CALCUL DE C
c = acos B log c = logrt + log cos B.
log a =1,97 708 log cos B= 1,6.5085.
log c = 1,62793.
c = 4;m,ijj.
Deuxième cas. — Résoudre tin triangle rectangle, en connaissant un côté de l'angle droit et l'un des cojgles aigus.
Données : c et B. — Inconnues : C, n et b. On a pour déterminer les inconnues :
C=90° — B, </ =ctgB,
c = a cos B, d'où a =
cosB
Pour appliquer les logarithmes, on a :
log6 = loKC + log tgB; log a = loge— log cosB.
Exemple. — Données : c = 68"", 42.
TRlGONOxMETRlE
— 223G — TRIGONOiMÉTRIE
Pour le démontrer, menons dans le triangle
Troisième ca5. — Résoudre un triangle rectangle en connaissant Us deux côtés de l'angle droit.
Données : 4 et c. — Inconnues B, G et a.
Calcul des angles. — On a :
* = ctgB, d'oùtgB = -:
c = 6 tgC, d'oùtgC=-.
Calcul de a. — De l'égalité b = a sin B, on tire :
b sin B ■
Pour appliquer les logarithmes, on a :
log tg B = logè — loge; log tg C = log e — log II.
log a = log A — log sin B.
Exemple. — Données :
A=3Sm,Ci
On trouvera :
QuATiiii:ME CAS. — Résou'/re iiti triangle rectangle, en cnnnaissaut l'hypoténuse et uncoléde l'angle droit.
Données : a et ê. — Inconnues : c, B et C.
Calcul de c. — L'égalité a^^ b- -\- c- donne :
e-^a'--b\ d'où c=y;;^rr^.
Pour rendre cette expression propre au calcul logaritlimique, il faut se rappeler que la différence des carrés de deux quantités est le produit de la somme de ces quantités multipliée par leur différence. On a donc :
En substituant cette expression sous le radical, on obtient pour calculer le côté c :
•--\[a-^b)xia-b).
On calcule donc d'abord la somme a -f- b, puis la différence a — i, et en les mettant sous le radical, on a par l'emploi des logarithmes :
l02/o-t-i)+lnc;V,-4)
logc^ ■ -•
Calcul des angles. — On a :
é = ctgl!, d'oùtgB = -,
c = b tgC, d'où tgG = 7,
comme au 3« cas.
Exemple. — Données :
On trouvera :
IG. Relations entre les côtés et les angles d'un triangle quelconque.
1° Uans tout iriangle les côtés sont proportionnels auj: sinus des angles opposés.
ABC (fig. 9) la hauteur CP. Les deux triangles rectangles ACP et BCP donnent :
CP=ACsinA=6sinA; CP=BG sinB = nsinB.
De ces deux égalités on tire :
a sinB= A sin A,
sin.\ sinB'
ce qui est l'énoncé du théorème.
A cette relation il faut joindre la suivante : A + B 4- C = 180».
Remarque. — Si la hauteur tombait hors du triangle, comme dans la figure 10, la démonstration n'en serait pas modifiée. En effet on a d'abord CP = CA sin CAP ; mais l'angle CAP étant le supplément de l'angle CAB, c'est-à-dire de l'angle A du triangle, le sinus do CAP est égal à sin CAB ou sin A ; on aurait encore CP = A sin A.
'1° Dans tout triangle le carré d'un côté est égal à In somme des carrés des deux autres côtés moins le double produit de ces deux côtés multiplié par le cosimts de l'angle compris entre eux.
En effet, rappelons d'abord ce théorème de géométrie : dans tout triangle le carré d'un côté est égal à la somme dos carrés des deux autres cotés plus le double produit de l'un de ces deux côtés multiplié par la projection de l'autre côté sur lui, si l'angle opposé au premier côté est obtus, et moins ce double produit, si l'angle opposé au premier côté est aigu.
Soit d'abord l'angle aigu A dans le triangle ABC (fig. 9). On aura d'après ce théorème :
a2 = A2-j-c2 — 2cxAP.
Or le triangle rectangle ACP donne :
AP = AC cos A = A cos A.
En substituant cette valeur à AP, on trouve :
a-=t,--\-c- — 2A; cos.i.
Lorsque l'angle A est obtus, comme dans la
figure 10, le produit 2Ac cos A a encore le signe — . En ellet, d'après le théorème rappelé plus haut, ou a :
a2 = A2+c5-f2cxAP.
Or le triangle rectangle CAP donne :
AP = AC cos PAC = A cos PAC.
Mais comme l'angle PAC est le supplément de
TRIGONOMETRIE
l'aiipile A (l'angle CAI5', du trmnKlu, lo cosinus do PAC est épal au cosinus de A ju'is avec le signe — . On a donc :
cos P AC = — CCS A, et AP = — 4 ces A,
et oufiii :
«a = 42 + c2+2c X ( ij cos A), ou :
a2=is-f (;2— 34ccosA.
REMAiiQitE. — Il est bon d'observer que dans le cas où l'angle A est obtus, Ihc cos A est négatif, et par conséquent retrancher 2Ac cos A de h- -]- crevient ;\ augmenter 6- -|- c^ de la valeur absolue du produit 2éc cos A.
Les relations qui existent entre les côtés et les angles d'un triangle quelconque se présentent donc ici sous deux formes résumées dans les formules suivantes :
siiiA smB sinC } A+B-(-C=lSÛ° )
a2 = 42(.c2 24t- cos A c2 = a- -t- c- — '>ar cos B c2 = «2 ( 42 3 „4 cos c
17. Résolution d'un triangle quelconqpie. — Oolte question présente quatre cas correspondant aux quatre cas de la construction d'un triangle. Ou connaît :
r un cùté et deux angles;
2° lieux cotés et l'angle opposé à l'un d'eux;
S" deux côtés et l'angle compris entre eux;
i" les trois côtés.
PREMIER CAS. — Itésoudre un triangle dans lequel on connaît un tôti el tieiix angles.
Données : a, A, B. — Inconnues : C, 6, c.
Calcul de l'angle C. — On a :
