne peuvent être ramenées à des procédés plus simples que ceux qu'indique l'arithmétique élémentaire 5 et l'intervention delà géométrie, non-suulement introduirait les erreurs inévitables des mesures, mais augmenterait beaucoup le travail: c'est pourquoi nous passerons de suite à la multiplication.

Multiplication, — Soit proposé de former le produit de deux nombres connus aet£. En le désignant par x, on aura la proportion

Choisissant une longueur pour représenter l'uni té el formant par suite les longueurs réprésentées par les nombres connus a et 6, la ligne représentée par le nombre inconnu x sera la quatrième proportionnelle à trois lignes connues, et se construira facilement : on la mesurera ensuite avec l'unité choisie et on connaîtra le nombre x, c'est-à-dire le produit demandé ab.

Division, — Soit proposé maintenant de trouver le quotient, de a par b. En le désignant par x^ on aura

6 la y, I :x,

X étant encore la quatrième proportionnelle à trois nombres connus, on procédera comme dans le cas précédent.

Et généralement si Ton a à calculer le résultat d'opératîons quelconques indiquées par une expression rationnelle fractionnaire, dont le numérateur et le dénominateur seront polynômes, on commencera encore par remplacer les nombres par des lignes ^ on rendra homogène les termes ajoutés, en introduisant des facteurs ou diviseurs égaux à Tunîté et de telle sorte que le degré du numérateur surpasse d'une unité celui du dénominateur. Cela fait, on procédera comme nous l'avons indiqué précédemment pour la construction des lignes dont l'expression est rationnelle. Mais comme dans le cas actuel c'est un nombre que Ton cherche et non une ligne, quand cette dernière aura été construite on la réduira en nombre au moyen de l'unité choisie; et le résultat demandé des opérations numériques indiquées, se trouvera déterminé.

Extraction de la racine carrée, — Pour extraire par le moyen des constructions la racine carrée d'une expression rationnelle, on commencera par ramener cette expression à un monôme, par les procédés que nous venons de rappeler ; puis par des facteurs égaux à l'unité on fera en sorte que ce monôme ait deux facteurs linéaires de plus au numérateur qu'au dénominateur. On pourra alors réduire l'expression à la forme

La désignant par x^ on aura

x^ z= aby ou a\x \\ X \b»

La ligne représentée par x est donc moyenne proportionnelle entre les lignes a et by et se construira facilement. Sa mesure au moyen de l'unité choisie, fera connaître le résultat des opérations numériques indiquées. Et l'on voit que l'on pourrait par l'application successive de ce procédé calculer les racines de degré 2™.