CHAPITRE V

point M' du lieu, a donc avec Q'iî un rapport égal à a qui est celui de MQ à BQ ; et par conséquent M' est sur le prolongement de la droite ZB. Il en sera de même jusqu'à ce que l'on ait « . AP' = 6, d'où résultera r = o, et le point du lieu sera à la rencontre de ZB avec l'axe des x. Si l'on continue à augmenter l'abscisse négative, et qu'on la prenne ' égale à — AP'', la valeur de y tirée de (i) sera négative et égale au signe près à a.AP' — b. Mais a.AF' ou a.BQ" étant à BQ'dans le rapport rt, si l'on prend Q"M" = a.BQ''. le point M" sera sur le prolongement de la droite ZBC; et comme P''M" est «. AP' — h. M" est le point du lieu, s'il est entendu qu'on portera sur le prolongement A\ ' les valeurs négatives de r. On voit donc, comme nous l'avions annoncé, que l'équation (i) a pour lieu tous les points d'une ligne droite, si l'on porte les valeurs de x et de )■ positives dans un sens, et les négatives dans le sens opposé.

Et réciproquement, comme par le point B on ne peut mener qu'une droite faisant, avec la direction BL ou AX, un angle donné a, la droite ainsi menée a pour équation

y = ax -^ b, dans laquelle

/,= VB et «= . \'"^

143. Mais nous n'avons examiné que le cas où a et h sont positifs. La discussion des autres cas sera tout à fait semblable, et nous nous bornerons à l'indiquer.

Si, par exemple, a étant encore positif, b est négatif, on prendra sur AY' une longueur AB' égale à la valeur absolue de B, et on mènera B'U' parallèle à AX. L'équation (1) sera alors

Si donc on prend x ^= AP, , que par P| on mène P i Qi parallèle à AY, et qu'on prenne Q, M, = a.APi, on aura

igO ÉTUDE DES COI RBES.

un point du lieu, pourvu que la soustraction soit possible, ou que l'on ait <7.AP| ]> AB'.

Si l'on n'accepte pas les solutions négatives, le lieu commencerait alors au point C de l'axe des x, pour lequel on aurait a. AC = AB'. Ce lieu serait une ligne droite parlant de C et inclinée de l'angle a déterminé par l'équation

siri(6 — 2)

Si l'on doit construire les solutions négatives, en les portant en sens opposé, on reconnaîtra facilement que l'équation (i) aura pour Heu la droite entière dont nous venons de construire la partie indéfinie partant de C.

Il est presque inutile de dire que, si h = o, on a une droite indéfinie passant par l'origine des coordonnées.

1 i6. Il ne reste donc plus qu'à examiner les cas où a est négatif, h pouvant être positif, négatif, ou nul.

Représentons a par — m et mettons l'équation (i) sous la forme

(2) y = — mx^b:

prenons AB = b { fig. 3j), et menons BU parallèle à AX ;

soit X = AP = CQ, on aura

j- = AH — 7?î.BQ = PQ — /H.BQ.

On aura donc un point du lieu en prenant QM= «î.BQ; et le rapport ^^ étant constant, les points M seront sur

CIIAPITUE V. igi

une droite parlant de B; ils seront dans i'anijle ^ W hml qu'on aura /?!J ■< AH. Si l'on prend h(x = AB, ou aiii-,i (■ = o, ce qui donnera le point C où cette droite coupe A\.

Le lieu se réduirait à la partie BC, si l'on ne devait pas construire les solutions négatives de (2). Si on les admet, tant pour x que pour r, on reconnaîtra facilement que la droite BC, prolongée indéfiniment, est le lieu de l'équation (2) ou de Téqualiou (i) dans laquelle a est négatil' et b positif.

Pour avoir la signification géométrique du coefficient a, on désignera encore par a l'angle de la direction supérieure CZ de la droite, avec la direction AX; et, dans ce cas, on aura a^ fl.

Or m est le rajjport

Mi,> siiia

Tin ' "" !-iin3t — 0)'

on aura donc

■^in ( a — 0 I

Si donc on emploie les signes comme on l'a fait dans la Trigonométrie, et qu'on rem place sin (a — Ô)par — sin(f) — 7.), on aura

siin'l — ï » sini ') — XI

de sorte que par l'emploi des signes, entendu comme dans, tout ce qui précède dans la science, l'evpression de a en y. est générale, quel que soit le signe de a.

Resterait encore à examiner le cas où /j est négatif en même temps que a; mais cette discussion est tellement Identique aux précédentes, qu'il est tout à fait inutile (pic nous nous y arrêtions; nous rccominandons seulement aux élèves de la faire.

igi ÉTIDE DES COURBES.

147. La conséquence générale de celte discussion peut s'énoncer ainsi :

« L'équation du premier degré représente dans tous les cas une ligne droite indéfinie dans les deux sens, si l'on admet les solutions négatives et qu'on les porte en sens contraire des solutions positives.

» Et réciproquement une droite indéfinie est représentée par une équation unique du premier degré, à la condition d'en admettre toutes les solutions, tant positives que négatives. »

On pourrait facilement établir directement cette proposition réciproque; mais nous ne nous y arrêterons pas , et nous nous bornerons à la remarque que nous avons faite précédemment, que par un point donné on ne peut mener qu'une seule droite telle, que la direction de sa partie audessus de l'axe des x fasse avec la direction des x positifs un angle donné. Car l'équation j' = ax -+- b, représentant une droite coupant l'axe des y en un point arbitraire, et faisant avec un axe un angle a qui peut être quelconque, peut représenter toutes les droites du plan. Donc toute droite du plan est représentée par une équation du premier degré entre les coordonnées de chacun de ses points.