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NOTE SUB l'ÉQHIVM.EN.CB. d{ 4 JJ

rallélogramme BEF, qui a la mime base BC que le triangle, et une hauteur moitié moindre.

-120, La mesura du polygone étant la somme de celles des triangles qui le composent se ramène donc aussi au rectangle, et l'on retombe ainsi sur tout ce qui avait été établi précédemment sur la mesure des surfaces planes terminées par des lignes droites.

Et tout ce qui se rapporte à la mesure des surfaces planes terminées par des lignes courbes ne différerait en rien dece que nous en avons déjà dit, puisqu'il ne s'agit toujours que de les considérer comme limites de sommes de figures terminées par des lignes droites.

421. Les principes admis comme évidents, au premier point de vue de l'équivalence, résultent bien simplement de ce qui précède.

En effet, des grandeurs équivalentes sont des limites de sommes exprimées par des nombres égaux. Si donc de surfaces équivalentes on retranche des surfaces équivalentes, les restes seront mesurés par les mêmes nombres et seront par conséquent équivalents.

Et de même, si on divise une surface en plusieurs parties équivalentes, ces parties seront exprimées par des nombres égaux entre eux, et par conséquent égaux à celui qui exprime la surface divisée par le nombre des parties. Donc, si on partageait une surface équivalente à la première en un même nombre de parties égales, elles seraient exprimées par les mêmes nombres que celles de la première surface et leur seraient par conséquent équivalentes. - Remarque. — Il peut arriver qu'en portant à la suite les unes des autres des unités ou des subdivisions de l'unité, on n'épuise jamais complètement une grandeur, et que cela devienne possible par un simple déplacement des parties qui la composent. Par exemple, un parallélogramme dont a 9

45l> SC1ESCE DE L'ÉTENDUE. HOTE SCR l'ÉQUIVALEHCK.

la base et la hauteur ont une commune mesure avec l'unité ne pourrait fitrc (.'puisé complètement bu moyen des subdivisions de l'unité de surface, quelque loiu qu'elles soient poussées. Mais, comme nous l'avons dit, si l'on élève des perpendiculaires aux extrémités de la base du parallélogramme, on formera deux triangles rectangles tels, qu'en déplaçant celui qui fait partie du parallélogramme et le substituant à l'autre, on obtiendra un rectangle composé des deux mûmes parues que le parallélogramme et susceptible d'être exactement évalué au moyen du carré construit sur la commune mesure de la base et de la hauteur avec l'unité.

Si on n'opérait pas ce déplacement, le parallélogramme ne pourrait être considéré que comme limite d'une somme de parties indéfiniment décroissantes; cette somme serait exprimée par un nombre variable dont la limite serait la mesure du parallélogramme et coïnciderait avec le nombre plus simplement obtenu au moyen du déplacement du triangle.

422. Ainsi, uu rectangle exactement mesurable au moyen d'une certaine unité peut Être divisé en parties de forme quelconque, comme des cercles, des triangles, des figures terminées par des contours curvilignes arbitraires. Si l'on déplaçait ces diverses parties, ou si l'on voulait les évaluer séparément, on ne pourrait le faire qu'en les considérant comme des limites de sommes, donnant lieu à des limites de nombres. Ces dernières pourraient être commen su râbles ou incommensurables, et leur somme produirai t identiquement le mime nombre que l'on aurait obtenu par la mesure directe du rectangle proposé.

FIfi DE LA OKVKIÈMF. l'Ami K