DES ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ

157. Lorsqu'une équation dont les dénominateurs ne renferment pas l'inconnue, est composée de termes où entre en facteurs, dans les uns le carre, clans les autres la première puissance de cette inconnue, et de termes tout connus, on dit que cette équation est du second degré.

Dans le cas simple où les termes du premier degré" manqueraient, on commencerait par tirer la valeur du carré de l'inconnue, comme on ferait pour une équation du premier degré. Connaissant ce carré, il n'y aurait plus qu'à extraire la racine d'un nombre connu, ce qui rentre dans les opérations dont nous avons parlé précédemment.

Il est naturel de chercher à ramener à ce cas celui où l'équation est complète ; et nous commencerons par expliquer le procédé sur une équation particulière. Supposons, par exemple, qu'un problème ait conduit, pour la détermination de l'inconnue x, à l'équation

Il est clair qu'on ne pourrait tirer de là le carré de x égal à un nombre donné; mais il n'est pas difficile d'apercevoir qu'on en peut tirer le carré d'un binôme dont le premier terme sera X, et le second un nombre connu. Or cela étant fait, la racine du nombre égal à ce carré, sera le binôme même, d'où se déduira x.

Pour y parvenir, il suffit de se rappeler que le carré

d'un binôme, dont l'un des termes est ±* et le second terme un nombre connu, a l'un de ses ternies égal à x', et un autre égal au produit du premier terme du binôme par le double du second. D'où il suit que si l'on place x' et x dans le membre où x 1 n'aura pas le signe — , on connaîtra immédiatement le binôme dont le carré aura ses deux premiers termes identiques à ceux de l'équation. D'après cette remarque, nous mettrons l'équation proposée sous la forme

Or, — 3a: devant être le double produit du premier terme du binôme par le second, en suivant la règle connue des signes, il faut que ces deux termes soienldc signes contraires et le second égal en valeur à la moitié de 3 ; le binôme est donc

et son carré

Si donc on ajoute et qu'on retranche 3 au premier membre de l'équation (a), elle pourra s'écrire de l'une des deux manières suivantes :

ou, en faisant passer les termes connus dans le second membre et réduisant,

De sorte que [ouïe valeur qui, mise pour;r,5atistera à l'équation (i), satisfera nécessairement à l'une de ces deux-ci, et toute solution de l'une des deux le sera de (i).

La première des équations (3) suppose r> -i et la seconde x<^-' En prenant les racines carrées des deux membres, les résultats numériques doivent nécessairement Être égaux, et, par conséquent, la première donne comme conséquence, avec réciprocité,

et la seconde

Il est donc nécessaire, pour que {i) soit satisfaite, que l'on prenne, pour valeur de X, a ou i ; et réciproquement, cela est suffisant.

Et il est évident qu'on arriverait h ces deux mentes équations du premier degré en écrivant que la racine du deuxième membre est - ou , au lieu d'écrire que celle

du premier membre est x — - ou - — x.

158. On voit par cet exemple qu'il est possible que deux nombres différents satisfassent à une même équatiou du second degré. Mais il n'en est pas toujours ainsi , et avant de présenter la théorie générale de ces équations, nous allons commencer par faire connaître, sur des cas particuliers, les diverses circonstances qu'elles peuvent présenter.

On remarquera d'abord qu'il est possible que I'équalion ne soit satisfaite que par un nombre unique; et c'est ce qui arrivera quand les trois termes placés dans le même membre formeront exactement le carré d'un binôme.

Si, par exemple, i! fallait satisfaire à l'équation le premier membre éUnt le carré du

on ne pourrait l'égaler à iilro qu'en y égalant sa racine 1 — 3 on a — x, ce qui donne une seule et même y* leur 3.

1ÎÎ9. D pouvait encore arriver, comme dans les équations du premier degré, qu'où trouvât des solutions négatives. Sî, par exemple, l'équation était

on compléterait le carré dont les deux premiers termes sont

eu ajoutant 4 aux deux membres, et l'on obtiendrait

Or le premier membre ne peut Être que le carré de x — a ou de 3 — x ; et l'équation pourra se mettre sous l'une ou l'autre des deux formes suivantes

(6) (*-a)>=9 ou ( a -*j-= 9 .

La première conduit à {;) «-1--3 *u * = 5i

la seconde k

(8) on ,t~-i.

Il n'y a donc aucun sombre satisfaiiaiu a la seconde, cl l'équation {4) n'est satisfaite que parle nombre 5 1

CHAT1THE XX. Ij5

Mais il faut bien remarquer ici, comme dans les équations du premier degré, que l'expression négative — i, substituée à x dans ( 4 ), cl traitée par les règles ordinaires des signes, j sa tisfa t.

En effet, elle rend identiques les deux membres de la seconde des équations (8), puis ceux de la première par le changement de place des termes; il en esl de même par suite des deux membres de la seconde équation (G), puis de (5), «enfin de (4).

C'est dans ce sens qu'on Ait que l'équation (4) a deux racines, l'une positive, l'autre négative : et, d'après ce que nous avons démontré généralement (Chapitre XVII), le trinôme x* — i\x — 5 serait le produit des deux facteurs

im-8), (*+,).

La même remarque s'applique aux cas précédents.

1G0. jfutre exemple. — Soil

En agissant comme dans les cas précédents on obtiendra

H)H (~ÏH-

Car le trinôme a:' -H 3 x + |> qui est le produit de la multiplication de x 4- - par Ini-mèmc, le serait aussi parcelle de — x — - par lui-incnic, en s'assujctlissanl à la règle ordinaire des signe»; et à cette condition, on ne peut prendre d'autres signes ni d'autres termes pour reproduire le même

ij6 sciEifCE DES MJ7.ir.nrs.

trinôme. On peut donc dire qu'à cette condition on poil satisfaire de deux manières à l'équation proposée, savoir : en posant

équations qu'on pourrait réunir en une seule

ou encore

La première donne

la seconde

Ces deux expressions, substituées successivement à x dans la proposée, rendraient ses deux membres égaux; et le polynôme x'-\- Zx ■+■ a serait le produit des deux facteurs

Tout cela se reconnaîtrait comme dans les cas précédents.

161. Dernier exemple. — Enfin il peut se présenter encore des circonstances d'un genre différent, et qui pourraient laisser quelque obscurité dans l'esprit, si l'on ne se rendait pas bien compte, tout d'abord, de la manière dont elles doivent être entendues.

CHÀPITHE XX.

Considérons à cet effet l'équation

En agissant comme dans les cas précédents, on obtiendra d'abord

Or, avant d'aller plus loin, on reconnaît qu'aucun nombre positif ou négatif mis pour x ne peut rendre égaux les deux membres de cette dernière équation; car, soit que x — i soit un nombre absolu, ou un nombre précédé du signe — , si on suit toujours les règles ordinaires des signes, son carré sera un nombre absolu, et ne pourra èlre identique à — 4' D'où il suit qu'aucun des moyens de solution, précédemment reconnus, ne s'appliquerait ici.

On pourrait s'arrêter là, après avoir reconnu l'impossibilité de satisfaire n la proposée par dus valeurs positives ou négatives; et on ne rencontrerait ainsi ni difficultés, ni la moindre obscurité.

Ce qui peut en introduire, c'est de vouloir aller plus loin, sans se rendre compte ni de ce qu'on veut, ni de ce

Or, si l'on veut continuer le calcul sur l'équation (a), comme dans les cas où il n'y avait pas d'impossibilité, jus-

dication d'opérations sur des nombres, on écrira successivement

puis

expressions insignifiantes, mais telles, que ai on le* substitue à x dans (1), en suivant les règles des signes et

Ij8 SCIENCE DES HOMBBES.

traitant la racine de — 4 comme si c'était vraiment un nombre, c'est-à-dire en entendant que son carré sera — 4i on trouvera les deux membres identique!, tant dans leurs parties réelles que dans leurs parties imaginaires. El cela ne saurait étonner puisque les équations (3) deviennent des identités quand on y met, au lieu de je, i ± y'— 4-

En élevant les doux membres au carré, de la manière que nous venons d'indiquer, les deux membres de (a) seront identiques, et par suite ceux de la proposée (i). Mais il ne faut pas voir là des opérations véritables. Toutes les équations qui ont été écrites n'étaient en quelque sorte que des manières différentes d'écrire la première, dans la supposition que les opérations se faisaient d'après les principes ordinaires; îl devait donc forcément arriver que si l'on rendait identiques les deux membres de la dernière, par une substitution indiquant des opérations connues, mais dans ce cas dépourvues de sens, en remontant jusqu'à la première, ci effectuant les opérations d'après les principes ordinaires, toutes les équations par lesquelles on passerait ainsi présenteraient la mÊme identité.

Si l'on applique, par exemple, le principe que la racine d'un produit est le produit des racines, et qu'on regarde — 4 comme le produit de 4 par — i, on écrira

au lieu de y — 4; c'est ce que l'on fait ordinairement, et l'on fait porter ainsi ce que l'on appelle l' imaginaire sur — t.

Aux mêmes conditions le trinôme je" — zx + 5 sera lo produit des deux facteurs du premier degré

x — i -+- 3 v 1 ^! et * — i — a V^-ï":

ce que l'on trouve en effet en faisant la multiplication comme il a été indiqué.

ÉQUATIONS HTTÉRii-EÏ DU SECOHO DEGRÉ.

1C2. Si l'on veut résoudre généralement lus équations du second degré, et trouver des formules au lien de résultats numériques, il faudra représenter les quantités connues par des lettres. Il y aura encore, comme dans le ciis des équations du premier degré, à comMerer les diverses combinaisons de signes que l'équation peut présenter; et, comme dans ce cas, on remarquerait que les calculs faits pour deux combinaisons différentes, se correspondraient toujours de telle sorte, qu'on passerait des uns aus autres par le simple changement de signe des lettres qui sont facteurs dans les termes qui ont des signes différents dans les équations d'où l'on pari; en entendant toujours que les opérations s'effectueront d'après les principes établis dan» le cas où toutes ces opérations ont un sens réel.

11 suit de celte remarque qu'il suffît de faire le calcul pour une seule combinaison des signes; et il convient de prendre celle qui sera la plus commode à retenir et à appliquer; et ce sera évidemment celle où tous les termes, étant placés dans un même membre, seront affectés du même signe.

Soit donc proposée l'équation

En complétant lecarré, dont les deux premiers termes sont x*-h px, par l'addition de et faisant passer q dans le second membre, l'équation (i) prendra la forme

l8o SCIENCE DES BOMBEES.

les multi pli cations s' effectuant d'après les règles des signes établies pour les polynômes.

Prenant les racines carrées des deux membres, on pourra satisfaire à (i) de deux manières, et les deux équations du premier degré qui les feront connaître pourront s'écrire ainsi :

p «i i pourront être implicitement négatifs, et toute expression qui rendra identiques les deux membres de l'équation (a) rendra de même identiques ceux de l'équation (i), en entendant toujours que les règles des signes seront suivies, et que le carré de — q soit dans tous les cas remplacé par ^ — if, quel que soit le signe de cette dernière expression, et l'identité aura lieu séparément dans les parties réelles cl dans les parties imaginaires. On tire de (a) les deux valeurs suivantes pour x,

et ces expressions substituées à x dans .r*-f- px + tj, les opérations étant cffci-lUKes comme nous l'avons dit, la partie réelle sera nulle, ainsi que le coefficient de y 1 — I.

163. Pour obtenir les solutions d'une équation numérique quelconque, on fera la substitution àpctq des nombres correspondants dans celle équation particulière, en tenant compte des signes de la manière constamment entendue.

Si, par exemple, on veut appliquer la formule (3) à la

première équation que nous avons considérée

on commencera par la réduire à la forme (i) en faisant passer tons les termes dans le même membre, où x' aura le signe +, ou n'aura pas de signe en le plaçant le premier; on aura ainsi

et l'on voit qu'il faudra supposer p = — 3ety = a pour que (i) devienne l'équation proposée; la formule (3) deviendra alors

Les deux valeurs de x seront donc a et i .

Nous n'insisterons pas davantage sur la manière dont on devra entendre les formes réelles négatives ou imaginaires que peut présenter la formule {3); et nous ne pensons pas qu'après les observations que nous avons faites il puisse rester à ce sujet la moindre obscurité. Quant aux détails intéressants que peuvent présenter les équations du second degré, et qui ne présentent aucune difficulté réelle, nous renvoyons aux Traités élémentaires d'Algèbre.