Théorème de Fagna.no

La différence de deux arcs elUptic^ues AA', aa' dont les extrémités A et a, A' et a' forment deux couples de points associés, est égale à la différence des distances du centre de la courbe aux normales passant par les extréniités de Pan des deux arcs.

Démonstration. — On appelle points associés d'une ellipse deux points tels , que les normales menées à la courbe par ces points soient également éloignées du centre , les distances du centre à ces points étant d'ailleurs inégales.

Cela posé, regardons l'ellipse comme décrite par un point A d'une droite MN dont les extrémités glissent sur deux axes rectangulaires Oa:, 0/ : cette ellipse peut être considérée comme une épicycloïde raccourcie décrite par le point A invariablement lié à la circonférence ORIC qui roulerait intérieurement sur la circonférence de rayon double 01 = 2R, ayant pour centre le point 0. D'ailleurs, le point ^^<? 0 et le centre instantané de rotation I sont toujours deux points diamétralement opposés de la circonférence mobile; et, pour chaque position du point décrivant A , la distance du centre de la courbe à la normale en ce point n'est autre chose que la distance du point 0 à la droite Al qui joint le point considéré A au centre instantané de rotation correspondant I ; ou encore la distance à la droite AI du point de la circonférence mobile diamétralement opposé au point I. Cela posé,

Première partie. — Que lA prolongée coupe en un second point / la circonférence mobile OBIA. Quand le mouvement de la circonférence mobile l'aura amenée en contact avec la circonférence fixe suivant le point /, la distance du centre 0 de l'ellipse à la normale menée par la nouvelle position A, qu'aura prise \ç point décrivant A, sera égale à la distance

l4o DES 3IÉTHODES EX GKO.MKTKIE.

la droite Ai du point o diamétralement opposé au point i, distance évidemment égale elle-même à celle du centre 0 à la première normale AI. D'ailleurs, les distances du centre 0 aux deux points A et A, sont inégales; car la première est OA, la seconde est égale à oA, et ces dernières lignes sont inégales, à moins que AI ne soit perpendiculaire au diamètre BAC. Donc : i° à chaque point de F ellipse ^ '^ correspond un second point associé au premier,

suivant les deux conditions de la définition.

Seconde partie. — Menons par le point A une nouvelle corde l'A/' infiniment voisine de la première. Les deux arcs d'ellipse, f/S et r/*, produits par l'enroulement sur la circonférence fixe des arcs 1 1' et ii' de la circonférence mobile, seront, d'après ce qui précède, des arcs associés. Or ces arcs ont pour expressions

</s = AI (.■-.)= Al (h:. "'^ '"■"■

A/ . ii'

2R / aR

ds

D'ailleurs, si l'on abaisse KP perpendiculaire sur lA/, K étant le milieu de la droite BAC, on trouve facilement ces relations

AI ki AI -A/ aAP

ir ii' W-ii' ir-«' il en résulte

2R(ir-«') R

Or, si l'on pose AK = «, lAB = », l'angle lAI' = d'^ a pour expression

:5 — 11 Vient donc, en substituant,

<^/S — ds = aAP.f/^ = artcosf c/'f ;

et de là , en désignant par p la distance du centre 0 à la normale Al et observant que

p = aKP = la sin cj/, d'où

dp = la cos 'f d 'i/ , il vient enfin

(.r) d^~ds = dp,

ce qui démontre le théorème énoncé.

Observation. — On trouve facilement dans la figure précédente les relations qui existent entre les abscisses de deux points associés , et de cette relation on déduit par le calcul que le lieu géométrique du point de concours des tangentes menées à l'ellipse par deux points associés est

SECONDE PARTIE. l4l

une cnniquc lioinofocalc à lu proposée. Il en résulte que le théorème de Fagnano est compris , comme cas particulier, dans les belles propositions découvertes par M. Chasles et relatives à la construction géométrique des arcs d'ellipse à différence rectifiable. C'est par ces propositions que nous allons terminer cette dernière série d'applications.

8. Théorème I. — Soit i Vun des points iV intersection d'une ellipse et d'une hyperbole liomofocnles . Si par un point de l'une de ces courbes on mène deux tangentes à l'autre, la dijf'érence des arcs de cette dernière compris entre le point i et chacun des points de contact sera égale à la différence des tangentes correspondantes.

Démonstration. — Par deux points infiniment voisins m et n de l'hyperbole, menons à l'ellipse homofocale les tangentes /»«, ma' et nb, nb'; et soient o , o ' les points d'intersection de 7?ia et de nb , de ma ' et de nb'. Des points o et o' comme centres, avec om et o'm pour rayons, décrivons les arcs de cercle mp et mp\ terminés respectivement aux rayons on et o'n. Les segments np, np' pourront être considérés, en négligeant les infiniment petits du second ordre , comme les projections sur les tangentes nb , nb' de l'arc élémentaire nm de l'hyperbole ; et coçme la tangente en n à cette courbe fait des angles égaux avec nb et nb\ on aura, à un infiniment petit du second ordre près, l'égalité

) np = np .

Or, si l'on désigne par s et s -j- ds , par .y' et .v' + ds\ les arcs ia et

ib , ia' et ib' \ par ^ et ^ + dt, par t' et t' + dt' les longueurs des tangentes atn et bn ^ a' m et b'n] et si l'on observe que ds , ds ', dt et dt ' sont des nombres positifs dans la figure, on pourra d'abord, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre , écrire les égalités

ds ris' -

= ao -\-. bo , a'o -\- b'o.

La construction qui a défini les points p et p' nous donnera ensuite

np = on — om = {bn—bo) — [oa-\-am) — (b//~am)—{ao-\-bo) = dt—ds,

np ' = dt' — ds ' ;

et si l'on porte ces valeurs dans la relation (i), il vient enfin

Ainsi les variations correspondantes des différences arc ai — arc a'i , am — (t' m, demeurent toujours égales quand le point m se déplace sur

l/î^ I>E!^ MÉTHODES EN tiÉOMETRIE.

l'hyperbole nmi , homofocale à l'ellipse proposée. Ces différences ellesmêmes seront donc égales si leurs valeurs initiales sont les mêmes. Or c'est ce qui a lieu en effet ; car si l'on considère le point / comme la position initiale du point m , on a , en ce point ,

Corollaire. — On déduit aisément de ce théorème les solutions des liroblèraes suivants.

1. Diviser géométiiquemrnt un arc d'ellipse [nu cP hyperbole) en deux arcs partiels à différence rectifiable.

2. Etant donné un arc d'ellipse ( nu d'hjpe?'bole ), construire géométriquement un second arc ayant pour l'une de ses extrémités un point donné de la courbe, et ayant avec le premier une différence rectifiable. Ce dernier problème ayant deux solutions , les deux arcs répondant à la question présentent eux-mêmes une différence rectifiable, et cette observation conduit à un théorème de géométrie.

3. Trouver l'expression géométricpic finie de la différence entre les longueurs infinies des asymptntes et des deux branches d'une hyperbole. On peut consulter sur ce sujet un article de M. Terquem , auquel nous avons emprunté la démonstration précédente ( Nouvelles Annale? de Mathématiciues , i844> page 5o6).

Théorème II. — Etant dnnnées deux ellipses [nu deux hyperboles) homofocnles, si par un point quelconque de la courbe extérieure on mène deux tangentes à la courbe intérieure , la différence entre la somme de ces tangentes et l'arc de la courbe intérieure intercepté entre leurs points de contact, conserve une valeur constante.

La démonstration ne diffère de la précédente que par les modifications qui résultent dans la figure de ce que le point m se déplace sur une courbe de même espèce que la proposée ; et l'on parvient , en ayant égard à ces modifications, à la relation

d [t ~\-t') = d [s -^ s') = d . âxc aa' .

Ainsi lesvariations correspondantes de la somme des tangentes et de l'arc intercepté demeurent égales quand le point tn se déplace sur une courbe homofocale à la proposée et de même espèce qu'elle; donc la différence entre la somme des tangentes et l'arc intercepté demeure constante.

Corollaire. — Ce théorème fournit un second moyen de construire des arcs d'ellipse à différence rectifiable , et la comparaison de cette seconde solution avec celle qui résulte de l'emploi du théorème I , conduit aisément à cette conséquence : Dans une ellipse, ou dans une hyperbole , si par les quatre extrémités de deux arcs à différence rectifiable nn mène les tangentes à la courbe, ces tangentes forment un quadrilatère qui est circonscriptible h un cercle.

g. Limites inférieure et supéricurT du périmètre de l'ellipse entière, ou d'un arc quelconcjue d^ellipse. — Construction fjrométriquc analogue à celle de Bernoulli ( .fean).

SECONDE PARTIE. l/jS

Il résulte des considérations employées dans la question 7, que si l'on porte sur une même droite, et à la suite l'une de l'autre, deux longueurs CA et AB égales aux demi-axes d'une ellipse, et que sur la droite résultante Cli ^ '2R, comme diamètre, on décrive une demi-circonférence , la somme/ des produits obtenus en multipliant chacun des éléments de cette demicirconféronce par la distance de l'une de ses extrémités au point de division A du diamètre CB, divisée par '2R, sera égale au périmètre du quart de l'ellipse dont CA et AB sont les demi-axes, périmètre que nous dési- E

gnerons par

Cela posé , divisons la demi-circonférence CB en un nombre pair 2 m parties égales; soient o, 1,2, 3. . .a/w — i, 1 m les lin -\-i points de division , dont les extrêmes coïncident respectivement avec les points C et B, et désignons par <-/„, (-/, , fi, . . .r/j,,, les distances de ces points au point de division A du diamètre CB. Si l'on suppose , comme cela arrive dans la ligure , CA < AB , on aura

et d'ailleurs chacun des arcs 01, i 2, 2 3

7tR

. aura pour valeur

Or, on aperçoit immédiatement que la partie de la somme / qui se rapporte à l'arc I 2, par exemple, est moindre que le produit de cet arc par la distance d^^ et supérieure à son produit par la distancée/,. On a donc cotto double inégalité

et de là, en divisant par 2R , remplaçant / : 2R par - et multipliant par 4,

ITT 1

^/„ + r/,+f/., + ... + rL

On peut donc construire géométriquement les rayons de deux circonférences dont les périmètres comprennent le périmètre de l'ellipse donnée , et la différence entre ces rayons étant égale à la différence des demiaxes de l'ellipse, divisée par 2/», l'erreur commise, en substituant au périmètre de l'ellipse donnée le périmètre de l'une de ces circonférences , pourra être aussi petite qu'on le voudra.

La même méthode s'applique encore à l'évaluation approchée d'un arc quelconque d'ellipse, moindre qu'un quadrant. Il suffit, en effet, de construire préalablement l'arc MN de la circonférence CB qui , en s'enroulant intérieurement sur la circonférence du rayon double , engendre l'arc d'ellipse considéré, r?; de diviser cet arc MN on 2w parties égales, et de

l44 DES MÉTHODES EN GÉOMÉTRIE.

joindre les points de division au point A. On trouve alors, en employant les mêmes notations ,

arc m /r/„+r/.+. • •+^/,„,,\ arc MN /^r/.+r/,+ . • .+d,\

Or, en désignant par 0 l'angle au centre qui correspond à l'arc MN, on a

arc MN 2

et en substituant cette valeur dans les inégalités précédentes, on voit que l'arc d'ellipse e se trouve compris entre deux arcs de cercle semblables,

correspondant à des angles au centre égaux à - ? et dont la différence des

rayons peut être aussi petite qu'on le veut.

Remarque. — En appliquant au système de deux ellipses égales sa théorie générale du mouvement de rampement d'une courbe sur une autre , Jean Bernoulli parvint aux deux inégalités suivantes :

(III) 27r.^ ^<E<.7./-^l±^--^--- + <"-S

2 m désignant actuellement , non plus un nombre pair quelconque , mais une puissance de 2 [Opéra omnia, tome I, page 448).

Les formules de Bernoulli fournissent des limites plus resserrées que les précédentes, mais elles ne s'appliquent pas comme celles-là (du moins sans une démonstration spéciale ) , à la rectification approchée d'un arc quelconque d'ellipse. 1] serait toutefois intéressant de les obtenir directement par l'emploi des considérations précédentes : elles nous paraissent l'auxiliaire le plus naturel que l'on puisse employer dans cette recherche, car elles conduisent presque nécessairement à la construction géométrique des différentes lignes que l'on a à considérer, construction que l'on ne fait intervenir qu'avec effort par l'emploi du mouvement de rampement.

Les formules (III), qui avaient été données sans démonstration par Bernoulli, ont été établies pour la première fois par M. Prouhet, dans une intéressante étude sur les reptoires, insérée dans les Nouvelles Annales de Mathématiques, i854, pages 274 et 235.

PAP>IS IMPiyiMERIE.DE MAUJ.T-BAr.HKLïKR ,

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