CHAPITRE VIII. — SYSTÈMES d'ÉQUATIONS

est évidemment l'an des plus remarquables que l'on puisse citer. Ses équations se succèdent avec une régularité absolue et sont écrites d'une manière excellente. Il est clair qu'on pourrait former des systèmes pareils de 4 équations à 4 inconnues, de 5 équations à 5 inconnues, etc. Chose singulière, tous ces systèmes, nous le verrons plus tard (1098), peuvent se résoudre sans calcul.

Systèmes réversibles.

9o7. La propriété que possèdent certains systèmes d'équations, d'être exactement réversibles, les rend plus difficiles à bien écrire. Prenons la substitution linéaire orthogonale

X = ai X -H èi Y -f- Cl Z,

/ = a2X -4- 60 Y -i- foZ,

Elle nous donne, par réversion,

X = «i^r + a-iy -4- a^z, Y — byx -^ b-iy -H 63 z, Z = C\X -\- Coy -H c^z.

Ces systèmes sont-ils bien écrits? — Evidemment non. Les lettres X, ^ , Z y sont associées à. a, b, c : c'est une bonne correspondance; mais X, y^ z sont associées aux indices i, 2, 3, ce qui en est une mauvaise. — Il faudrait remplacer x^y, z par ;^,, «o, 1I3, ou (',, To, c'3, .... Seulement, par ce nouveau mode d'écriture, les nouvelles variables ne ressembleraient plus aux anciennes.

958. Il existerait r/ew.r moyens d^ écrive parfaitement ce système : ou bien appeler Wj, Uy, u^ les anciennes variables, (-'(, ('2, v^ les nouvelles, et affecter chaque coefficient de deux indices numéricpies, en cette sorte :

«I = «lll-'lH- «12f2-i-«I3t'3, »2 = «21 ^'l -t- «22«'2-l- «23«^3, «3= «3l''l-i- «32 1^2+ «33 ''3;

OU bien appeler ç, r,, ^ les anciennes vai'iables, x, y\ z les nouvelles, et affecter chaque coefficient a des deux, variables correspondantes mises en indices, de celle façon :

^ = ar^^x -~- aiy}' -{- a^-z.

Dans l'un comme dans l'auire de ces procédés, chaque coefficient présenterait deux mr//ce5 rappelant, comme dans les déterminants, l'un, la ligne où il figure et l'anlre, la colonne.

Tout ce que nous disons s'étendrait, d'ailleurs, aux sjslèmes réversibles contenant un nombre quelconque d'équations.

Combinaisons 2 à 3 des 3 inconnues.

9o9. On rencontre fréquemment des systèmes de 3 équations à 3 inconnues où chaque équation dépend, d'une façon particulière, à^ine ou deux de ces inconnues. Pour cjue de tels systèmes soient bien écrits, il faut que ces inconnues soient placées de telle sorte que leur rôle spécial apparaisse de lui-même. Il faut de plus que les combinaisons 2 à 2 des inconnues se succèdent dans Tordre que leur assigne 1 inconnue manquante.