CHAPITRE VII

EXTRACTION DES RACINES. - NOUVELLE EXTENSION DONNEE A L'IDÉE T»IÎ NOMBRE.

72. Les produits d'un nombre par lui-même se nomment les puissances de ce nombre; leur degré est le nombre Je fois qu'il est fauteur. Relativement à ses puissances, le nombre s'appelle racine.

Nous ne parlerons pas des procédés à suivi e pour trouver la racine d'un degré quelconque d'un nombre donné; nous renvoyons pour cela aux Traités d'Arithmétique.

Si l'on formait les puissances d'un même degré des nombres entiers consécutifs, on obtiendrait des nombres entiers qui différeraient de plus d'une unité : les nombres entiers compris entre deux puissances consécutives auraient donc leurs racines comprises entru deux nombres entiers consécutifs et par conséquent non entières.

Or lus théorèmes sur lus facteurs premiers démontrent qu'un nombre fractionnaire élevé à une puissance quelconque ne peut produire un nombre entier. Donc les nombres entiers compris entre deux puissances consécutives ne peuvent avoir ni raeinc entière ni racine fractionnaire; ils n'auraient donc aucun nombre pour racine, puisque nous ne reconnaissons encore que des nombres entiers ou fractionnaires.

On pourra bien trouver des nombres fractionnaires dont la puissance sera aussi voisine qu'on voudra du nombre proposé; mais aucun ne pourra le produire ainsi exactement.

Le même inconvénient se l'enconire dans l'évaluation des grandeurs concrètes en nombre». Celles qui ont «ne commune mesure avec l'unité choisie, peuvent être exprimées par un nombre entier ou fractionnaire; celles qui n'en ont pas ne peuvent pas l'être. Dans la pratique, il est vrai, les choses se passeront toujours comme s'il y avait une commune mesure, parce que les subdivisions de l'unité deviendront assez petites pour que le resie de la grandeur à évaluer soit imperceptible. Mais quand il s'agit de grandeurs liées par des relations purement théoriques, on peut démontrer qu'il n'existe pas de mesure corn-

elles, et alors l'évaluation exacte de l'une

d'elles est :

-ccounuc impossible au moyen des subdivi-

sions de l'a

utre en parties égales. Si , par exemple, on

lier la diagonale du carré dont le côlé csi

itlé, on ne pourrait Je faire au moyen d'aucun

nombre enli

er ou fractionnai rc, parecqu'on démontre qu'il

d'un carré. :

Et si, pour échapper à celle difficulté, on chan-

:nilé quelconque la diagonale et le côlé. Il faut

donc ou donner do l'extension à l'idée de nombre, ou dire qu'il y a des grandeurs qui peuvent Cire exprimées en nombres avec une certaine unité, cl no le pourraient avec une autre; cl que dans une même question on peut avoir à considérer des grandeurs qui ne sont pas susceptibles loutes d'être exactement exprimées en nombre, quelque unilé qu'on choisi.*.

73. F.t nous ferons ici une remarque applicable a tontes les questions sur le* nombres. File consiste en ce que, quelle que soil la nature des opérations effectuées en vue de délcnnïncr la valeur d'un nombre, m res opérations ne s'arrêtent jamais, et que les restes « évaluer après ebacune

CHiPITBB VU. JI

d'elles soient mesurés avec des subdivisions de l'unité qui décroissent continuellement et puissent devenir moindres

En effet, si sur une ligne droite indéfinie nous portons à partir d'un do ses points un nombre entier ou fractionnaire d'unités do longueur égal au résultat de la première opération numérique ; qu'à la suite de celle longueur on en poi-le une autre, mesurée par le résultat numérique de la seconde opération, et ainsi de suite indéfiniment, la longueur totale à partir de l'origine fixe ira constamment en augmentant; mais ou peut à chaque opération assigner un point qu'elle ne pourra atteindre, et il suffira pour cela de lui ajouter une des subdivisions de l'unité qui se rapportent à celte opération. Or, l'extrémité de la longueur variable s' avançant toujours dans le même sens, et ne pouvant cependant jamais atteindra des points fixes assignables, tend nécessairement vers une position déterminée qu'elle n'atteindra jamais, puisqu'elle doit toujours être en mouvement, mais dont elle sera éloignée d'une quantité qui deviendra au-dessous de touie quantité donnée. La dislance de l'origine à ce point limite esl donc une quantité déterminée, dont l'évaluation au moyeu de l'imité clioisic conduirait identiquement aux mêmes résultats numériques successifs, que les opérations purement abstraites auxquelles conduisait la question proposée,

Toutes les exceptions et anomalies résultant du point de vue sous lequel nous avons jusqu'ici envisagé les nombres, se résument donc dans ce simple énoncé :

» Lorsqu'une quantité concrète d'espèce quelconque varie d'une manière continue, elle passe par une infinité de valeurs qui sont exprimables eu nombres, et par une infinité d'autres qui ne lu sont pas; car dès qu'il y en

•J1 SClEHCE DBS SOMBRES.

a line non exprimable, tomes ses subdivisions en parties égales, ainsi que leurs multiplet, seront dans le mfmecas. »

Il est évident qu'on ne pouvait laisser subsister une pareille anomalie dans la science.

74. C'est pour faire disparaître ces exceptions qu'on a donné une nouvelle extension à l'idée de nombre; on n'a pas voulu que les seules grandeurs ayant une mesure commune avec l'unité, fussent regardées comme exprimables en nombres; et on a étendu celle dénomiualion à la manière d'être relative, au rapport de deux grandeurs quelconques, ayant ou n'ayant pas de mesure commune.

Mais il ne suffira pas que l'on convienne de dire que deux grandeurs incommensurables ont entre elles nn rapport que l'on désignera sous le nom de nombre incommensurable; il faudra définir rigoureusement l'égalité des rapports incommensurables.

Observons d'abord qu'en partageant l'une des grandeurs en parités traies su linaiument peliies, et les portant dans l'autre autant de fois que possible, le reste qui sera moindre que l'une des parties pourra être rendu moindre que toute grandeur donnée; de sorte qu'il existera un rapport commensurable entre l'une quelconque des deux grandeurs et une autre qui différera aussi peu qu'on voudra de la sc-

Cela posé, considérons deux grandeurs incommensurables l'une par rapport à l'autre; divisons l'une d'elles, par exemple la plus petite, en parties égales, et parlons-les dans la plus grande autant de fois que possible : il y aura un reste moindre que l'une d'elles. Concevons que le nombre des subdivisions égales de la plus petite augmente indéfiniment; pour chacune de ses valeurs le reste de la plus

donnée. La pins grande quantité diminuée de ce reste aura

une mesure commune avec la poli te; clic aura donc avec elle un rapport qui sera le même que celui des nombres de fois qu'elles contiendront cette mesure commune, et sera par conséquent exprimable par une fraction à termes entiers. On aura donc ainsi une suite indéfinie de rapports ou nombres commensurab/es correspondant à la plus petite des deux grandeurs, et a d'autres qui di lièrent de la plus grande, de quantités qui peuvent devenir moindres que toute grandeur désignée.

Concevons d'une autre part deux autres grandeurs incommensurables entre elles et d'une même espèce quelconque; partageons la plus petite dans les mêmes nombres de parties égales que nous l'avons fait successivement dans le premier cas, et portons-les de même dans la plus grande ; il en résultera une nouvelle suite de rapports commensurables, et si ceux qui correspondent de part et d'autre au même mode de division de la plus petite sont toujours égaux, quelque loin qu'on pousse cette division, on dit que les deux premières grandeurs incommensurables ont entre elles même rapport ou même raison qne les deux autres.

7E>, Cette définition de l'égalité des rapports incommensurables ne difière pas au fond de celle qui se trouve dans les éléments d'Euclide.

Mais, pour qu'il y oit lien de l'admettre, il est nécessaire de démontrer que l'égalité des rapports corn mensu râbles respectifs est indépendante de la loi suivant laquelle les subdivisions décroissent indéfiniment; c'est-à-dire que si celle égalité a lieu pour une certaine loi, elle aura lieu pour toute autre. Cette proposition, qui ne se trouve pas dans •Euclide, peut être démontrée comme il suit.

Soient A et li deux grandeurs incommensurables d'une espèce quelconque, et A', B' deux autres grandeurs incommensurables, soït de fa même espèce que les premières,

7 4 >c,e»c« soit de loule autre. Admettons que si l'on subdivise A cl A'

\me nombre de ces parties contenues ress l) et li' ; il s'agit de démontrer que ai l'on partage A et A' en un même nombre quelconque m de partics égales, non renferme dans la loi donnée, il se trouvera toujours un nombre égal de ces subdivisions respectives dans li et B'.

F.n effet, supposons qu'il y ait un nombre k de ces parlies de A dans B, et un nombre différent, par exemple plus grand , des parties de A' dans I!'; alors i -f i parties de la première espèce surpasseront lï d'une certaine quantité que je désignerai par E, tandis que k 4- i parties de la seconde espèce seront encore inférieures à li'. Cela posé, décomposons A en parties égales moindres que E, et comprises dans la loi donnée: de cum posons A' en un nombre égal de parties ; d'après l'hypothèse, il devra s'en trouver respectivement le même nombre dans 15 et dans IV. Mais il est évident qu'il y aura moins de parties plus petites que E dans li que dans 11 + E, ou dans *■+- i des subdivisions en question ; et il y en aura évidemment autant dans ces k -h i subdivisions qu'il y aura de parties correspondantes dans les k ■+• i subdivisions correspondantes de B r , qui donnent cependant une somme inférieure à !!'. Donc il y aurait dans B un nombre moindre de parties comprises dans la loi donnée, qu'il n'y aurait de leurs correspond a nies dans li', ee qui est contre l'hypothèse. Il est donc impossible qu'en partageant A et A' en un même nombre quelconque de parties éj^les, ces parties ne soient pas respective' nient comprises dans li et IV le mémo nom lire entier de fois..

70. Quanta la définition de l'inégalité des rapports incommensurables, elle sera la même que pour les rapports

ibles. Ou (lira toujours qu'un rapport est plus

quantités quelconques à uuc

■t île la somme des quantisés ;i

irii'T.ih' (11' considérer les iioin- S d'établir (les théorèmes génédi.s surfaces ou des solides. 11

analogues n'auraient pu être énoncées généralement, s'il n'avait défini préalablement, non les rapports mêmes, mais l'égalité (les rapporta dans tous les cas qtii peuvent se pré- Ce n'est pas que, pour les besoins de la pratique, il y ait beaucoup d'intérêt à donner ce degré de généralité aux théorèmes relatifs à la comparai son, et par conséquent à la mesure, des grandeurs; car on peut toujours les rendre ro m m en s il rallie s eu les augmentant ou les diminuant de quantités moindres que toute grandeur désignée. Mais, au point de vue de la théorie pure, il faudrait dire que les propositions ne sont pas générales, et n'ont de sens que quand toutes les grandeurs ont une mesure commune.

78. Remarque. — 11 est important de reconnaître que, il\i])rir> KmU'S les drii ni [ions pi'écéilenU'i, 1rs nombres in- . commcnsuraliles pi'uvent être considérés comme limites

Considérons, en effet, le rapport de deux grandeurs qui

?(ï SCIBftCB DES HO

MB* ES .

n'ont p« de commune mesure. P

ailagcons la première en

un nombre indéfiniment croissa

m île partie-, égale*, cl

pnrluns-lf» dans la seconde aula

ni de lois que passible.

nous aurons une quantité . ..ramer,

snraUe avec la première-

et qui sera au-dessous de la secon

de de moins qu'une par-

lie: de sorte qu'en en ajoutant u

nouvelle quantité commenturable

ilépassi-ra l.i seconde de moins qu

une parlie cniiêic. Celle

ilerniirru ému plus petite qui- 1

une des deut quantités

commetisuraliles et plus grande que l'autre, son rapport avec la première sera, d'après nos définitions, plus grand que le premier rapport commensurable et plus petit que le second. Et comme ces deux rapports ne différent l'uu de l'autre que du rapport d'une subdivision de la première ligne à cette ligne même, leur différence deviendra moindre que tout nombre donné en augmentant suffisamment le nombre des subdivisions, et il en sera de même à plus forte raison de la différence qu'ils ont l'un et l'aulrc avec le rapport intermédiaire de la seconde à la première. Ce dernier est donc un nombre fixe, dont des nombres commensurablcs variables, plus petits ou plus grands, s'approebent de manière que h différence qu'ils ont avec lui peut devenir cl rester au-dessous de tome grandeur. Donc, d'après la définition des limites, ou a le droit de dire que :

Tout nombre incommensurable peut dire considéré comme In limite d'un nombre contmensurnblc variable, plus petit ou plus grand que lui.

79. Kous avons vu que tout nombre incommensurable pouvait être regardé comme provenant de la mesure d'une quantité concrète; nous avous défini l'égalité cl ('inégalité, ainsi que l'addition des nombres incommensurables;

CHAPITHE vil. 77 et enfin nous avons fait voir que tes nombres pouvaient être regardés comme limites dénombras incommensurables variables. Occupons-nous maintenant des règles à suivie pour clïectuer sur ces nombres les opérations précédemment examinées pour les nombres eom me n su râbles.

Considérons généralement une question qui conduise à une ou à plusieurs opérations successives sur des nombres ; que, dans cette question, ces nombres représentent des grandeurs concrètes ou qu'ils aient une origine purement abstraite, auquel cas on pourra les considérer tous, connus ou inconnus, comme mesurant des grandeurs concrètes d'une même espèce quelconque : et que, parmi tous ces nombres, il s'en Ironie d'incommensurables. On remplacera ces derniers par des nombres co m m eu su râbles qui en puniront différer jusii peu qu'on voudra, cl on exécutera tontes les opérations demandées sur ces nombres, tous coinmensui ablcs. Le résultat final sera un nombre représeiiiunt la quantité conerèle de l'espèce indiquée par la

SU ra blet, el tendra vers une certaine limite lorsque ces nombres tendront vers (es leurs. Or, c'est le nombre qui correspondrait à ceLle limite concrète qu'on appellera le lï-sttltal incommensurable:, ou commensnrablc, des opéralions en question.

Il suit de là que louies les propositions eL règles démontrées sur les nombres commcnsurablcs, subsisteront pour les nombres incommensurables, puisqu'on commence toujours par les remplacer par dos nombres coinmensurables. Ainsi le produit de plusieurs nombres incommensurables sera le même dans quelque ordre qu'où effectue la multiplication; car cela étant vrai pour les fadeurs coinmensurables qu'on leur substitue, on aura dos produits toujours égaux, quelque près qu'ils soient des résultats limites rcs-

78 SCIEHCE DES NOMMES. — 'CHAPITRE Vil.

peclifs; ces derniers sont donc aussi égaux. De même, ou peut multiplier ou diviser les deux termes incommensurables d'une fraction par un même nombre quelconque sans changer sa valeur; car si on remplace ses deux termes par des nombres commensurahles, leur quotient sera égal à celui qu'on aurait en tes multipliant ou les divisant par un même nombre coromensurable quelconque; ces deux quotients, étant toujours égau* quelque près que les Irois nombres soient de lettTi limites, auront nécessairement la mime limite. Le quotient des deux nombres incommensurables ne change donc pas quand on les multiplie ou qu'on les divise par un même nombre incommensurable.

De même aussi, le rapport de deux grandeurs incommensurables d'espèce quelconque est égal au rapport des deux nombres qui expriment leurs rapports à une même unité quelconque.

Il serait superflu de donner d'autres exemples de la proposition générale énoncée ci-dessus; et nous pouvons regarder comme applicables à tous les nombres les théorèmes et les régies démontrés précédirmiiurm sur le» nombres considérés dans leur valeur intrinsèque, indépendamment do la forme de leur expression.