PROPRIÉTÉS DES FRACTIONS ÉGALES. - RÈGLES DE TROIS

59. Lorsque deux (raclions à termes quelconques sont égales, c'est-à-dire lorsque le quotient du numérateur par le dénominateur, ou le rapport de ces deux nombres, est lo même, ou dit que les quatre termes sont en proportion : et il ne faut pas oublier que le quotient est le nombre qui, multipliant le diviseur ou multiplié par le diviseur, donne pour produit le dividende.

Lus anciens géomètres faisaient un plus grand usage dos proportions que ue le font les modernes, qui les remplacent souvent par des équations. Les diverses propriétés dont elles jouissent se déduisent Irès-simplcmcut des propositions que uous avons démontrées sur les fractions considérées de la manière la plus générale.

GO. Ainsi, par exemple, si oit réduit les deux fractions égales au môme dénominateur, les numérateurs seront nécessairement égaux. J'.t réciproquement, si deux fractions réduites au même dénominateur ont le même numérateur, elles sont égales. C'est ce qu'on exprime dans le langage tics [irripirtïoii!. un disant :

Dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal à celui îles moyens.

Et réciproquement , si quatre nombres sont tels, que la produit îles e.i trt:mcs soit égal <V cr/ni i/i s moyens, ilssont en proportion.

(M . Rien n'est plus facile encore que de démontrer que si l'on a deux proportions et que l'on multiplie ou divise

58 SCISBCE DES HOMBUES.

l'un par l'antre les termes correspondants, ces quatre nombres formeront proportion ; car il suffi! pour cela de multiplier ou diviser d'abord les premières fractions, puis de faire la même opération sur les secondes qui leur sont respectivement égales.

Une autre propriété importante des fractions égales en nombre quelconque, consiste en ce que la somme des numérateurs, divisée par la somme des dénominateurs, donne encore une fraction égale. Et il en serait de même si on retranchait quelques-uns des numérateurs au lieu de les ajouter, pourvu qu'on retranchât aussi les dénominateurs correspondants.

Pour la démontrer généralement, désignons la valeur de ces fractions par une fraction arbitraire réduite à avoir ses termes entiers, ce qui est toujours possible j aoit, par exemple, ^ cette valeur. D'après ce qui a été établi précédemment, chacun des numérateurs est égal aux du dénominateur correspondant : la somme des numérateurs est donc aussi les — de la somme des dénominateurs, ce qu'il fallait démontrer : et il en serait de même si l'on retranchait les termes de quelques-unes de ces fractions. Nous ne faisons que répéter ici ce que nous avons démontré précédemment, savoir : que si on prenait une même fraction de plusieurs quanthés ajoutées ou retranchées les unes des autres, on obtenait la même fraction de la somme ou de la différence de ces quantités.

Ce théorème, dont les applications sont très-fréquentes, s'énonce comme il suit dans le langage des proportions :

Si l'on a une suite de rapports égaux, la somma ou la différence d'un nombre quelconque des antécédents csl à la somme ou à la différence de leurs conséquents comme un antécédent est à ion conséquent.

cturrniE v. 5g

62. Les proportions s'appliquent n la resolution des problèmes auxquels on est convenu de donner le nom de règles de trois, quoiqu'une règle ne doive Être entendue que comme l'indication du procédé de solution et non comme l'énoncé de ia question.

Ces sortes de problèmes ont pour objet la détermination d'un des quatre termes d'une proportion quand on connaît les trois autres; et c'est à quoi l'on parvient facilement d'après l'égalité du produit des extrêmes à celui des moyens. Tout consiste donc à bien établir la proportionnalité des quatre termes : mais c'est ce qu'on néglige beaucoup trop. On se conteute souvent de reconnaître qu'elle a lieu quand les rapports sont entiers , et la règle générale qu'on en tire ne se trouve nullement démontrée. On induit donc les élèves en erreur en la donnant comme bien établie , et il vaut mieux leur donner un peu plus de travail que de leur fausser le jugement.

Un seul exemple suffira pour montrer comment on doit raisonner dans toutes les questions de ce genre.

Supposons qu'on veuille démontrer qu'il y a proportion entre deux nombres quelconques d'unîtés d'une même marebandise, et leurs prix respectifs. Lc6 deux nombres d'unités peuvent être des fractions quelconques, comme 3 a .

| et -jj-, ou plus compliquées encore. Mais quelles qu'elles 7 "

soient, leur quotien t ou rapport pourrait être réduit, comme nous savons, à une fraction à termes entiers ; et cette possibilité suffit pour conduire à la démonstration très-simplement.

Représentons en effet le rapport des deux quantités eu question par une fraction quelconque h termes entiers, par exemple ~\ la première des quantités sera donc les — de

Go SCIENCE DES -\OMBHES.

la seconde. Mais le prix dc^-dc la seconde serait évidemment ^ du prix de cette quantité mémo; et 1 5 fois ~ coûteront i5 fois autant qu'un seul , ou les ^ du prix de cette quantité. Il y a donc même rapport ou proportion cuire les prix et les quantités de marchandise, quels que soient les nombres qui les expriment.

<>3. Celte proposition étant ainsi établie pour toute espèce de marchandise homogène, ou l'appliquera sans avoir besoinde faire aucun raisonnement nouveau. Et si l'un des quatre termes était inconnu, on l'obtiendrait toujours par la propriété que le produit des extrêmes est égal à celui des moyens. Ou aura alors h trouver un nombre qui, multiplié par un nombre connu, donne un produit connu : ce qui ramènera à la multiplication et à la division.

C*. Ou peut déterminer d'une manière différente le terme inconnu de celle proportion, d'après tes trois autres. Soit proposée, par exemple, la question suivante ; 3 a | d'unités ont coûté 4j de francs, combien -|- d'uni lés

? M couleront- elle» ?

On cherchera d'abord combien une uni lé coulerait. Or, d'après ce que nous avons démontré généralement dans le