CHAPITRE II

EXAMEN DES SCIENCES RATIONNELLES. — 1'* PARTIE : DE LA SCIENCE DES NOMBRES ET DE LA SCIENCE DES FIGURES.

I. — La métaphysique de la nature a été définie la science des facteurs premiers et essentiels de la matière. Les sciences de la nature recevront une définition analogue; elles auront pour objet les phénomènes matériels, les faits du monde inorganique.

Cette définition peut être contestée. En effet, le terme « nature » s'applique tout aussi bien aux êtres vivants qu'à la matière proprement dite; il semble donc arbitraire de nous arrêter au seuil des sciences biologiques.

On conviendra cependant que Thomme est compris dans la nature tout aussi bien que les espèces végétales et animales, et, qu'à certains égards, toute science^ quelle qu'elle soit, fait partie des sciences de la nature ; il n'y aurait donc, alors, aucune raison de limiter le champ de nos recher-

ches. Tel est pourtant notre dessein ; la philosophie première n'est point toute la métaphysique, elle n'est qu'une de ses provinces.

Devant l'impossibilité où nous sonmies de conserver au terme nature une extension à peu près indéfinie, le mieux est, ce nous semble, d'accepter une distinction consacrée par l'usage et de ne pas confondre la nature extérieure avec les êtres qui la peuplent; les lois de la première ne suffisent point, d'ailleurs, à expliquer conmient la vie peut éclore, et la complexité des phénomènes biologiques ne permet pas de considérer leur étude comme un simple rameau des sciences physico-chimiques.

Ainsi se maintiendrait l'ancienne division des sciences en quatre groupes : 1** sciences mathématiques ; 2^ sciences physiques ; 3** sciences biologiques et naturelles ; 4" sciences anthropologiques et morales.

Cette division se recommande à des titres divers : d'abord à chaque groupe correspond un objet distinct; en second lieu, à chaque groupe correspond une méthode spéciale.

Toutefois, il faut avouer que la distinction des groupes ne paraît pas toujours impliquer leur indépendance réciproque. La science de l'inférieur prépare la science du supérieur qui ne peut se constituer définitivement en dehors d'elle; les sciences physiques, par exemple, ont pour objet

un monde supérieur au monde du mathématicien et du géomètre, et cependant les mathématiques y trouvent leur place.

Donc, le droit de ne point faire d'excursion sur le terrain de la biologie, n'implique nullement le droit d'interroger les sciences physiques ou cosmologiques sans prendre souci dés sciences mathématiques ; les secondes préparent les premières et les rendent possibles.

Ce n'est pas tout encore : les sciences mathématiques ont pour objet : le nombre, l'étendue, la figure, le mouvement, c'est-à-dire les qualités premières des corps, pour parler la langue du xvn*' siècle.

Il semble alors, que ces sciences, non-seulement ne soient pas étrangères aux sciences de la nature, mais encore qu'elles en fassent partie.

Donc, rien ne nous autorise à les laisser sur notre route sans les avoir préalablement interrogées.

Il est une objection qui ne saurait être passée sous silence, et qui consisterait à tirer du caractère rationnel des sciences mathématiques une raison d'en omettre l'examen. Ces sciences, nous diraiton, n'ont point toutes le même objet, ou, si l'on veut, la même « matière » ; l'une a pour objet le nombre, l'autre la figure, etc. Les unes et les au-

38 EXAîlEN DES SCIEXCES KXUOSSELLES

très ont néanmoins la même < forme », la même méthode, et cette méthode est essentiellement déductive, d'où leur nom de sciences rationnelles. Mais la nature n'est pas un monde d'abstractions, c'est un monde de réalités sensibles et concrètes ; or, dans un monde réel, c'est à la lumière des feits qu'on s'avance, et les feits ne se démontrent pas. Donc il ne faut rien attendre des sciences déductives.

L'argument resterait sans réplique, s'il était vrai que tout raisonnement déductif exigeât pour majeure un principe a priori. Cette condition n'est pas nécessaire ; à défaut d'axiome ou de principe^ une loi peut servir de majeure, j'entends une loi extraite de l'expérience et généralisée par l'induction. Soient maintenant certains rapports donnés dans l'expérience et susceptibles de déterminations quantitatives exactes; chacun d'eux revêtira par cela même une expression mathématique, laquelle, une fois obtenue, se développera en une suite de conséquences nécessaires et mathématiquement enchaînées. Ainsi, d'une loi générale sortiront d'autres lois, applicables aux phénomènes, en parfaite harmonie avec l'expérience et toujours ou presque toujours confirmées par elle. D'où cette conclusion^ d'ailleurs irréprochable, que, dans tous les cas analogues, l'application rigoureuse des règles du raisonnement et de la méthode mathématique peut

tenir lieu d'expérience^ et même suppléer avantageusement aux défauts d'une observation souvent difficile, quand elle n'est pas à peu près impraticable.

Ainsi, par exemple, assimilez les planètes à des points matériels et vous démontrerez la loi de la gravitation ; admettez (rexpérience vous y autorise) que les rayons lumineux suivent une marche rectiligne; vous en déduirez les lois de la réflexion et de la réfraction (1), et cela, sans avoir besoin d'instituer la moindre expérience. Niera-t-on cependant que la science des astres soit une science d'observation, et se hasardera-t-on à prétendre que la physique n'est point une science expérimentale?

La distinction entre les sciences rationnelles et les sciences expérimentales n'est donc pas absolument tranchée ; il y a plus : l'histoire des sciences semble prouver qu'elles débutent par être exclusivement sciences d'observation pour venir se ranger, dans la suite, au nombre des sciences de raisonnement. Cela est vrai de la mécanique, de l'astronomie; en dirons-nous autant des sciences mathématiques et géométriques; elles aussi doivent-elles être comptées parmi les sciences de la nature ?

(1) Cf. Dahamel. De la méthode dans les sciences de raisonnement. Première partie, p. 31. — Paris, Gauthier-Villars, 1865.

Cette opinion rencontre des défenseurs; je veux dire que parmi nos logiciens modernes, il s'en trouve plus d'un^ qui prétend assigner à la science des nombres et à la science des figures une origine exclusivement empirique. A les en croire^ les premiers mathématiciens et géomètres auraient tiré de Tobservation directe de la nature extérieure la plupart des propositions que chacun admet aujourd'hui à titre de vérités nécessaires ; les axiomes, entr'autres, n'exprimeraient en dernière analyse que des résultats d'expériences.

Cette théorie revient en somme à transformer les raisonnements mathématiques en véritables cercles vicieux; l'application du calcul aux données d'une expérience aide beaucoup à sa généralisation et fait passer une proposition collective au rang de vérité générale, on pourrait presque dire de vérité nécessaire; cela tient précisément au caractère apodictiquo des théorèmes. Mais si la nécessité inathémuti(|ue est démontrée n'être à son tour (|u'uno nécessité dérivée, et si la source dont elle dérive n'est après tout que l'expérience elle-même, il est étrange que l'esprit humain se complaise si aisément et si légèrement à un métier de dupe, et (lu'il dépense tant de travail, pour ne recevoir en th) de oon^pte (ju'une valeur imaginaire.

MaiSt sans insister encore sur une explication (]ui n'a pout-étiv d'autres mérites que celui de

roriginalité, gardons-nous cependant de lui opposer, dès à présent, une théorie absolument contraire et d'après laquelle le groupe des sciences rationnelles semblerait pouvoir se constituer en dehors de Texpérience. En admettant que l'expérience n'intervienne pas dans la prétendue génération des axiomes, elle peut intervenir ailleurs, elle peut mettre l'esprit sur la voie d'une définition, lui suggérer là découverte d'un théorème. Nous croyons qu'elle ne fait pas tout : ironsnous jusqu'à dire qu'elle ne fait rien?

De là, l'obligation de rester quelque temps encore sur le terrain de la métaphysique et de rechercher dans quelle mesure la connaissance du monde extérieur aide à la naissance ou à l'élaboration dès concepts mathématiques et géométriques. Au fond, et quoi qu'il en semble, nous ne pouvons éluder cet examen; rien n'importe plus que de savoir si oui ou non la science des nombres et celle de l'étendue méritent de prendre place au rang des sciences de la nature.

II. — Locke fait du nombre une qualité première des corps (1) : ce Les qualités des corps, nous » dit-il, qui n'en peuvent être séparées, je les 5) nomme qualités originales et premières qui sont

(t) Essai sur l'entendement humain, liyre 1, chapitre viu.

» la solidité, l'étendue, la figure, le nombre, etc. » Il n'est pas indifférent de remarquer dans quel ordre il les classe; le nombre vient, quatrième, après rétendue et la figure, et cela fait supposer qu'aux yeux du philosophe la notion de nombre ne pénètre dans l'esprit qu'à la suite des précédentes; le nombre serait alors un mode de l'étendue, et de la figure; il appartiendrait à la matière à peu près au même titre qu'elles.

Plus loin cependant, notre auteur ajoute :

(( Comme parmi toutes les idées que nous avons, » il n'y en a aucune qui nous soit suggérée par y> plus de voies que celle de l'unité, aussi n'y en » a-t-il point de plus simple. Il n'y a, dis-je, au- )) cune apparence de variété ou de composition » dans cette idée, et elle se trouve jointe à tout y> objet qui frappe nos sens, à chaque idée qui se y> présente à notre entendement, et à chaque peny> sée de notre esprit. C'est pourquoi il n'y en a » point qui nous soit plus familière^ comme c'est )) aussi la plus universelle de nos idées dans le )) rapport qu'elle a avec toutes les autres choses, )) car le nombre s'applique aux hommes, aux » anges^ aux actions, aux pensées ; en un mot, à » tout ce qui existe ou peut être imaginé.

» En répétant cette idée de l'unité dans notre » esprit, et ajoutant ces répétitions ensemble, nous » venons à former les modes ou idées complexes

LE NOMBRE EtJlA FIGURE. 43

» du nombre. Ainsi, en ajoutant un à un, nous » avons l'idée complexe d'une couple ; en mettant » ensemble douze unités, nous avons l'idée com- » plexe d'une douzaine, et ainsi d'une centaine, » d'un million ou de tout autre nombre (1). »

Ces remarques sont justes; il est vrai que la notion de nombre ne s'applique pas aux seuls objets sensibles ; il est vrai qu'elle peut entrer dans l'esprit par plusieurs voies, ou du moins qu'on peut en expliquer l'origine de plusieurs manières. La question est de savoir^ parmi ces explications différentes, laquelle veut être préférée; on ne le sait pas encore, et c'est là ce qui importe.

Où puisons-nous la notion de nombre ?

« Dans le monde extérieur », répondent les empiriques, et pour justifier leur thèse, ils semblent ne pas manquer de preuves. Voici mes dix doigts : pour en déterminer le nombre, j'ai dû d'abord considérer les. cinq doigts de la main droite, puis après, les cinq doigts de la main gauche, et j'ai trouvé par expérience que ces deux groupes de cinq sont égaux à dix. De là à dire : cinq et cinq font dix^ il y a loin.

C'est qu'en effet les lois mathématiques se déduisent et se démontrent^ et ces lois "sont nécessaires]; l'expérience ne leur est pas contraire,

(t) Ibtd, chap. XVI.

autrement leur nécessité resterait inexplicable ; mais de ce que Texpérience les confirme, on ne saurait conclure qu'elle les constitue. Quoi qu'en dise M. Stuart Mill, cinq et cinq font dix, ont fait et feront toujours dix, et cela, dans tous les pays du monde, au-delà même du groupe d'étoiles dont fait partie notre soleil.

D'ailleurs, s'il fallait identifier les rapports établis entre les nombres à des rapports primitivement constatés entre des impressions, la difficulté serait insurmontable. L'impression de dix objets n'est pas identique à deux fois l'impression de cinq objets; dira-t-on qu'il y a entre elles égalité, ou équivalence? Pas davantage : deux impressions peuvent être dites semblables ou analogues, jamais équivalentes.

Ne restons pas plus longtemps en présence d'une explication aussi défectueuse; on sait d'ailleurs que l'expérience n'est pas la seule origine possible, assignable à nos concepts. Il en est^ parmi ces concepts, que l'esprit tire en quelque sorte de son propre fonds, ce sont les concepts innés; peutêtre la notion de nombre en fait-elle partie.

Platon définissait l'âme « un nombre qui se meut lui-même. » Cette définition, toute pythagoricienne, ne saurait point être prise au pied de la lettre. Non; l'âme est autre chose qu'un nombre; mais, comme toute chose, elle reçoit le nombre;

comme toute chose, elle participe à la quantité : il y a, en effet, dans la conscience, du plus et du moins, du même et de l'autre, de l'unité et de la multiplicité.

On ne peut nier, d'abord, que si l'homme était réduit à la conscience d'un moi identique et sur l'identité duquel rien ne ferait saillie, l'homme ne penserait pas; car la pensée requiert un objet, et le sujet ne peut devenir objet pour lui-même tant qu'il n'a rien à s'opposer.

Mais l'homme n'est pas seul ; en relation constante avec le corps, il perçoit ses organes et peut noter, grâce à leur intermédiaire, les impressions diverses que le monde extérieur lui apporte. Ces impressions, aussitôt ressenties, font place à d'autres, et cependant, une fois entrées dans la conscience, elles n'en sortent jamais. Semblables aux corps phosphorescents, d'obscures elles redeviennent lumineuses, alors que des impressions de même genre^ ravivant un souvenir presque éteint, viennent projeter sur elles une partie de leur éclat.

Les choses se passant ainsi, le sujet pensant ne peut manquer de se distinguer des impressions multiples dont il reçoit l'empreinte ; il sait que tandis qu'elles vont et viennent, poussées et chassées les unes par les autres^ il reste toujours un, toujours identique ; par lui-même il est un, par les impres-

sions qu'il reçoit, par ses modes^ par ses états, par ses actes, il est multiple.

« La notion de multiplicité, dit un philosophe » contemporain (1), a évidemment son origine » dans la conscience de nos modes et de nos actes. » Nous subissons et nous produisons continuelle- * » ment la multiplicité ; nous réalisons en nous le » nombre. »

Il est à remarquer^ cependant, que la notion de nombre ne s'explique pas seulement par l'unité et la multiplicité, cette notion en implique au moins trois autres : celle d'unité, celle de multiplicité ou de pluralité, celle de totalité, laquelle s'obtient par la synthèse des précédentes.

En effet, les phénomènes qui s'offrent à la conscience forment une série continue et présentent, par cela même, une sorte d'unité; quelque chose leur est commun à tous, à savoir la succession, l'association. Par là il devient possible de les embrasser d'un seul regard et d'en constituer un tout.

La notion de totalité peut encore s'expliquer d'une autre manière. L'unité de série convient à nos états de conscience ; l'unité de système leur appartient également; je veux dire que parmi nos modifications subjectives, il en est qui se groupent naturellement entre elles et comme en un faisceau.

(1) M. Fouillée. La Philosophie de Platon, t. 2, p. 545.

parce que malgré les diftërences qui les séparent, elles semblent obéir à une même direction et concourir à un même travail. A ce point de vue, l'àme humaine est un véritable organisme, et les fins diverses qu'elle se propose sont comme autant de principes directeurs d'une classification psychologique. Ainsi arrive-t-elle à comprendre ce que peut être une unité constituée de parties ; ainsi arrivet-elle à opposer cette unité collective ou totalité à l'unité simple et indivisible, dont son essence offre le type.

L'idée du nombre semble maintenant acquise ; pour y arriver l'esprit n'a pas eu besoin de sortir de lui-même. Il lui a suffi de se contempler, de prendre conscience de son unité métaphysique, de l'opposer à ses modes multiples, de grouper ces modes et d'en former des touts.

Passons de la notion de nombre à la science des nombres, et peut-être l'esprit devra-t-il en chercher la matière autre part que dans la conscience.

Telle n'est point à cet égard l'opinion d'un philosophe distingué, aux yeux duquel « toutes les )) conceptions mathématiques (1) sont des modes y> de la conscience, des images de l'âme. Quant

(I) M. Fouillée, loc. cit. 546.

» aux opérations mathématiques, addition, sous- » traction, multiplication^ division, elles sont la » raison appliquée aux formes les plus abstraites » de la conscience. »

Il est certain que la conscience présente aux regards du psychologue une multiplicité d'actes et de modes séparés les uns des autres, par les places qu'ils occupent dans le temps, par le degré d'intensité qui les accompagne et par le contenu psychologique. Rien n'est plus facile alors que de les comparer entre eux et de les comparer successivement à ce triple point de vue ; mais cette comparaison n'est possible qu'à une condition, c'est qu'il soit en notre pouvoir de briser la chaîne de nos états de conscience et de substituer à cette synthèse réelle et concrète, une synthèse abstraite et idéale composée d'éléments homogènes. On mettra d'un côté, par exemple, tous les états de plaisir et de douleur, de l'autre tous les phénomènes de perception et de connaissance, etc. On arrivera ainsi à former des totaux composés d'unités de même espèce, et l'on aura en dernière analyse plusieurs séries d'additions.

Si l'addition était la seule opération arithmétique possible, on trouverait peut-être moyen d'en expliquer l'origine en faisant appel aux seules forces de l'entendement. La soustraction, qui n'est après tout que l'opération inverse de la précédente, pourrait,

elle aussi, ne pas se montrer trop rebelle à ce mode d'explication. Mais, supposez l'homme réduit à n'opérer que sur des états de conscience vides de toute représentation sensible , vous n'arriverez jamais à comprendre qu'il ait pu découvrir la multiplication et la division, encore moins les mille opérations complexes qui dérivent de ces deux dernières. Qu'est-ce que multiplier un plaisir par un autre ? Constater que le plaisir d'hier équivaut à deux fois le plaisir d'il y a huit jours? Mais celui qui tient ce langage se fait-il l'illusion de croire qu'il ne parle pas au figuré?

Non, l'entendement réduit à lui seul et privé du secours de la perception externe, ne peut achever d'élaborer le concept de nombre ; il lui faut sortir de lui-même pour donner à ce concept le degré d'abstraction, et si j'ose dire, de pureté nécessaire aux opérations de l'arithmétique et de Palgèbre.

En eftet, la notion de nombre appelle la notion

de mesure, et les seules quantités mesurables sont

les quantités extensives. On sait d'ailleurs qu'une

quantité qui par elle-même n'est qu'intensive, ne

peut se mesurer que par l'intermédiaire d'une

grandeur ou d'une étendue ; ainsi la chaleur, par

le degré de dilatation des corps. Donc, en supjpo-

sant le monde psychique envahi par le calcul

(l'invasion est déjà commencée) et conquis par les

50 EXAMEN. DES SCfENCES .RATION'NELLES

mathématiques, il ne faudrait point attribuer ce résultat à l'entendement pur, mais bien à Pesprit aidé de l'intuition externe.

Kant distingue entre l'intuition a 'priori et l'intuition a posteriori : la première est celle de l'espace et du temps, la seconde est celle des corps et des objets sensibles. Laquelle des deux est nécessaire à la construction de la science des nombres?

L'une et l'autre : donnez-moi l'espace vide, indéterminé, je n'y puis entrevoir aucun élément de divisibilité : cet espace est un tout continu et partout identique à lui-même; comment y tracerai-je des circonscriptions? Comment ces circonscriptions obtenues, en opérerai-je la mesure?

Pour cela^ j'ai besoin de l'intuition sensible (1); c'est elle qui va m'apprendre à meubler l'espace et par conséquent à le diviser.

On me dira peut-être que cette étendue dont je garnis l'espace est une étendue idéale, construite par l'imagination à l'aide du mouvement (2); ainsi peut s'expliquer la genèse des figures géométriques. Toujours est-il que la notion de mouvement ne réside pas dans l'intelligence à titre de don-

(1) L'intuition sensible ne porte que sur des phénomènes ; Tintuition psychologique porte sur des phénomènes et sur un être. Le moi est le seul être dont nous ayons l'intuition. (Voir notre chapitre I).

(2) Cf. L. Liard. Des définitions géométriques et des définitions empi-^ riques, Paris, 1873.

née a priori : c'est à l'expérience que l'entendement l'emprunte, et par conséquent non-seulement l'intuition a prioriy mais encore l'intuition a posteriori interviennent l'une et l'autre, sinon dans la première ébauche du concept de nombre, au moins dans la construction des quantités mathématiques.

Les quantités mathématiques sont des quantités discrètes : la continuité est le propre de l'espace et de l'étendue ; comment passer de l'un à l'autre ?

En traçant des figures dans l'espace, l'imagination divise cet espace et peut dès lors considérer une de ses parties, abstraction faite de toutes les autres : cette partie elle-même comporte un nombre illimité de divisions^ et chacune de ces divisions nouvelles peut devenir l'objet d'un acte spécial d'attention. Il n'en faut guère davantage pour transformer une quantité continue en une quantité discrète.

Les figures dont je garnis l'espace, une fois réalisées, m'apparaissent divisibles et, qui plus est, mesurables. Je puis prendre l'une quelconque d'entre elles, chercher combien de fois elle en contient une autre, combien de fois elle se trouve contenue dans une troisième. J'ai donc là une excellente base d'opérations arithmétiques, une matière des plus fécondes pour le calcul.

Il est incontestable, cependant, que l'intuition

de Pespace ou de retendue ne joue aucun rôle dans Tarithmétique ou dans Palgèbre, telles que ces deux sciences sont actuellement constituées; le nombre mathématique est un nombre teL que l'esprit le conçoit^ abstraction faite de toute représentation, et qu'il applique, comme Ta fort bien remarqué Locke, non-seulement aux choses qu'il perçoit, mais à ses propres modes.

On n'en est pas moins obligé d'admettre que la spéculation mathématique, sinon la conception du nombre, est née presque tout entière de la considération de l'étendue (1). C'est l'étendue qui, dans le principe, servit de support aux premières opérations du mathématicien. Plus tard, seulement, les lois mathématiques apparurent dans leur universalité, et les rapports de nombre s'offrirent à l'esprit, tels qu'ils doivent être conçus, c'est-à-dire indépendants des objets de l'intuition externe.

Ainsi, pour arriver à la constitution des sciences mathématiques, l'esprit suit une marche dialectique dans laquelle on peut distinguer trois moments :

1** Élaboration du concept de nombre par 'esprit ;

2** Elaboration des opérations mathématiques par l'esprit aidé de l'intuition externe ;

3^ Constitution des sciences mathématiques par

i\) Cf. Magy. De lu Science et de 4a Nature, p-. 10 et H.

' LE NOMBRE ET LA FIGtJRB. 53

l'esprit qui arrive à concevoir les rapports et les propriétés des nombres abstraction faite de toute application à un objet spécial d'intuition interne

ou externe.

Ainsi, le nombre n'est ni une propriété exclusive de l'âme, ni une propriété exclusive du corps. Le nombre est une catégorie ; il s'affirme de la matière comme de tout objet de pensée. Donc la science des nombres proprement dite ne peut, à elle seule, apporter à la métaphysique de la nature le moindre éclaircissement.

La science des nombres est indépendante des sciences de la nature, et le nombre n'est pas, comme le prétendait Locke, une qualité de la matière (1).

III. — La science des nombres ne peut rien pour la philosophie première ; le nombre est une catégorie et non pas seulement un attribut des corps. Il n'en est point de même de l'étendue et de

(1) Cette dissertatiOD sur le nombre a Tapparence d*un hors-d'œavret Elle était pourtant nécessaire. A priori, aucune raison ne nous dispensait de l'examen des sciences fondées sur les qualités premières ; a priori aucune raison ne cous permettait de rayer le nombre de la liste de ces qualités. Ce que nous avons fait pour la science des nombres, nous allons le faire pour les sciences de la figure et du mouvement. Dussionsnous arriver à un résultat négatif, il nous semble tout au moins nécessaire d'interroger avec le plus grand soin et de déterminer aussi exactement que possible les causes de nos échecs.

autrement leur nécessité resterait inexplicable; mais de ce que l'expérience les confirme, on ne saurait conclure qu'elle les constitue. Quoi qu'en dise M. Stuart Mill, cinq et cinq font dix, ont fait et feront toujours dix, et cela, dans tous les pays du monde, au-delà même du groupe d'étoiles dont fait partie notre soleil.

tiots^ et ces définitions sont posées par Tesprit en vertu d'un droit supérieur aux droits que confère Tusage des sens. Nul ne conteste ce droit.

En second lieu, il est à remarquer que la définition des surfaces suppose et implique la définition des lignes , que la définition des volumes est postérieure à celle des surfaces. La géométrie plane précède la géométrie dans Tespace ; donc Pesprit, dans la génération des figures, parait suivre un ordre précisément inverse à l'ordre indiqué plus haut.

Enfin, parmi les figures géométriques, il en est un grand nombre, dont la représentation resterait inexplicable s'il fallait en rendre compte à la manière des empiriques; le géomètre opère sur une variété de figures dont on chercherait vainement l'analogue dans le monde extérieur.

En présence d'une solution aussi peu satisfaisante, on est tenté de recourir à la doctrine de l'innéité ; les partisans de cette doctrine, et, parmi eux les plus autorisés, inclinent visiblement à penser que nous naissons l'esprit meublé de figures. Dès le début, nous ne les apercevons pas^ mais la perception des choses sensibles vient les rendre lumineuses à la conscience; ainsi le veulent^ entr'autres, Platon et Malebranche.

Cette explication peut séduire, mais elle ne

résiste pas à Pexamen. D'abord, chacun de nos concepts innés est une catégorie, je veux dire une forme de pensée appKcable à tout objet possible ; ainsi la cause, la substance, le nombre même ; le moi et le monde extérieur participent des uns comme des autres. Le monde extérieur seul reçoit rétendue et la figure; donc prétendre que les formes géométriques résident en nous à Tétat d'innéités, revient à transformer Tâme en une sorte « d'espace intelligible »; et Pâme répugne à l'espace.

Entre ces deux solutions, toutes deux inacceptables, vient se placer la solution de Kant. L'auteur de la CritiqTie de la raison pure distingue profondément entre les « connaissances par concepts » et les connaissances par « constructions dés concepts. »

Les connaissances par constructions des concepts sont rationnelles comme les autres ; elles se reconnaissent à ce signe, que certaines intuitions leur correspondent et que l'esprit peut les représenter sans recourir à l'expérience. Les concepts géométriques sont dans ce cas, parce qu'ils ont pour objets des quantités et qu'ils se rapportent à l'intuition de l'espace. « Ainsi je construis le concept » du triangle en représentant l'objet correspondant y> à ce concept, soit par la simple imagination dans » l'intuition pure^ soit même» d'après celle-ci, sur » le papier, dans l'intuition empirique, mais dans

» les deux cas, tout-à-fait a priori, sans en avoir » tiré le modèle de quelque expérience » (!)•

En d'autres termes, l'espace est donné d'une part, de l'autre est donnée l'activité de l'entendement ou, mieux encore, de l'imagination, et la géométrie va naître.

Mais, si l'espace apparaît à l'homme doué d'une existence objective, le philosophe sait, qu'au fond, il n'en est rien ; l'espace est une forme de l'intuition dont l'esprit est le créateur. Donc il ne semble pas que pour construire les figures, l'esprit ait besoin d'aucun secours étranger.

Qu'on ne se hâte point de conclure. L'espace est une forme de la sensibilité, disons mieux, c'est une forme de l'intuition imposée par l'esprit aux phénomènes. Mais l'intuition de l'espace est celle d'un contenant vide, indéterminé; d'autre part, l'entendement ne semble point posséder les concepts géométriques à l'état d'innéités ; le problème "semblerait insoluble, car il s'agit d'expliquer comment un espace vide peut être meublé par un entendement vide.

D'abord, si nous ne naissons point avec l'intuition a pilori des concepts géométriques, nous naissons avec un entendement qui, pour n'être point riche, apporte avec lui-même de quoi s'enri-

1) Cniiqu9 de la raison pure, trad. Baral, t. n» p. 287.

chir. A en croire certains rationalistes^ l'âme viendrait au monde toute dotée ; ce n'est pas ainsi que les choses se passent. L'entendement possède une activité originelle dont la puissance est presque sans bornes, dont la fécondité est presque inépuisable. Mais cette puissance ne servirait de rien, mais cette fécondité demeurerait éternellement stérile si le monde extérieur ne lui fournissait des éléments de travail. Ici, comme ailleurs, Texpérience doit intervenir.

Suivant nous et selon l'auteur d'une remarquable thèse sur les Définitions géométriqtœSj l'esprit ne serait point l'agent unique des déterminations de l'espace ; pour garnir l'espace, il aurait besoin du mouvement.

a Donnez -moi la matière et le mouvement, » disait Descartes, et je créerai le monde. De même y> le mathématicien pourrait dire : Donnez-moi 7> l'espace et le mouvement, et je créerai la géo-^ » métrie (1). » Or, si l'espace est donné antérieurement à toute expérience, il n'en saurait être de même du mouvement. La notion de mouvement est dérivée de la perception des objets mobiles (2).

(1) Liard. Loc, dt. p. 47.

(2) Le concept du mouvement « présuppose la perception de quelque » chose de mobile. Or, dans l'espace considéré en soi, il n*y a rien de » mobile; il faut donc que le mobile soit quelque chose que Tcipérience » seule peut trouver dans Tespace, par conséquent une doniiée empi- » rique. » — pnt. Loe. cit., 1. 1, p. 96.

Il serait intéressant d'assister à la création de ce monde idéal de lignes, de surfaces et de volumes ; on verrait comment de la construction de la ligne on passe à la construction des autres figures, toujours à Paide du mouvement, et grâce à cette propriété sans laquelle Pespace est inconcevable, la propriété d'avoir trois dimensions; mais cela seul nous importait, de savoir, dans quelle mesure Texpérience extérieure vient au secours du géomètre, et nous n'avons plus maintenant à nous le demander. Sans le mouvement, point de géométrie, mais sans l'intuition externe, point de mouvement.

Prenons-y garde cependant et n'allons pas jusqu'à dire que c'est de la considération des choses du monde extérieur qu'est née tout entière la science du géomètre ; on a réfuté l'empirisme et on l'a condamné sans appel. Sans doute nous croyons devoir faire à l'expérience sa part, mais quelle part lui faisons-nous ? Une part aussi faible que possible; nous lui empruntons de quoi construire les figures, mais c'est l'esprit seul que nous chargeons de ce soin; d'un grain de sable il fait jaillir un univers.

Cet univers, peuplé de formes rigides et immobiles, régi par des lois dont la nécessité ne veut jamais être mise en question, cet univers, dis-je, n'est point le monde où l'homme s'agite. Ici et là

résiste pas à Texamen. D'abord, chacun de nos concepts innés est une catégorie, je veux dire une forme de pensée applicable à tout objet possible ; ainsi la cause, la substance, le nombre même ; le moi et le monde extérieur participent des uns comme des autres. Le monde extérieur seul reçoit rétendue et la figure; donc prétendre que les formes géométriques résident en nous à l'état d'innéités, revient à transformer Tâme en une sorte « d'espace intelligible »; et l'âme répugne à l'espace.

Entre ces deux solutions, toutes deux inacceptables, vient se placer la solution de Kant. L'auteur de la Critique de la raison pure distingue profondément entre les « connaissances par concepts » et les connaissances par « constructions des concepts. »

Les connaissances par constructions des concepts sont rationnelles comme les autres ; elles se reconnaissent à ce signe, que certaines intuitions leur correspondent et que l'esprit peut les représenter sans recourir à l'expérience. Les concepts géométriques sont dans ce cas, parce qu'ils ont pour objets des quantités et qu'ils se rapportent à l'intuition de l'espace. « Ainsi je construis le concept » du triangle en représentant l'objet correspondant » à ce concept, soit par la simple imagination dans » l'intuition pure, soit méme^ d'après celle-ci, sur » le papier, dans l'intuition empirique, mais dans

• les deux cas, tout-à-faît a priori^ sans en avoir » tiré le modèle de quelque expérience » (1).

En d'autres termes, Pespace est donné d'une part, de l'autre est donnée l'activité de l'entendement^ ou, mieux encore, de l'imagination, et la géométrie va naître- Mais, si l'espace apparaît à l'homme doué d'une existence objective, le philosophe sait, qu'au fond, il n'en est rien ; l'espace est une forme de l'intuition dont l'esprit est le créateur. Donc il ne semble pas que pour construire les figures, l'esprit ait besoin d'aucun secours étranger.

Qu'on ne se hâte point de conclure. L'espace est une forme de la sensibilité, disons mieux, c'est une forme de l'intuition imposée par l'esprit aux phénomènes. Mais l'intuition de l'espace est celle d'un contenant vide, indéterminé; d'autre part, l'entendement ne semble point posséder les concepts géométriques à l'état d'innéités ; le problème semblerait insoluble, car il s'agit d'expliquer comment un espace vide peut être meublé par un entendeinent vide.

D'abord, si nous ne naissons point avec l'intuition a pHori des concepts géométriques, nous naissons avec un entendement qui, pour n'être point riche, apporte avec lui-même de quoi s'enri-

1) Critique de la raison pure, trad. Barnl, t. n, p. 287.

chir. A en croire certains rationalistes^ Pâme viendrait au monde toute dotée ; ce n'est pas ainsi que les choses se passent. L'entendement possède une activité originelle dont la puissance est presque sans bornes, dont la fécondité est presque inépuisable. Mais cette puissance ne servirait de rien, mais cette fécondité demeurerait éternellement stérile si le monde extérieur ne lui fournissait des éléments de travail. Ici, comme ailleurs, l'expérience doit intervenir.

Suivant nous et selon l'auteur d'une remarquable thèse sur les Définitions géométrigiLeSj l'esprit ne serait point l'agent unique des déterminations de l'espace ; pour garnir l'espace, il aurait besoin du mouvement.

« Donnez -moi la matière et le mouvement, » disait Descartes, et je créerai le monde. De même T> le mathématicien pourrait dire : Donnez-moi y> l'espace et le mouvement, et je créerai la géo-^ » métrie (1). » Or, si l'espace est donné antérieurement à toute expérience, il n'en saurait être de même du mouvement. La notion de mouvement est dérivée de la perception des objets mobiles (2).

(1) Liard. Loe. cil. p. 47.

(2) Le concept du mouvement « présuppose la perception de quelque » chose de mobile. Or, dans l'espace considéré en soi, il n*y a rien de » mobile; il faut donc que le mobile soit quelque cbose que l'expérience • seule peut trouver dans l'espace, par conséquent une doniiée empi- » rique. » — ^ant. Loc, cit., 1. 1, p. 96.

LE NOBiBRE ET LA FIGURE. 59

Il serait intéressant d'assister à la création de ce monde idéal de lignes, de surfaces et de volumes; on verrait comment de la construction de la ligne on passe à la construction des autres figures, toujours à Taide du mouvement, et grâce à cette propriété sans laquelle Tespace est inconcevable, la propriété d'avoir trois dimensions; mais cela seul nous importait, de savoir, dans quelle mesure l'expérience extérieure vient au secours du géomètre, et nous n'avons plus maintenant à nous le demander. Sans le mouvement, point de géométrie, mais sans l'intuition externe, point de mouvement.

Cet univers, peuplé de formes rigides et immobiles, régi par des lois dont la nécessité ne veut jamais être mise en question, cet univers, dîs-je, n'est point le monde où l'homme s'agite. Ici et là

60 EXÂMEIf DES SCIENCES RATIONNELLES

nous trouvons retendue, ici et là nous trouvons la forme ; mais quel rapport établir entre cette étendue réduite à elle-même, et qui n'est qu'étendue et que figure, et cette autre étendue résistante, impénétrable, lumineuse et sonore qui est celle des choses concrètes et des objets qui s'offrent à notre perception (1)?

Quel rapport établir entre les figures et les formes des choses sensibles? A première vue, la figure paraît impliquée dans la forme, on dirait même qu'elle lui sert de canevas; pure illusion. Cette apparence tient précisément à la richesse de l'esprit humain et à son pouvoir de construire les concepts géométriques ; il les retrouve en quelque sorte sous les formes des objets perçus, mais, pour les y trouver, il a dû préalablement les y mettre. On l'a vu d'ailleurs : si la notion de figure dérivait de l'expérience, jamais la spéculation mathématique ne s'étendrait jusqu'où elle s'étend, jamais elle ne s'appliquerait à des représentations pures de toute analogie avec les formes données dans l'intuition sensible.

(I) « Deux grandeurs géométriques, de quelque espèce qu'elles soient, • sont dites égales lorsqu'on peut transporter l'une des deux, en ne > changeant rien en elle, de manière qu'elle coïncide complètement a? ec » l'autre. > — Duhamel. Det méihodes dam les iciences de raisùnnevMnt, V partie. — L'étendue géométrique n'est donc pas impénétrable.

L'étendue est peut-être une qualité essentielle des corps, mais cette étendue n'a rien ou presque rien de commun avec celle du géomètre, et la géométrie ne peut prétendre au titre de science de la nature.