C/Q'/ AV Q/ X

qui sont parallèles aux premiers, et respectivement dans le même sens; a et b les coordonnées AB, A'ii de la nouvelle origine. Désignons par x, y les coordonnées d'un point quelconque M dans le premier svstème, et par x' , y' ses coordonnées dans le second.

Il s'agit d'exprimer généralement, si cela est possible, j: el V en fonction de x',y. La discussion étant absolunient semblable pour lesi' comme jjour les x, nous nous bornerons à celle-ci.

Supposons d'abord que le point B soit sur le prolongement AX, sur lequel on porte les valeurs positives, et que

i5p, ÉTt]DE DFS COtJRBES.

le jiied Q de l'ordonnée j' tombe dn côté A'X' sur lequel on compte les x' positifs, A'X' étant supposé dans le même sens indéfini que AX.

Il est évident qu'on aura

AP = a-^A'Q, (i) .r = n -i- vS',

tant qu"on restera dans ces conditions.

Si maintenant le pied de >' se trouve en Q' entre A' et C, on aura

CQ' = « — A' Q' ou a; = a — A' Q'.

Donc, si l'on veut que la formule (i) s'applique à cette nouvelle disposition, il faudra y regarder x' comme désignant — A'Q'.

Enfin, si le pied de l'ordonnée y' tombe en Q", et le pied P" de l'r sur le prolongement AX, opposé à AX, on aura

AP"=A'Q'— « ou — AP"=— A'Q'^a;

donc la formule (i) s'appliquerait encore à cette position du point M, si l'on entendait que x est remplacé par — AP", et x' par — A'( V.

Donc, enfin, la i'ormule (^i) conviendrait à toutes les positions du point sur le plan, à la condition que les x et vc' y seraient regardés comme de simples nombres quand ils seront portes sur les directions respectives AX, A'X', et comme des nombres affectés du signe — quand ils seront portés dans les directions opposées.

Il ne reste plus qu'à examiner le cas où l'origine A' aurait son abscisse du côté AX|.

Il faudra recommencer avec cette nouvelle position du point B la discussion que nous venons de faire.

Soient B ijiii- 3o) !<• pieil de Fordoniiée de A', et M un

cHAi'nuE m. I 53

poiiU tel, que le pied de son ordonnée >• tombe du côté AX ; on aura x = x' — AB, formule différente de (i), mais qui V rentrerait si dans celle-ci on renipiai.ail a par — Al>.

ni A P X

Les autres positions de M conduiraient à la même remarque. Donc l'équation (i) convient à toutes les positions des points du plan et de la nouvelle origine elle-même, en entendant comme nous venons de le dire les signes de X, x' , a.

La discussion serait enlièrenieiit la même pour lesi': d(! sorte qu'on peut dire que les relations entre les anciennes coordonnées et les nouvelles sont exprimées par les équations générales

à la condition que ces six quantités seront considérées comme positives dans un sens, et négatives dans I aulte.

Si l'axe des x' était dirigé en sens conliaire de lave des X, on verrait facilement que la formule générale entre X et x' serait x = a — x' au lieu de x ^ a -r x' ; de sorte que les formules (2) seraient changées en

Et de même, si l'axe des j'' était dirigé en sens contraire de

Taxe des r, la seconde tics formules (2) se changerait en

I 10. Cliniigement de diiection des fixes tii/loiir de Id mcme origine.

Supposons que les points dun plan aient été rapp(U-tés

l54 ÉTIDE DES COUnnES.

d'abord ;i un système d'axes rectangulaires, ce que l'on fait ordinairement quand aucun système oblique ne semble oflrir des avantages spéciaux. Il peut arriver que l'on espère des simplifications en prenant de nouveaux axes dans des directions différentes; et pour faire l'essai de la manière la plus complète, on ne doit pas d'avance les assujettir à être rectangulaires. Il est d'ailleurs inutile de compliquer cette nouvelle question du changement de l'origine, puisque, en vertu des formules précédentes, ce changement se fera avec la plus grande facilité, soit avant, soit après le changement de direction.

La question que nous avons à résoudre est donc celle-ci :

Trouver deux er/uations entre les coordonnées x, y d'un point ijaelconque par rapport à deux axes rectangulaires, et ses coordonnées x', y' /lar rappoil à des axes quelconques ayant la même origine.

Soient AX, AY [fi g. 3i) les directions du sens positif des premiers axes; AX', AY' les dirrclions positives des

nouveaux; a l'angle que l'ait la diieclioii AX' avec AX en tournant autour de A à partir de AX jusqu'à ce que la direction mobile co'incide avec AX', quelle que puisse être la valeur de cet angle; a' l'angle formé de même avec, AX par la direction mobile quand elle vient co'incider avec AV.

CIIAPITUF, III. I-'^

Considérons un |)oinL (iii<'l(on(|iic M ilii \A,)u: ;il);iissoiis Ml' perpendiculiiiie sur A\, MF i)arall.'l<- à W ; W. MP et ÀP', MF seront les i;nindcurs al)solues de .r, v «'t de J-', y.

Cela posé, considérons le polygone terme AP'MPA, parcourons-le à partir de l'origine dans le scii'^ niai(pic par ces lettres, et multiplions la valeur absolue de chaque côle par le cosinus de l'angle formé avec une direction (ixc paila direction de ce côté dans le sens où il est parcouru : nou> savons que la somme de ces produits, ])()ur le contour en! ur du polygone, est égale à zéro. Ciioisissons d'aLoid pour celle direction fixe celle de AX.

La généralité de l'équation que nous allons trouver, el les conditions sous lesquelles elle a lieu, seront facilenien! établies au moven de la remarque suivante.

Lorsqu'un des côtés AP', P'M du ])olvgone, ,\V' ])ar exemple, sera décrit dans le sens même de l'axe corr(;s]M)ndanl AX', l'angle des deux directions sera celui de cet axe avec AX, que nous exprimerons par X'X; mais s'il était en sens opposé, comme l'est par exemple, dans notre figure, le côté P'M par rapport à son axe .VY', l'angle serait hsupplément de celui de AY' avec AX, el le terme de la somme devra être, d'après le théorème général, — MP'cosY'X. D'où il résulte généralement que chacun de ces termes dans la somme sera le produit de la coordonnée par le cosinus de l'angle des directions des axes positifs correspondants, si l'on regarde les coordonnées comme négatives quand elles sont dans le sens opposi' aux directions choisies AX', AY'.

Quant aux deux autres côtés Ml'. 1' \, le prcmiiT (loiiin' un produit nul; le second est jiarcouiii dans h; scmis de P vers l'origine A, ce qui est le sens opposé à AX si P est du côté AX, et le sens même de AX si P est du côté opposé; de sorte que le côté PA fournira dans l'un el l'aulre cas un

IDb ÉTUDE DES COUnEES.

ternie exprimé par — .r, et Ton aura léquation générale r = j' cosx' a; ^- y cosr' jr,

et l'on trouverait de même, en prenant AY pour la direction fixe,

y = a' coix'r -^y cosj'j'.

Il ne reste plus qu'à exprimer ces quatre cosinus au moven de a et a' ; et on se rappellera que dans l'estimation des angles avec la direction fixe on peut aussi bien prendre le supplément à quatre droits que l'angle même. On aura ainsi

cos.r'x = cosa, cosr' j^ ^ cosa',

(:n<i.r'j- = cos 1 - — y.\ ou cos (et — - \ ,

cl par suite

cosj~'j' = sina, et enfin

cosy3^ = cos(^--/) ,m r„.(a'--^),

et par conséquent

co^yr = sina'.

On aura donc les deux relations générales suivantes entre les coordonnées x, y et x'. y',

{ j^ = x' cos a ^ r' cos a',

{ y =z X sin a -7- )• sin a , et elles ne seront générales qu'à la condition de prendre les coordonnées comme positives dans un sens, et négatives dans le sens opposé, et de traiter ces quantités négatives dans les calculs suivant les règles des signes des polynômes ; de sorte qu'il n'v a aucune difficulté à faire sur la manière de les emplo\er.

111. Si l'on changeait à la fois l'origine et la direction des axes, on commencerait par transporter l'origine, sans changer la direction des axes, ce qui se ferait au mo^endes

CHAJMTRE III. laj

formules ( 2 ) ; puis on passerait de ces a\es intermédiaires aux ;(\f< rlefinitifs au moveii des formules (3), et Ton aurait ainsi

- X cos 3 — r cos a , •j-' jin a — t' sin a'.

Si les axes primitifs faisaient entre eux un anj;le quelconque 6, on trouverait par des considérations analog^ues

x'sin (6 — a)-^j>''sin (9 — a')

^iD(l

Et si l'on voulait revenir du second svstème au premier, il suffirait de substituer à x' , y' les valeurs en x et en y que donneraient les équations (4V

Les formules (4) reproduiraient les formules (2) si l'on \ faisait a = o, a' = 0.

Elles reproduiraient les dernières du 11" lOi) en faisan! 7. = t: conjointement avec a' = 9 ou a' = 6 — 7:; et a = o

injointement avec a'z= ^ -;- 7:.

ll!2. Si les deux svstèmes daxes étaient rectangulaires, les formules (3) ne dépendraient que d'un seul angle a; mais il y a deux cas qu'il faut bien distinguer. Les nou- \eaux axes des x' et y' peuvent être l'un par rapport à l'autre dans le même sens que ceux des x cl y, ou en sens inverse; c'est-à-dire que si l'on fait tourner autour de l'origine le système x'j^' jusqu'à ce que l'axe positif des x' coïncide avec celui des x, l'axe positif des j'' pourra coïncider i\ec celui des j', ou bien avec son prolongement. Dans le premier cas on aura

1' = ï - — I >•'. dans le second

l')8 ÉTinE DES COUnBES.

On aura donc dans le premier

"cosx'= — sina, sinî('=cosa, et dans le second

C05a'-;sina, sin7.' = — cnsï.

Les fonnules (2) deviendront donc dans le premier cas

l X = or' cosoi. — r'siiia,

I y = X sina —y cosa,

et dans le second

l a: = a?' cos a ~ )'' si n a,

I y — X sinx — y cosa.

113. Remarrj ne . — La i'ormc linéaire des équations (4) par rapport à x, y, x', y' donne lieu à une conséquence remarquable. Si les deux membres de l'équation d'un lieu sont des fonctions rationnelles et entières des deux coordonnées, le degré de cette équation ne changera pas par celte transformation. En effet, en remplaçant x el y par des expressions du premier degré en x' , y' , on ne peut avoir évidemment une somme d'exposants plus forte qu'on ne l'avait en X ely] mais le degré du résultat total ne pourrait-il pas devenir moindre par la destruction des termes les plus élevés ? On pourrait reconnaître directement que cela n'est pas possible, mais une bien simple observation le démontre; car si l'équation en x,y' était de degré moindre que celle en X, y, il faudrait que ce degré s'élevât en revenant à cette dernière par la substitution à x' , y' de leurs valeurs linéaires en X, j', tirées de (4); ce qui est impossible.

On voit donc que, si l'équation d'un lieu est d'un certain degré par rapport à un certain sxstème d'axes, elle conservera toujours ce même degré, quel que soit le système d'axes auquel on la i-apporte.

Et c'est pour cela qu'il est possible de prendre le degré des équations comme moyen de classification des lieux géométriques.

ciiAiiini-: m. ion

lli. Iraiisformalion de coo/duii/K-cs recti/ii^nr.s ri/ coordonnées polaires, et réciproquement.

Si le pôle n'est pas à l'origine ei a pour coordonnées les (juanlités positives ou négatives a, b, on commencei'a j)ar v transporter l'origine et les axes parallèlenienl à eux-mènie-;, au moyen des formules (a); et il ne restera plus qu'à Irouxeideux relations entre les nouvelles coordonnées rectilignes d'un point quelconque et ses coordonnées polaires, le pôle étant à l'origine des premières; ce cpii est le cas que non-; examinerons, en premier lieu.

1 13. Soient donc les axes AX, A^ , <pie nous supposerons d'abord rectangulaires; prenons Taxe des x positifs pour origine des angles variables, et pour pôle l'origine des coordonnées X et r.

Les coordonnées polaires d'un point soni la longueur de la droite qui joint le pôle à ce point, ou le ravon vecteur du point; et l'angle que fait avec l'axe la direclion du rayon vecteur, qui est celle de la droite parlant du piMc ri allant vers le point. Nous désignerons ces deux coordonnées par r et ». 11 s'agit de trouver deux équations générales entre x, y, r, o, d'où l'on pourra tirer x et y en fonction de /• et o, ou réciproquement /• et o en fonction de x et r.

Soit M {Jig- 32) un point quelconque du plan. Ses coordonnées seront, quant à la grandeur seulement, les

deux côtés d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est /•; quant aux signes, on voit immédiatement que le cosinus de

l6o ÉTUDE DES COUTIBES.

l'angle cp est posilifou négatif en même temps que x, el que sina est de même positif ou négatif en même temps que v", de sorte que les deux équations entre x, y , es, /• sont

(-) x^rcoso, j)' = /-sin!s,

en entendant que sincp, costp prennent pour les diverses valeurs de es les signes admis dans la Trigonométrie; que X el y sont positifs dans un sens et négatifs dans l'autre; enfin que r est toujours la valeur absolue du ravon vecteur.

116. Si le pôle était difl'érent de l'origine et avait pour coordonnées a et h^ les formules seraient évidemment, d'après ce que nous avons dit ci-dessus,

(8) X ^ a-T- r cos o, ■ y = b — nmo.

Si les axes primitifs faisaient entre eux un angle quelconque B, les formules seraient

*"-7ïn#

Enfin, si l'axe ])olaire faisait avec AX un angle a positif ou négatif, les formules seraient

6— Ci — o(-i sin9 • " sin6

117. Si l'on voulait au contraire passer d'un système de coordonnées polaires à un système de coordonnées rectilignes, par rapport auquel le pôle et l'axe polaire seraient situés comme nous l'avons supposé dans les formules précédentes, il suffirait de tirer de ces dernières les valeurs de /• et t5 en x et )', el de les substituer dans les équations données en /■ et o.

Considérons, par exemple, les équations (8). Elles don-

CHAI'ITRl-. m.

neronl, en prenant la valeur absolue du railieul.

sino =

\/{x — aY--^(y — by-

Si réqualion donnée est

Vit-, sin-i, cos'i) = o,

la substitution nodre aucune dilficullé, si ce nesl peutêtre des irralionnalités à l'aire disparaître. Mais si Tangle -^ lui-même entre dans réqualion, qui sera alors de la forme

F(r, tp)= o,

Il faudra tirer o des équations précédentes,' qui donneront

a = arc cos - - > o = arc sin ,

et si l'on ne s'assujettissait qu'à l'une de ces e\prcs--ioiis, on ne satisferait pas à toutes les exigences, puisque le cosinus d'un arc correspond à deux sinus égaux et de signes contraires; et il en est de même d'un sinus. Lorsqu'ftn se bornera à exprimer l'une des deux conditions, il pourra en résulter des embarras et des apparences de diflicullc's cl lie contradictions qu'on lèvera facilement au moyen tic la lemarque que nous venons de faire.

I)K QIELQCES AUTRES SYSTÈMES DK COORDONNÉES.

118. Les deux systèmes que nous venons de considérer >onl les seuls que l'on emploie ordinairement. Quand on donne une équation entre d'autres éléments de déterminalion des points, on ne la regarde pas comme l'équation du lieu; et ce qui n'est au fond qu'un pridilème du translbi- DiH. — Afélh. III. I I

iba ÉTIDE Di;S COIRBFS.

niatioii de coordonnées est considéré comme une recherche d'équalion de lieu d'après des conditions données.

Si, par exemple, on prenait pour coordonnées des points leurs distances 3, 3' à deux points fixes, l'équation 8 -1- 8'= a serait celle d'un lieu géométrique. Mais quand on propose de trouver ce lieu par cette condition que la somme des distances à deux points fixes soit constante, on ne prend pas ordinairement pour coordonnées ces distances; on les exprime au moyen de coordonnées rectangulaires x, y et on les substitue dans la condition donnée entre 5, o'; on dit alors qu'on a l'équation du lieu.

En prenant pour axe des x la ligne qui joint les deux points fixes, et la perpendiculaire au milieu pour axe des j', les équations de transformation de coordonnées seraient, en désignant par ac la distance des deux points donnés.

et le lieu dont l'équation serait, dans le premier système, 0 + 3'^ a, serait représenté dans le second par l'équation

\j y^ — ix — c)2 -T- />'- -t- ( ^ -h c )- = a.

On la rendrait facilement rationnelle, et ce calcul donnerait lieu à la discussion qui a été faite précédemment.

H9. Les points pourraient encore être déterminés par les angles formés avec une direction fixe, par les lignes qui les joindraient à deux points fixes pris sur la droite.

Soient B, B' (y?^. 33) ces deux points et BX la direction Kig. 3.?.

fi\e par rapport à laquelle ou estime les angles a, a' que

CHAIMTUE m. l63

font les direclions BM, B'M menées de B el B' au poini (]iielconqiie M du plan. Les équations entre les coordoniK-es a, a' du point M et ses coordonnées rectangles seraient, en posant BB' = 2« el prenant lorii^ine au milieu A de BB',

Si donc on avait une relation enlie a et a' qui serait léqiiation d'un lieu dans le premier système, on aurait celle du même lieu dans le second, en éliminant a el a' entre les trois équations.

Un des cas les plus simples, et qui se rapporte à une courbe bien connue, est celui où Ion aurait

//- l'Ianl uni' (pianlilé donnée quelcoïKpie. On aurait alors par 1 eiinuiialiou

— r=^ ; = ^' J 'JÙ a'^y- -h- b'^x^ = a-b-,

équation qui représente la courbe qu'on nomme ellipse. Nous ne parlerons pas de tous les systèmes de détermination qu'on pourrait imaginer. Dans chaque cas la transl'ormation de ces coordonnées en coordonnées rectilignes nu polaire se fera d'après la nature des éiiMnents de détermination des points, qui pourraient (piehpief'ois être si |)eu commodes à employer, que l'idée ne viendrait même pas de leur donner le nom de coordonnées; cl la question s'énoncerait comme un problème étranger à toute Iranslormation de sjslème de coordonnées.

l6.\ ÉTUDE DES COUnBES.

OBSEliVATIONS SIR LES SIGNES DES COORDONNÉES RECTILIGNES DANS LE PASSAGE d'iN SYSTÈME d'aXES A LN AITRE.

Il2(). Lorsque l'on part d'une équation

entre les coordonnées x,y, et qu'on change le système, par exemple, au moyen des formules précédentes,

1 cc = a ^- x' cos %^ y' cos a', I >• = o — .T sin 2 — y sin a ,

on obtient une équation

(3) F(a -}- x' cos a -+- jK'cosa', b -i- jc'sina ^ r'sina') = o.

qui admet une solution en .r', )' correspondant à chacune de celles que donne iéquationfi) en .î',J', les valeurs de X, >', x', )', dans les deux solutions correspondantes, étant toujours liées par les équations (2).

S'il V a dans l'équation (i) des solutions étrangères au problème géométrique, les correspondantes dans (3), construisant les mêmes points, seront également étrangères et devront être laissées de côté.

Si l'équation (1) n'a que des solutions positives, l'équation (3) pourra en avoir de négatives; et ce n'est qu'en les portant en sens contraire qu'elle donnera, comme nous l'avons démontré, les mêmes points que l'équation (i).

Si l'équation (i) avait des solutions positives et des solutions négatives, et qu'on ne dût admettre que les premières, on n'en serait pas moins obligé d'admettre dans (3) les solutions négatives qui leur correspondent; et l'on ne devrait rejeter que les solutions correspondantes aux négatives de (1), même lorsqu'elles seraient positives dans (3) puisqu'elles construiraient des points qui ne conviennent pas à la question.

cnATiTRE m. i(i5

Enfin, si l'équation (i) a des solutions positives et des solutions négatives, et que l'on doive rejeter une partie des unes et des autres, on devra rejeter les correspondantes dans (3), quels que soient les signes dont elles soient affectées.

COMMENT ON DOIT TENIR COMPTE DES SIGNES DES COORDONNÉES DANS LA MISE EN ÉQUATION DES PROBLÈMES GÉOMÉTRIQUES.

121. Supposons des points, en nombre fini ou infini, situes dans le même angle des axes des coordonnées, et des équations générales entre les coordonnées de ces points, prises avec leurs valeurs absolues, c'est-à-dire des équations qui aient lieu quelles que soient les valeurs des quantités qui V entrent et la position relative des points, situés toujours dans le même angle des axes.

Nous venons de voir comment devaient être pris les signes de nouvelles coordonnées, si l'on changeait l'origine; mais la question que nous allons examiner n'est jias tout à fait la même. Nous ne voulons pas faire un changement de coordonnées après avoir trouvé des é(|uations dans un système d'axes qui renferme tous les points dans un seul angle; nous voulons former les équations en prenant tout d'abord une origine telle, que les points se trouvent placés d'une manière quelconque dans les quatre angles des axes.

Or, si l'on commençait par jirendre le jircmier svstème d'axes, où tous les points sont dans un même angle, que l'on V formât toutes les équations de la question et qu'on passât ensuite à l'origine choisie, on obtiendrait, comme nous l'avons déjà dit, des équations entre les coordonnées des mêmes points par rapport aux axes choisis, dans lesquelles ces coordonnées devront être considérées comme des nombres absolus, d'un côté de l'origine, et comme des

ifiC) ÉTUDE DES COUEBES.

nombres négalifs, de l'autre; et c'est à cette condition que ces équations conviendront à tous les points. Mais on parviendra évidemment aux mêmes résultats sans commencer parTorigine auxiliaire, en exprimant exactement les mêmes choses successives au moven des coordonnées voulues, et. passant par la même suite de considérations; les calculs ne différeront des autres qu'en ce que, au lieu des coordonnées qui s'y rapporteraient, on aura leurs valeurs en fonction des nouvelles qui doivent y être prises alors avec leurs différents signes. Mais il est évident qu'il n'est nullement utile de se reporter à chaque instant par la pensée aux axes qui renfermeraient tous les points dans un seul angle, et qu'on n'a besoin de s'occuper que des relations successives à établir entre les données et les variables ou les inconnues, en s'assujettissant toujours à la condition de regarder comme négatives les coordonnées dirigées en sens contraire de celles dont on ne doit considérer que les valeurs absolues. Et il est inutile de rappeler que les opérations sur ces quantités négatives isolées doivent être exécutées suivant les règles démontrées dans le cas des polynômes, puisque toutes nos formules n'ont été démontrées générales que sous celle condition expresse.

122. Remarque. — Ces raisonnements prouvent qu'en partant d'un système d'axes quelconques et ayant égard aux signes des coordonnées, on obtient finalement les mêmes équations que si l'on avait pris des axes renfermant tous les points dans un même angle, regardant leurs coordonnées comme des nombres absolus, et passant ensuite aux axes proposés au moyen des formules générales de transformation. D'où il résulte nécessairement que si tous les points cherchés ne pouvaient être liés par les mêmes équations générales, dans le cas oii ils seraient cependant compris dans le même angle des axes; si, par exemple, dans ce cas