DIVISIONE DE L'OTTAVA = DIVISION DE L'OCTAVE

(Voy. l'article suivant).

DIVISIONE DE'RAPPORTI=DIVISION DES RAPPORTS. — C'est un des objets les plus importants de la science canonique qui apprend de quelle manière on doit résoudre le

rapport d'un intervalle majeur en deux ou plusieurs rapports d'intervalles.

Les intervalles peuvent être classés sous trois espèces de divisions différentes, savoir : la division arithmétique , la division harmonique et la division géométrique. Les deux premières ont entr' elles ceci de commun, que le nombre majeur est attribué au son fondamental et occupe la première place dans le calcul.

Pour diviser un rapport arithmétiquement, il faut mettre entre ses deux membres un nombre intermédiaire dont les proportions soient dans une égale distance du premier et du second membre du rapport qu'on doit diviser. Ce nombre intermédiaire s'appelle le diviseur arithmétique, à l'aide duquel le premier rapport qui résulte de la division devient le second membre, et le second rapport devient le premier membre.

Supposant que l'on veuille diviser arithmétiquement le rapport de la sixte majeure 5:3, le nombre A sera le diviseur arithmétique , comme 5 : L\ : 3, et au moyen de ce diviseur le rapport de la sixte majeure sera représenté dans les deux rapports par 5 : k et 4 : 3 , qui correspondent à la tierce majeure et à la quarte naturelle qui, unies ensemble, constituent une sixte majeure, comme ut mi la.

Supposant que l'on veuille diviser arithmétiquement un rapport tel qu'il ne puisse pas admettre entre ses nombres radicaux un nombre intermédiaire, comme le rapport de la quinte 3 : 2 , ou le rapport de l'octave 2:1, on devra alors doubler, tripler, etc., ce rapport. Supposons, par exemple, le rapport de la quinte dont nous venons de parler; au lieu de mettre 3:2, on mettra 6 : [\ avec le diviseur 5 , et il en résultera 6 : 5 et 5 :l\ = à la tierce mineure et majeure. Que

l'on fasse la même opération dans le rapport de l'octave

et l'on obtiendra [\ : 3 et 3 : 2 = à la quarte et à la quinte.

On n'emploie jamais les nombres 7, 11, 13, 17, 1U, ainsi que leurs multiplications, pour la raison qu'on trouve exposée à l'article Rapport. C'est pourquoi la quarte naturelle et plusieurs autres intervalles ne peuvent pas se diviser arithmétiquement.

La division harmonique se distingue en ce qu'elle ne produit pas seulement des rapports inégaux, mais encore des différences inégales. 1° Elle a pour base la division arithmétique, tirant une ligne au dessous des nombres; 2° on multiplie par le diviseur arithmétique les deux membres du rapport qu'on doit diviser, et l'on place les produits au dessous de la ligne; 3° on multiplie entre eux les deux membres extrêmes de la division arithmétique, et le produit qu'on obtient sert de diviseur harmonique qu'on place au dessous de la ligne entre les deux nombres précédents. On divisera donc, par exemple, le rapport de l'octave 2 : 1 de la manière suivante :

2 ; 1 lx : 3 : 2 (division arithmétique qui sert de base ) ,

12 : 8 : 6 (division harmonique de l'octave), au moyen de laquelle on détermine les rapports de la quinte et de la quarte naturelle, puisque les rapports 12 : 8, et 8 : 6, réduits sur les nombres radicaux, donnent 3 : 2 et 4 : 3, c'està-dire les rapports de la quinte et de la quarte.

La division géométrique se distingue en ce qu'elle produit des rapports égaux avec des différences inégales. Dans cette division on multiplie d'abord chaque membre par lui-même, et ensuite les deux membres l'un par l'autre ; le produit qui en résulte donne le diviseur géométrique. On divise donc l'octave géométriquement ainsi qu'il suit : 2:1

2 1 différences.