PARIS, GAUTHIEU-VILLARS, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOI.E POLYTECHNIQUE, Quai des Grands-Augustins, 55.

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DISCOURS PRÉLIMINAIRE

Définition des notations mathématiques .

En tout écrit moderne sur les Mathémaliques, chaque page pour ainsi dire, abslraclion faite des figures et autres illustrations nécessaires, nous présente des écritures de deux sortes : d'une part, un texte tout à fait analogue à nn texte littéraire ; de l'autre, un ensemble de lettres, de chififres, de signes, de symboles, c'est-à-dire un ensemble de caractères idéographiques spéciaux. La première de ces parties pourrait se nommer le discours; la seconde s'appelle (V ovà\ni\'ueV al gorithme de la question. Ce sont les éléments variés constituant cet algorithme que nous désignons par la locution générale de notations mathématiques .

Comme son litre l'indique, le présent Ouvrage est consacré entièrement à l'étude de ces notations. Cette étude, semblable en cela à l'Algèbre, est à la fois une science et un art : une science, puisqu'elle nous fait connaître les notations usitées, leur forme, leur signification,, leur origine, leur histoire; un art, puisqu'elle nous donne des règles sûres pour les bien choisir et les bien employer.

Remarques historiques.

Les géomètres, soit de l'antiquité, soit du moyen âge, n'employaient guère comme signes spéciaux que les lettres de leurs alphabets; encore ne les emplovaient-ils que |)Our désigner les éléments des figures, ou les quantités géométriques, longueurs,

DISCOURS PRELIMINAIRE

superficies, volumes. Diophanle (') paraît être le premier qui ait représenté par une lettre l'inconnue d'un problème d'Arithmétique 5 Yièle (2), le premier qui ait représenté de la même façon les nombres connus, c'est-à-dire les données.

Les signes d'opérations, +, —, X, :, ne nous semblent pas êlie antérieurs au xvi^ siècle. Il en est de même des signes d'égalité, d'inégalité et, en général, de tous les signes de relations. Les signes de coordination : parenthèses, crochets, accolades, lignes de points, se sont introduits peu à peu, selon le besoin. — L'invention d'un signe uni(|ue a eu parfois les plus heureux résultats : le signe exposant, dû ce semble à Descartes, a notablement abrégé le calcul algébrique; l'algorithme commode de Leibniz a fort accéléré les progrès du calcul dilïerentiel ; le signe de congruence, imaginé par Gauss (^), a simplifié toutes les égalités de la théorie des nombres. — Certaines notations particulières sont nées de nos jours, par exemple : celles des déterminants, celles des équipollences, celles des quaternions. Quelques-unes même ne nous paraissent pas encore absolument fixées : telles sont celles des fonctions elliptiques, celles des groupes, celles des ensembles, celles de la géométrie vectorielle.

Quoi qu'il en soit, du temps de Pascal et de Fermât (^) les notations étaient encore imparfaites et incommodes. Ce sont les géomètres du xYiii*^ siècle et du commencement du xix", principalement Euler, Lagrange (^) et leurs disciples, qui ont constitué le système actuel des notations mathématiques, et lui ont donné la forme sous laquelle nous l'employons couramment aujourd'hui.

P?'e?niers avantages des notations.

Les signes d'objets, c'est-à-dire les signes de |)oints, de longueurs, de surfaces, de volumes, de quantités quelconques, même les groupes de chifl'res représentant des nombres déterminés, ne

(') Environ 35o ans après Jésus-Clirisl.

(') Né en i54o, mort en i6o3.

(') Descaries. iSgG-iôSo; Leibniz, 1646-1716; Gauss, 1777-1854.

(*) Pascal, 1623-1662: Fermai, 1601-1660.

(=■) Euler, 1707-1783; Lagrange, i736-i8i3.

DISCOURS PnÉLIMINAIRE. VII

constituent pas une langue : ils ne forment, au plus, qu'une nomenclature, analogue à celles de la Botanique ou de la Zooloo^ie. Les anciens, qui ne possédaient point d'autres signes spéciaux, ne liraient de ceux-là que des avantages très faibles, se réduisant pour ainsi dire à des abréviations graphiques. Dans la plupart de leurs théorèmes, Euclide, Archiniède, Apollonius (*) emploient des égalités, des proportions surtout, qu'ils combinent souvent entre elles. Il leur faut les énoncer toutes eu langage ordinaire; il leur faut énoncer encore de cette façon, et démontrer à mesure toutes les transformations qu'ils leur font subir. Quelles complications ! Quelles longueurs ! A moins de l'avoir expérimenté soi-même, on ne peut se faire une idée de leffort nécessaire pour comprendre, ou simplement pour suivre, les démonstrations ainsi rédigées.

Au contraire, dès qu'aux signes d'objets dont nous venons de parler on associe les signes d'opérations, de groupement, de relations, on obtient, à la place d'une simple nomenclature, une langue véritable. Les signes d'objets ne sont, pour ainsi parler, que des substaiitifs ; les signes d'opérations et de groupement permettent de lier ces substantifs entre eux; les signes de relation nous donnent le mojen d'écrire de véritables phrases. Toute égalité, toute inégalité n'est-elle pas une proposition dont le premier membre est le sujet, dont le second membre est l'altnbut, et dont le signe même de relation constitue le verbe? Grâce au système de ces difft'renls signes, les phrases mathématiques n'ont plus besoin d être écrites en lanjjao:e ordinaire : elles s'écri\ent à l'aide de notations spéciales et deviennent infiniment brèves, précises et claires. Bien plus, grâce à cette même écriture, il n'est plus nécessaire d'expliquer ni de démontrer à mesure les transformations qu'on leur fait subir : l'Algèbre les eflfectue, sans explication, d'une façon absolument mécanique. De là, pour le lecteur comme pour l'auteur, d'énormes abréviations et siujplificalions.

Ces très grands a\anlages ne sont pas les seuls. Les équations ou relations quelconques, qui interrompent le discours, nous en j)résentent d'autres. En résumant, pour ainsi parler, tout ce qui les précède, elles nous indiquent ce qui est déjà fait et ce qui reste à faire. L'attention et la mémoire eu sont singulièrement sou-

Cj Euclide, 3oo; Archiméde, 2ju; Apollonius, lioo ans avant Jésus-Clirisl.

VIII DISCOURS PRELIMINAIKE.

lagées. — Elles le sont aussi par l'emploi, qu'on ne saurait trop recommander, des signes de coordination, en particulier des signes de sé|)aralion et de correspondance. Toute démonstration, toute recherche se partage évidemment en différentes parties ou phases : rien n'est plus avantageux, pour l'œil et pour l'esprit, rpie la mise en évidence, à l'aide des signes de coordination, de ces divisions successives. — Sans doute on aurait tort de dire avec Lagiange que la Géométrie ancienne, qui ne se sert point de nos signes spéciaux, doit être regaidée comme une langue morte. Mais on serait, selon nous, bien près de la vérité en affirmant que c'est à l'usage continuel qu'elles en font que les Mathématiques modernes doivent principalement leur supériorité sur les anciennes, leurs progrès incessants et surtout les généralisations et extensions qu'ont reçues tour à tour leurs différentes parties.

Extensions et généralisations.

Considérons un problème à une seule inconnue, où les données sont des nombres déterminés, écrits en chitTres. En raisonnant sur (■es données et efTectuant à mesure les calculs, nous arrivons à la valeur numérique de l'inconnue. — Si un problème tout pareil se présente, ne différant de celui-là que par les valeurs des données, il nous faut, pour le résoudre, recommencer, dans leur ordre, tous nos raisonnements et calculs : le travail n'est guère moindre cette seconde fois que la première. — Mais supposons que nous représentions les données par d(;s lettres et que nous raisonnions sur ces lettres comme nous avons précédemment raisonné sur les nombres. Les calculs ne pouvant plus être effectués seront seulement indiqués ; les données représentées par les lettres ne se prêtant plus à aucune simplification ou réduction numérique traverseront toutes les j)hases delà question sans cesser d'être reconnaissables ; finalement, nous obtiendrons une expression qui nous fera connaiiie par quel ensemble d'opérations l'inconnue se peut déduire des données. — L'égalité ayant pour second membre cette expression et pour premier membre l'inconnue est ce qu'on appelle une formule. Celle formule nous fournit à elle seule la solution de tous les problèmes particuliers, en nombre infini, qui ne diffèrent du premier que par les valeurs numériques des données : il nous suffit, en eHet, d'j

DISCOURS PRÉLIMINAIRE. IX

remplacer dans chaque cas les lettres par les nomlires et d'efTectuer les opérations. Elle est analogue aux recettes de l'industrie, car elle nous permet dohlenir les résultats à coup sûr, sans avoir à recommencer ni essais ni recherches. De là l'extension, l'universalité, pour parler comme Newton ('), donnée à l'Arithmétique (-) par les signes de l'Algèbre. Cette extension, il faut bien le remarquer, est uniquement due à l'idée qu'a eue Vièle de représenter les données par des lettres de l'alphabet.

Tel problème d'Algèbre ou de Géométrie, traité par le calcul, conduit à des expressions qui semblent n'avoir aucun sens, ou plutôt qui paraissent absolument impossibles. L'Algèbre ne s'arrête point court devant ces impossibilités. Avec une audace dont les autres sciences n'offrent guère d'exemples, elle passe outre; elle accorde droit de cité à ces expressions impossibles; elle se les approprie au lieu de les exclure. A l'aide de notations nouvelles, elle en constitue ce qu'on appelle des symboles; et ces symboles, nombres fictifs ou pseudo-quantités, par convention résolvent le problème. — Il est nécessaire dans les sciences de généraliser à mesure qu'on avance. Les symboles ainsi formés permettent les plus utiles généralisations. C'est grâce, par exemple, à la considération des nombres négatifs et des nombres imaginaires, créés au xvii^ siècle, que tonte équation algébrique du degré m peut être regardée comme admettant toujours exactement m racines. — D'ailleurs, la théorie des opérations sur les nombres négatifs, les nombres imaginaires, les nombres complexes, et l'appropriation de ces calculs à des usages pratiques et réels ont pris, surtout au xix^ siècle, une extension considérable : elles constituent l'un des plus beaux titres de gloire des savants modernes.

Certains ont dit qu'il n'avait manqué à Euclide que la notion des coordonnées pour inventer, il j a plus de 2000 ans, la Géométrie analytique. Il semble bien cependant que cette invention suppose l'usage et l'habitude des notations mathématiques : signes de quantités, d'opérations, de relations. En fait, elle ne s'est accomplie, par le génie de Descartes, qu'après tous les progrès que les notations avaient réalisés pendant la fin du xvi" siècle et le

(') Né en 1G42, mort en 1727.

(-) Arithmetica universalis est le titre d'un Ouvrage de Newton.

X DISCOURS PRELIMINAIRE

commencement du xvii^. — On en connaît les immenses résultats : l'Algèbre et la Géomélrie soudées ensemble, ou plutôt se pénétrant l'une l'autre; l'étude des courbes et des surfaces ramenée à celle des équations et, réciproquement, les courbes et les surfaces servant à la représentation, à l'interprétation des fonctions de deux et de trois variables. — Les notations ont permis d'aller encore plus loin, car les hyperespaces, introduits si hardiment dans la Science, ont (ourni une interprétation géométrique des faits algébriques ou analytiques relatifs à un nombre quelconque de variables indépendantes.

Sous les noms de calcul fonctionnel, calcul des opérations, calcul symbolique, on comprend tous les calculs où les signes d'opération perdent leurs significations ordinaires et deviennent soit des signes de quantités, soit des indications purement mnémoniques. — Dans le premier cas, on peut opérer sur eux comme sur les signes de quantités, en avant soin seulement de se soumettre au principe de la permanence des règles du calcul. C'est ce que fait constamment la nouvelle Algèbre. — Dans le second cas, qui est de beaucoup le plus fréquent, on écrit à la façon d'une expression ancienne, très connue, une expression nouvelle qui lui ressemble. Renconlre-t-on, par exemple, un polj'nome rappelant le développement d'une certaine puissance du binôme? On lui applique la notation de cette puissance, en avertissant qu'il s'agit d'une puissance symbolique. C'est ce que l'on fait lorsqu'on représente les différences successives d'un système de nombres, ou les différentielles totales successives d'une fonction de deux variables. — On doit bien l'avouer, ces différents calculs ne présentent pas toujours une clarté, une précision parfaites ; ils ne possèdent ces qualités que pour les lecteurs qui ont bien présentes à l'esprit toutes les conventions sur lesquelles ils reposent; mais alors ils produisent une grande simplification, une grande abréviation. Quoi qu'il en soit, ils nous offrent un nouvel exemple des généralisations considérables qu'apportent avec eux nos divers systèmes île notations.

Mécanisme algébrique.

A tous les avantages déjà énumérés que donne rem|)loi de ces notations, viennent s'ajouter ceux qui résulte;)! de ce (pi^on pour-

DISCOURS PRÉLIMINAIRE. XI

rail appeler le mécanisme algébrique. Ce mécanisme consiste en règles très simples et très nettes, qui résument et, pour ainsi parler, emmagasinent en elles une multitude de raisonnements. Dispensant de répéter ces raisonnements à tout propos, elles rendent les calculs infiniment courts et faciles. « O est facile comme l' A Igèbre » est un mot célèbre de Lagrange. — Ces règles, d'ailleurs, pour peu qu'on soit attentif en les appliquant, donnent même aux calculs une sûreté qui inspire toute confiance. Euler est allé jusqu'à dire que « le géomètre doit se fier au calcul algébrique plus qu'à son propre jugement •>•>. — On ne saurait le nier, ces règles mécaniques de calcul sont pour l'algébriste un secours admirable; il n'a qu'à les suivre ; elles ne le dirigent pas seulement, elles le portent (' ); il n'a besoin pour les appliquer que d'une attention presque matérielle et, pour ainsi dire, que de ses yeux.

Soit une formule contenant plusieurs lettres désignant des quantités distinctes, la formule, par exemple, des intérêts simples qui nous offre ces quatre quantités : le taux, le capital placé, la durée du placement et l'intérêt produit. On peut la résoudre successivement par rapport à chacune de ces quatre quantités. De là quatre formules différentes donnant la solution de quatre problèmes généraux. Voilà un résultat très vaste, obtenu immédiatement. — H Y a plus : si la formule initiale se rapporte à un phénomène quelconque, elle nous fournit aussitôt, par de simples transformations algébriques, un certain nombre, sinon la totalité, des lois par lesquelles ce phénomène est régi. De la formule qui donne l'espace parcouru pendant un temps déterminé, dans le mouvement recliligne uniforme, on déduit ainsi, en deux ou trois lignes d'écriture algébrique, toutes les lois de ce mouvement : Galilée (2), qui ne faisait pas usage de formules, consacre quatre pages (^) à les établir. — L'Algèbre, on peut le dire, est une admirable machine à déduction. Dans les diverses parties des Mathématiques, les équations initiales, celles qui servent de fondements aux théories, s'établissent d'ordinaire par des considérations et raisonnements directs. Mais, ces équations une fois établies, rien ne saurait remplacer le calcul pour en dévelop|)er toutes les conséquences.

(•) A. liEBiÈRE, Mathématiques et mathématiciens, in-8°, Paris, 1889, p. 3o.

(^) Né en i56^, mort en 1642.

(') Giornata terza, de Motu /Equabili.

XU DISCOURS PRÉLIMINAIRE.

C'est Eiilerqui donna le premier l'exemple de ces longues déductions où, les conditions du problème étant exprimées tout d'abord à l'aide des notations mathématiques, le calcul, à lui seul, surmonte toutes les dif'licultés et fournit tous les résultats. — C'est Lagrange, dans sa Mécanique analytique, qui a porté cette méthode à sa perfection. Il s'j était proposé a de léduire la théorie de celte science, et Vart de résoudre les problèmes qui s'y rapportent, à des formules générales dont le simple développement donnât toutes les équations nécessaires pour la solution de chaque problème ». Ce but est entièrement atteint. L'Ouvrage ne contient point de (îgiires; on n'y trouve ni constructions, ni raisonnements géométriques, mais seulement des opérations algébriques assujetties à une marche régulière et uniforme : tout s'y déduit du seul princi[)e des vitesses virtuelles par le simple jeu des notations.

Ce sont ces mêmes méthodes, fondées sur le calcul, que l'on retrouve dans la Mécanique céleste de Laplace, qui ne contient non plus aucune figure, et dans les Ouvrages de Physique mathématique, tels que ceux de Fourier et de Lamé ('). Grâce à ces derniers travaux et aux équations diUerentielles auxquelles ils ont conduit, des analogies remarquables sont apparues entre les différentes parties de la Physique et plusieurs parties de l'Analyse, voire de la Géométrie. L'hydrostatique et la théorie du potentiel ont introduit les familles de surfaces de niveau; la théorie de la chaleur a introduit celles des surfaces isothermes; la théorie de la lumière, celles des surfaces d'onde. C'est l'étude math<''mati(|ue de l'équilibre d'élasticité des corps solides qui a conduit à considérer trois familles de surfaces conjuguées et orthogonales. L'étude de certaines intégrales se tiouve liée aux plus importants des problèmes que posent les théories électri(|ues. Ce sont des transformations de calcul qui ont tiré des formules de Lagrange le tvpe des équations différentielles auxquelles plusieurs tendent à ramener aujourcriiui, dans les sciences physiques, la notion (-) mèuie d'explication mécani(|ut'.

(') Laplace, 1749-1827; Koiirier, 17(58-18)0; Lamé, 1795-1870.

(-) Émii.k Pk;aiu), La Science moderne, \n-i?., Paris, i<)oâ, p. ?3.

DISCOURS PRELIMINAIRE

Éloges et critiques.

L'Algèbre et l'Analjse d'une part, les notations mathématiques de l'autre sont si étroitement liées, qu'on ne saurait faire l'éloge ou la critique de celles-là sans faire en même temps l'éloge ou la critique de celles-ci. Nous ne sortons donc pas de notre sujet en résumant le grand bien et le peu de mal qu'on a dit de l'Algèbre et de l'Analyse.

On connaît cette phrase de Condillac (') : « Une science bien traitée n'est qa une langue bien faite (-). » H a dit aussi : « L'Algèbre est une langue bien faite et c'est la seule (•^). » — Lorsque Leibniz songe à créer une langue, une écriture idéale, c'est l'Algèbre qui lui paraît être le modèle à imiter. « Celte écriture, dit-il ('*), serait une espèce d'Algèbre générale et donnerait le moyen de raisonner en calculant, de sorte qu'au lieu de disputer on pourrait dire : Comptons. Et Use trouverait que les erreurs de raisonnement ne seraient que des erreurs de calcul qu'on découvrirent par des épreuves comme dans l' Arithmétique. »

Il est certain que l'Algèbre est une langue condensée, se prêtant merveilleusement aux combinaisons de la pensée, en tant qu'elle a pour objet la comparaison des formes et des grandeurs. Par son secours, l'art supplée au génie, et le génie a eu des succès qu'il n'aurait jamais obtenus, réduit à ses propres forces. — Il ne peut y avoir de langage plus universel que lAnaljse, plus simple, plus exempt d'erreurs et d'obscurités, c'est-à-dire |)lus digne d'expi-imer les rapports invariables des êtres naturels (■'): C'est une écriture qui n'a point de signes pour exprimer les idées confuses, qui est capable de condenser dans ses symboles un nombre immense de résultais, et qui possède une admirable puissance de transformation et de prévision ("). C'est une méthode lumineuse, universelle,

(') Né en 1715, mort en 17S0.

(-) Œuvres complètes, in-i3, Paris, 1822, l. XVI, p. 6.

(5) Ibid., p. 5.

(*) Leibniz, éclit. Gerhardt, l. Vif, p. 26.

{') roLRiEK, Théorie de la chaleur : discours préliminaire.

(^) E. Picard, La Science moderne, in-12, Paris, igoS, p. !\-.

XIV DISCOURS PRÉLIMINAIRE

applicable à tout, aussi bien au discontinu qu'au continu, aussi bien aux questions, purement mathématiques, qui naissent de l'imagination du géomètre, pour ne pas dire de son caprice, qu'aux questions que nous posent les autres sciences, principalement la Physique, la Chimie, l'Histoire naturelle.

L'emploi du calcul est comparable à celui d'un instrument dont on connaît exactement le degré de précision. On lui a reproché de dispenser celui qui s'en sert de réfléchir et de raisonner, et il est bien certain que beaucoup de personnes emploient l'Analjse comme quelques manufacturiers se servent de la machine à vapeur, sans se douter de son mode d'action. — On a dit aussi qu'elle détourne de la considération directe des objets; qu'une science n'est point faite quand on l'a réduite à des formules analytiques (') ; que la méthode géométrique des anciens est plus lumineuse et présente une évidence plus sensible. Il y a dans tous ces reproches une part de vérité; mais les purs géomètres, Chasles par exemple, n'en admirent pas moins l'instrument analvtique; Poncelet (-) n'en a pas moins tiré de l'Analyse les premiers fondements de ses travaux; tous ne s'en servent pas moins des notations mathématiques. Comme l'a écrit Lagrange (•''), « C Algèbre planer pour ainsi dire également, sur r Arithmétique et sur la Géométrie ».

On répète souvent qu'il n'y a, dans une équation, que ce qu'on y a mis. « Les Mathématiques, a dit Faraday (^), sont comme un moulin à café qui moud admirablement ce qu^on lui donne à moudre, mais qui ne rend pas autre chose que ce qu'on lui a donné. » Pures calomnies. La forme nouvelle sous lac]uelle on retrouve les choses étudiées constitue souvent à elle seule une imjiortante découverte. Telle est même la fécondité de l'Analvse, qu'il suflit de traduire en celte langue universelle les vérités particulières pour voir sortir de leurs expressions des vérités nouvelles et inattendues (*). L'Analyse est vraiment créatrice : c'est à elle que la science contemporaine est redevable de ses plus hautes, de ses plus vastes conceptions.

(') PoiNsoT, Théorie nouvelle de fa rotation des corps, p. So.

('-) Cliasles, 1793-1880; Poncelet, 17.SK-1867.

(^) Résolution des équations numériques, iii-'t". Paris, un \l, p. vi.

(*) Né en 1791, mort en 1867.

(') IvATLACE, Système du monde, t. \', cliap. IV.

DISCOURS PRELIMINAIRE

Grands écrivains en Mathématiques.

Pour que l'Algèbre et l'Analjse possèdent ces admirables propriétés, il faut évidemment quelles soient maniées avec une habileté extrême; et, puisque les notations mathématiques v jouent le rôle capital, il faut que ces notations j soient correctes, bien choisies, bien employées, en un mot qu'elles j soient excellentes. — Il en est rarement ainsi. Dans la plupart des Livres et Mémoires, des fautes de notation existent; parfois elles fourmillent. Et je ne parle pas ici de cet abus des symboles qui dépare certains Ouvrages, qui les rend illisibles et qui se rencontre jusque dans les dernières communications de Cauchy ('), l'un pourtant de nos plus illustres géomètres. Je ne fais allusion qu'aux fautes de notation proprement dites, qu'aux fautes contre la raison, contre le bon sens.

« L'Algèbre, comme toutes les langues, a ses grands écrivains qui savent marquer tous les sujets à l'empreinte de leur[-) génie. » Sans parler de ceux qui vivent encore, le xix* siècle nous en présente plusieurs. Nous nous contenterons de citer Lamé dans ses Ouvrages de Physique mathématique et Cayley (') dans ses admirables travaux d'Algèbre. Mais celui qui, dans les Sciences mathématiques, est sans contredit le premier des écrivains, c'est Lagrange, l'immortel auteur de la Mécanique analytique. Son style est réputé classique; il doit être regardé comme le prototype qu'il faut étudier et imiter. Tout le monde s'est plu à en célébrer la perfection. On connaît cette phrase d'Élie de Beaumont (^) : « Pures et faciles comme les vers de Racine, les formules de Lagrange ont augmenté le nombre des adeptes de la Science, en même temps qu'' elles ont facilité leurs travaux », et cette autre de Biot ( 5) : « Lorsqu'on a une fois lu un Mémoire de Lagrange,

(') Né en 1789, mort en 1857.

(-) J. Bertrand, Discours prononcé aux funérailles de Lamé. 3 mai 1870. C'est notre première épigraphe.

(') Né en 1821, mort en iSgS.

( * ) Éloge de Legendre.

(*) Mélanges scientijiques et littéraires.

XVI DISCOURS PRELIMINAIIIK.

o?} n'a jamais besoin d'y revenir : on a tout compris, et pour toujours. ))

Quand on vante les bonnes notations, le mot qui revient le plus souvent dans le discours est celui à^élégance. On l'ajDplique constamment au style analytique de Lagrange. Mais quel sens faut-il lui attribuer? Celui qu'on lui donne dans la littérature et les beauxarts, celui (jue lui assigne son étj'mologie, eligere, choisir. L'élégance est le résultat d'un choix. Elle implique une foule de qualités dont les principales, dans les notations mathématiques, sont la facilité, la simplicité, la netteté; on pourrait dire la vérité et la beauté. Les Mathématiques ont leur côté philosophique et artistique. Les notations excellentes présentent aux personnes initiées à ce langage une sorte de charme qui les entraîne vers l'étude. Lagrange malade se délectait, dit-on, dans la contemplation de calculs algébriques bien écrits et bien disposés. Il est certain que les systèmes de formules réputés parfaits présentent pour Tceil qui les regarde, comme pour l'oreille qui les entend lire à haute voix, une sorte d'harmonie visuelle ou musicale, c'est-à-dire une jouissance esthétique d'un ordre très élevé. Une expression, une formule peut s'écrire de plusieurs rrianières toutes égalenient exactes et correctes, mais non pas toutes également bonnes. Ce qui fait préférer l'une à l'autre, ce qui fait prendre la plus élégante au vrai sens du mot, c'est une sorte de don naturel, un bon sens délicat que possèdent au plus haut poitit les grands écrivains malhématiciues et qui, comme dans la littérature et les beaux-arts, n'est autre chose que le goût.

Objet et but du présent Ouvrage.

Revenons au présent Ouvrage. Comme son litre l'indique, il se compose de trois Parties : énumération, choix et usage. La première est la science des notations; la deuxième, l'art de les choisir; la troisième, l'art de les cinplover.

Dans la première, nous ("aisons connaître les notations actuellement usitées, la manière de les écrire, de les disposer, de les rendre absolument correctes. Nous nous y occupons seulement des nolatious usitées couramment dans les iMalhéniati(|ues des divers

DISCOURS PRKLIMINAIBE. XVII

ordres, ne nous arrêtant point à celles qu'on n'emjjloie qu'à titre exceptionnel. C'est, pourrait-on dire, Texposé des notations contemporaines.

Dans la deuxième et la Iroisième Partie, nous donnons les règles simples et nettes qui doivent présider au choix et à Tusao-e des signes. Ces règles sont fondées sur ce principe évident qu'il faut s'inspirer de l'énoncé de la question, c'est-à-dire de la nature des objets étudiés, de leurs propriétés, de leurs analogies, de leurs différences, de leurs rapports, des divers modes de classification dont ils sont susceptibles. Frappés des avantages que nous offrent les formules et équations symétriques, plusieurs auteurs recommandeut de chercher la symétiie. Précepte trop étroit, puisqu'il ne vise qu'une qualité, et souvent inapplicable, puisque bien des expressions veulent être dissymétriques. Pour nous, il ne faut chercher en particulier ni la symétrie, ni la dissvmétrie, ni aucune autre qualité spéciale. Ce qu'il faut chercher toujours, avant tout, c'est la vérité des notations.

Afin de bien montrer et faire comprendre l'esprit de nos règles, leur signification exacte et la manière de les appliquer, nous ferons suivre chacune d'elles d'exemples nombreux et variés nous en présentant, les uns une application correcte, par conséquent à imiter, les autres une infraction plus ou moins grave, mais très nette. Ces derniers seront de beaucoup les plus nombreux, car, s'il n'y a qu'une manière d observer fidèlement une règle, il v en a une multitude de l'enfreindre. D'ailleurs, pour qu'ils soient à la portée d'un plus grand nombre de lecteurs, nous avons toujours choisi nos exemples, soit de bonne, soit de mauvaise écriture, parmi les plus simples et les plus courts.

Quelques-unes des fautes que nous condamnons paraîtront peutêtre à plusieurs très légères, pour ne pas dire insignifiantes; elles ne seront à leurs veux que des minuties indignes de nous arrêter. Mais certaines minuties sont d'une grande importance. L'illustre médecin Stoll (M a intitulé l'un des Chapitres les j)lus utiles qu'il ait écrits : « De quibusdam tuagni monienti minutiis{-). » Ce titre conviendrait admirablement à bien des paragraphes du présent

(') ?s'é en 17^2, mort en 17)^8.

(-) C'est cette plirase que nous avons prise pour notre seconde épigraplie.

DISCOURS PRELIMINAIRE

Ouvrage. Est-il, d'ailleurs, beaucoup plus ridicule de s'occuper des minuties de l'écriture pour la rendre excellente que des minuties du raisonnement pour le rendre rigoureux? En de telles matières, on ne saurait se montrer trop exigeant : pour atteindre au bien, il faut viser au parfait.

Il se peut même, tant la plupart de nos règles sont naturelles, simples, évidentes, que bon nombre de nos lecteurs les jugent inutiles. Tout cela, diront-ils, on le savait. Sans doute. Mais, si on le savait, pourquoi ne l'appliquait-on pas? Pourquoi, comme nous l'avons fait observer plus baut, les fautes les plus graves se rencontrent-elles dans des Ouvrages sérieux et les plus légères même dans des cliefs-d'œuvre? C'est (pi'on ne s'en occupe pas; c'est qu'on écrit trop vite; c'est que la bonne écriture paraît cbose négligeable. Et cependant, de toutes les sciences, n'est-ce pas la Mathématique qui fait le plus grand usage des signes spéciaux et qui en tire le plus de profit? Les notations bien choisies, bien employées ne sont-elles point pour un travail mathématique une condition de succès et une garantie de durée? Nous voudrions appeler l'attention sur la nécessité d'écrire correctement. Nous voudrions que, grâce au présent Ouvrage, tout géomètre un peu attentif pût arriver à écrire bien, par principes, comme les mieux doués écrivent bien tout naturellement, par une sorte d'instinct.

Voilà le but que nous nous sommes proposé. L'avons-nous atteint? En avons-nous seulement approché? Nous ne savons. La composition de notre Livre était malaisée; les matières si nombreuses qu'il contient étaient difficiles à mettre en ordre; les redites, les omissions, les longueurs, les erreurs peut-être, difficiles à éviter. Nous avons fait de notre mieux. Connaissant nos collègues et confrères comme nous les connaissons, nous pensons pouvoir compter sur leur indulgence. « Hominis ingénia est benè velle. »

DES