CHAPITRE XXIV

Telle est la transformation propre a faire disparaître le terme de degré m — t .

Si le polynôme proposé est le premier membre d'une équation, le polynôme eny sera celui d'une autre équation dont les racines seront égales à celles de la proposée, diminuée; de la quantité fi; et en prenant h — — ' a nou " velle équation sera privée du second terme, ce qui est presque toujours d'une grande utilité.

19S, i" Propos on s- nous maintenant que les valeurs correspondantes de x et r soient dans un rapport constant, ou que l'on ait x = ay, « étant une constante quelconque, positive ou négative, c'est-à-dire étant indépendant de x et y. La fonction F (x) sera changée en F (ay), et l'on entend qu'on effectuera les calculs suivant les règles ordinaires des signes, si a est négatif. Il est évident que si une valeur a mise poury donne un certain résultat pour F(sy), aa mis pour x dans F {x) donnera le mime résultat, en suivant les mêmes règles des signes.

Si, par exemple, on suppose que F (x) soit un polynôme de degré m, et doive être égalé à zéro, on aura l'équation

(l) ir+ B*~" + HTx + ïï = o.

La transformation que nous venons d'indiquer conduit à

{? ) Ao.-j- + Ba—y— ' -t- . . . ■+ Tay-+- V — o,

où les puissances de a doivent être formées en suivant les règles ordinaires des signes, et, à cetle condition, les racines de celte équation multipliées par a et traitées suivant ces

mêmes règles seront les racines de la proposée. Si a— — r, les racines de l'équation en y seront celles de l'équation en x, changées respect! vement de signes : et on voit que I 1 équation en y ne diffère de celle en x que par le changement de signe des termes de degré impair, et la substitution de la lettre y à x. 11 n'y aurait au reste aucun inconvénient à conserver la lettre x au lieu de y \ le changement de signe des termes de degré impair produirait toujours le changement de signe de toutes les racines, et le changement de signe des termes de degré pair produirait le même effet, car c'est à celle forme qu'on parviendra en changeant d'abord le signe des termes de degré impair, et ensuite de tous les termes.

Remarque. — Les deux transformations que nous venons de faire successivement pourraient être faites à la fois ; car poser d'abord x = z ■+- h pour avoir une équation eu s, puis poser z = ay, revient à poser x = ay-\-h; cl cette remarque s'applique également au cas d'une fonction variable, non égale à zéro.

1!H>. La dernière iransfui maiion que nous venons île faire sur une équation dont le piemicr nu mlire tM un polynôme F'iiiei et rationnel en x, peut senit U ramener la résolution Je toute équation de cette forme U celle d'une autre dont tous les .oeûVicnts soient entiers, et relui du premier terme égal â l'unité. Or cette dernière forme est irès-avantagcuse dans lu reclierehe des racine».

Pour opérer cette réduction, nous supposerons d'abord que les coefficients de l'équation (t) soient tous entiers, ce qui a pu être obtenu immédiatement par la multiplication de tous les termes.

Ayantobtenul'équation (a), on aperçoilde suite que si l'on prenait a = -, le facteur A du premier terme serait

CHAPITBB ixiv. 219 détruit, et il resterait pour dénominateur A m 1 ; et, comme les autres termes auront pour dénominateurs les puissances décroissantes de A depuis la (m — i)'*"", si l'on multiplie tous les termes par A"^', les coefficients seront tous cntiers, et celui du premier terme sera l'unité. On résout donc la question proposée en posant x= ^-

197. 3" Proposons-nous, pour dernier exemple, de transformer F {x) en une aulrc F (y) telle, que les valeurs de x et y qui donneront des résultats égaux soient les puissances d'un degré donné l'une de l'autre, ce degré étant exprimé par un nombre entier ou fractionnaire, positif ou négatif.

Il suffira pour cela de poser x=y", n désignant un nombre quelconque positif ou négatif, en l'entendant toujours comme il a été dit précédemment. La fonction Aey sera alors F (y" ); et s'il s'agit d'une équation, par exemple de l'équation (i), la transformée sera

A^"+ Bj*™""* -+- . . . -l- Tj- -h U — o,

et ses racines seront les puissances - de celles de l'équation {i}.

Si, par exemple, on suppose n = — i, on aura

et l'équation en y sera

A/"" + Bj— *'+ . . . +Tjr-' + V — o.

ou, en multipliant pat y,

Vy -t- V 1 + . . . -+- By + A = o.

Cette équatiou et la proposée (■) ont leurs racines respectivement réciproques les unes des autres.