AUTRES EXEMPLES DE GÉNÉRALISATION PAH LES QUANTITÉS NÉGATIVES

CONDITIONS DE DIVISIBILITÉ DE DEUX l'OI.ÏKOMES.

124. Deux polynômes ordonnés par rapport à une même lettre sont quelquefois exactement divisibles l'un par l'autre, mais le plus souvent la division donnera ud reste, on peut donc se demander quelles sont les conditions nécessaires entre les coefficients généraux de ces polynômes, pour que l'opération conduise à un reste dans lequel les termes qui sont réductibles ensemble, s'entre-détruisent.

II ne s'agit donc que du trouver les équations qui expriment ces conditions, et i! suffit pour cola de suivre la marche indiquée précédemment, et qui est celle de la vérification. Or, pour vérifier si le reste est nul, il faut faire la division jusqu'à ce qu'un parvienne au dernier reste possible et voir si la réduction des coefficients des termes do même degré donne zéro pour résultat. On aura donc les conditions nécessaires et suffisantes en égalant à zéro l'ensemble des coefficients pour chacun des degrés du la lettre

Mais ces équations de condition dépendront des signes que l'on aura supposés aux dili'ércnts termes des polynômes donnés; et il est naturel de chercher s'il est possible de renfermer dans un seul tous les sysLèmes de conditions relatifs à la multitude des combinaisons diverses de ce signes.

l34 SCIENCE DES HOMBIIES.

La nature des raisonnements à faire pour y parvenir étant indépendante du degré de ces polynômes, nous nous bornerons à considérer le cas où l'un serait du quatrième et l'autre du second.

Soient donc les deux polynômes

x- + Ai 1 ■+■ B-r 1 + Ci -f- D et x' + ax + b.

La division conduit à un reste du premier degré, après lequel l'opération ne doit plus Sire continuée ; en égalant h zéro le coefficient du terme en x, ainsi que l'ensemble des termes indépendants de X, on obtient les deux équations

j A(i — a'J-t-Ba — C + o"— iab = o, ( Aab-Bb + T> + b'-a>b=ra.

Telles sont les conditions qui doivent exister entre les coefficients des deux polynômes pour que le premier soit divisible par le second : elles se rapportent au cas où tous les termes sont post tifs. Voyons ce qui arriverait si l'un d'eux était négatif, par exemple le terme ax.

Toutes les opérations s'exécutant d'après les règles des sigues démontrées pour fa multiplication et la division des polynômes, il est évident que les calculs correspondants à ce nouveau cas ne différeront des premiers que par le signe des termes qui renfermeront un nombre impair de facteurs a; et, par conséquent, les deux équations de condition qu'on trouvera ne dilléreront des équations (i) que par ce changement; on peut donc dire que ces dernières deviendraient celles qui conviennent au nouveau cas en changeant a en — a, et effectuant les multiplications sur cette quantité négative, d'après les règles des signes démontrées pour les polynômes.

Si maintenant on supposait plusieurs termes négatifs dans les deux polynômes, on reconnaît de même que les