DU DIVISEUR DE DEGRÉ LE PLUS ÉLEVÉ DE DEUX POLYNÔMES

108. On dit qu'un polynôme est diviseur d'un autre, relativement à une certaine lettre qui ne se trouve dans les dénominateurs d'aucun de ses termes, lorsqu'il existe un troisième polynôme, entier lui-même par rapport à cette lettre, qui, multiplié par le premier, reproduise le second.

A ce point de vue, les coefficients des diverses puissances de la lettre principale peuvent être fractionnaires relativement aux autres lettres ou nombres particuliers ; et, par conséquent, ce diviseur, multiplié ou divisé par une quantité quelconque indépendante de la lettre principale, sera encore un diviseur du inême polynôme multiplié lui-même ou divisé par une quantité indépendante de cette lettre.

La question que nous nous proposons est de trouver le polynôme du degré le plus élevé qui en divise exactement

deux autres sous ces conditions, ou leur plus grand cornmun diviseur, relativement à la lettre désignée.

Soient ces deux polynômes ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de cette lettre* x

(1) A^'" -j- B.r'"-» H- . . 4-Tx -i- U,

et supposons m >> 72.

S'il y a un diviseur commun à ces deux polynômes, il sera tout au plus du degré n, sans quoi, en le multipliant par un quotient quelconque, on ne pourrait reproduire ( 2) ; il n'en serait donc pas diviseur. Or, s'il est de degré «, le quotient de ( 2) par ce diviseur devra être indépendant de x, et par conséquent pourra être considéré comme (2) luimême, puisque nous ne tenons aucun compte des facteurs ou diviseurs indépendants. Il convient donc d'essayer si (2) ne serait pas diviseur de (i), car alors il serait le polynôme de degré le plus élevé qui divise (i) et (2), et il résoudrait la question.

Si cette division donne un reste, tout polynôme qui divisera les deux proposés divisera ce reste, qui a été obtenu en retranchant du premier le produit du second par le quotient. Et réciproquement, tout polynôme qui divisera ce reste et le diviseur divisera le dividende ; de sorte que les diviseurs des deux polynômes proposés ne diffèrent pas de ceux du second et du reste. La question est donc ramenée à trouver le polynôme de degré le plus élevé qui divisera le second polynôme elle reste. Cette nouvelle question étant semblable à la première, on agira de la même manière, c'est-à-dire qu'on essayera la division du second polynôme par le reste ; si elle réussit, ce dernier sera le plus grand diviseur cherché.

Si elle ne réussit pas, on sera ramené à une question