TIO

Substituant cette valeur de »7 dans celle de v, elle devient

0 = 535,8655.e0 LE...

16. Comme le pendule balistique augmente de poids par chaque nouveau boulet qui y pénètre, il faut faire successivement , après chaque expérience,

er — . P, ou presque exactement IE Tph D nd presq ak PE = ESS ; ou presque exactement 72 = me +- [0 im py+Pi

lorsque P est très-petit par rapport à p.

57. La valeur de »2 étant donnée en fonction de », on en déduit pour n

V/A1010 N = =—————— vom

ou 363,8 Va en réduisant les pieds en pouces.

À l’aide de cette valeur et des formules précédentes, on obtient, en désignant par 4 la correction qu'il faut faire subir à x après chaque expérience,

an=363,5.| Vm

ou presque exactement n im P2 pq+Pi on Substituant à 2 sa valeur en »#, on obtient enfin, pour Paris,

An=n—

niP.[n°i— 132120]

— 264240pq +iP[ri+ 132120)

Cette valeur, déduite ainsi de chaque valeur précédeute de », est négative; ce qui doit être évidemment, puisqu’à mesute que le poids du pendule augmente le nombre des oscillations diminue,

18. Au nombre des obstacles qui doivent être pris en considération lorsqu'on veut obtenir des résultats exacts par ces calculs, on doit placer : 1° la résistance du point de suspension du pendule; 2° la résistance de l'air contre le pendule en mouvement; 3° le temps dont le boulet a besoin pour pénétrer dans le bois; et 4° la résistance de l’air contre le boulet en mouvement. Lorsque le pendule se meut sur des tranchans, et qu'il est trèspesant par rapport au boulet, au moins dans le rapport de 500 à 1, les trois premiers obstacles deviennent insignifians; mais le dernier ne peut être apprécié qu'en déterminant préalablement la vitesse initiale. On peut calculer exactement cette grandeur en suspendant le canon pour en faire un nouveau pendule, et en déterminant, par l'arc d'oscillation, qu'il décrit après le coup, la vitesse initiale du boulet. La différence de cette vitesse avec sa vitesse finale , donne la perte de vitesse due à la résistance de l'air. La vitesse initiale du boulet se calcule également par la formule (p), eu y substituant à la place de p4- P le poids du canon. Désignons donc par I le poids, et nous aurons pour Paris

nrPi

= 595,8655cq

I »’y a point de correction à faire à cette formule, le poids 1 n'étant susceptible d'aucune augmentation.

19. En déterminant plus loin la direction, nous ferons usage des résultats obtenus à l’aide du pendule balistique. Nous nous contenterons ici d'indiquer les principaux : la vitesse des boulets d’un poids de 16 onces 13 dragmes augmenta avec la grandeur de la charge et la longueur de la pièce jusqu’à un maximum au-delà duquel elle diminua. Le maximum de la vitesse initiale fut de 2200 pieds anglais avec 18 onces de poudre et une longueur dé 80,2 pouces anglais. Cependant l’exactitude de ces résultats dépend beaucoup de l’espace entre le boulet et la paroi interne du canon. Cet espace, que nous nommons vent du boulet, et que les Anglais appellent windage, est plus grand lorsque le boulet west pas tout-à-fait sphérique. Dans lartillerie anglaise, la différence des diamètres du canon et du boulet — +, tandis que dans l'artillerie française elle est seulement

553 lorsqu'elle dépasse 35, il échappe le tiers et jusqu'à la moitié de la vapeur de la poudre autour du boulet.

20. Direcrion nrs Pnrosecrises. Le probléme de déterminer la nature de la ligne que parcourt un boulet est un des plus difficiles des mathématiques appliquées ;

et malgré tous Jes cfforts des plus grands géomètres, on

BA

est encore bien éloigné d'en posséder une véritable solution. Dans nos meilleurs traités de mécanique, on suppose d'abord que le boulet se meut dans le plan vertical qui passe par l'axe du canon, ce que la pratique confirme très-rarement. Les expériences les plus exactes ont prouvé qu'il existait une déviation dont on a cru trouver la cause dans le recul des pièces, quoique les calculs de Hutton aient montré que ce recul était insuflisant pour produire une semblable action. Une autre cause s'offre d’elle-même, et n’est méconnue de personne : les balles, et surtout les boulets, ne peuvent toucher de si près les parois du canon qu’il n’y ait lieu à un ébranlement au moment du départ; de plus, la direction que prend le boulet à sa sortie de la bouche de Ja pièce est encore une cause de déviation qui dépend alors de l’angle plus ou moins grand qu'il suivra. Mais lorsqu'on réfléchit à l’extrême exactitude qu’on obtient maintenant dans la construction du calibre et dans celle de la sphéricité du boulet, exactitude qui rend presque nul l'espace entre ce dernier et les parois de la pièce ; qu'outre cela, la grande vitesse communiquée au moment de lexplosion, détermine puissamment limpulsion droite du boulet, maintenu d’ailleurs par l’étoffe qui l'entoure et qui n’est pas encore détruite par la vapeur de la poudre très-comprimée, et qui remplit tous les vides, on ne peut s'empêcher de rechercher d’autres causes à la déviation latérale qui s’est manifestée d’une manière si sensible dans les fimeuses expériences de Woolwich, déviation qui s’est élevée jusqu'à 15 degrés. Ces mêmes expériences établirent aussi que la ligne suivie par le boulet n’est pas contenue dans an même plan vertical, c’est-à-dire que les projections des points de cette ligne sur le plan horizontal ne donnent pas une droite. La cause principale de ce phénomène est incontestablement la résistance inégale de l'air dans lequel le boulet se meut. Robins l'avait déja découvert et le confirma en se servant de canons courbés; il donnii de cette manière une direction artificielle à ses balles, cttrouva qu’elles écartaient toujours du côté convexe du canon.

21. Pour rendre ceci plus sensible, admettons que le boulet C (PL. XIV, fig. 3) se meuve dans la direction ce, et fasse une rotation sur [ui-même aans la direction indiquée par la flèche. Plus le mouvement du boulet sera rapide, plus l'air qui est devant lui sera condensé, et plus celui qui est derrière sera dilaté. Ainsi, comme la figure l'indique, l'air est plus dilaté à m, et le plus condensé à n; mais alors le boulet qui rencontre de l'air de plus en plus condensé, arrive vers » en frappant ce dernier de chaque point de sa surface dans la direction de la tangente de sa rotation. Par ce mouvement de rotation, la surface

du boulet rencontre en une résistance au num,

et en 2 une résistance au maximum : le boulet sera donc détourné de sa première direction vers d. I] est évident que la ligne du boulet peut être courbée en divers sens à chacune de ses parties, mais chaque fois dans une direction opposée à sa rotation. Cette déviation qui rend la courbe balistique si compliquée, exerce en général une grande influence sur sa détermination , même lorsqu'on admet que la déviation de 15°, dont nous avons parlé plus haut, n’est qu’une de ces rares exceptions qui ont lieu dans les bouches à feu les mieux confectionnées. Mais un calcul exact de cette influence est probablement hors des limites de la science, parce qu'elle n’a aucun moyen pour déterminer la direction «et la vitesse de la rotation des boulets. De plus, dans l'accélération de la vitesse du boulet, le milieu qu'il traverse éprouve une plus grande inégalité de condensation, et produit par-la une plus grande déviation. ‘M. de Rhode, dans sa dissertation sur la déviation des projectiles du plan vertical (Berlin, 1795, 4), soutient ‘que la rotation du boulet n’a aucune influence sur cette déviation, et il cherche à prouver géométriquement que la résistance de l'air n’y entre également pour rien. Mais dans ce calcul il n’a pas tenu compte de l'inégalité de densité que l’air peut acquérir, jusqu’à laisser un espace vide derrière le boulet, et par conséquent sa démonstration n’a aucune valeur.

22. Le mouvement de rotation du boulet peut être conçu facilement; ses causes sont le contact du boulet avec le tube du canon à un moment quelconque de son passage au travers de ce tube; la position du centre de gravité hors du centre de figure, due à la densité inégale de sa masse, suite nécessaire du refroidissement non simultané de toutes ses parties dans le moule; et surtout l'inégalité d’impulsion communiquée par la poudre éclatant derrière. ( Montalembert. Mémoires de l'Académie , 1752, page 463.)

23. Le problème particulier de la balistique est de frapper un objet par un projectile: or, en n'ayant point égard aux obstacles que nous venons de mentionner, et en admettant que le boulet se meuve effectivement dans le plan vertical de l’axe du canon, d’après la loi d'inertie, le boulet devrait continuer à se mouvoir en ligne droite avec sa vitesse initiale, s’il n’était assujéti à la pesanteur, dont la force, agissant constamment sur lui , le fait dévier à chaque instant de sa première direction. Si le boulet n’éprouvait aucune influence étrangère à ces deux forces principales, celle de projection et celle de gravité, il décrirait une courbe dont la nature est facile à trouver; mais il se meut dans l'air, dont la résistance s'accroît avec la vitesse du boulet, et devient une fonction de la vitesse; ce qui rend le problème plus compliqué. Pour mieux faire ressortir toutes les circons-

tance: de cette question importante, nous allons d’abord

l'envisager en faisant abstraction de la résistance de l'air; puis nous examinerons les modifications que cette résistance apporte, en comparant les résultats de la théorie à ceux de l'expérience.

24. Des corps lancés verticalement. Lorsqu'un mobile est lancé perpendiculairement de bas en haut dans le vide avec une vitesse initiale quelconque, il s'élève à la hauteur de laquelle il devrait tomber librement, en vertu de sa seule pesanteur, pour acquérir cette vitesse ( Voyez AccéLéré). Si donc À exprime la hauteur de la chute, t le temps pendant lequel elle s'effectue, et y la vitesse finale; g étant l’espace que la gravité fait parcourir aux corps pendant la première seconde, nous

avons les équations connues

pv = 2 V£h; v = 2gt,; desquelles on tire v2 v h = — l = — 48? 38

Expressions dont la première donne la hauteur à laquelle s'élevera, dans le vide, un:corps grave quelconque lancé verticalement avec une vitesse initiale », et la seconde, le temps qu'il mettra pour atteindre cette hauteur.

Ainsi, dans le cas où le projéctile aurait une vitesse initiale de 670 mètres par seconde, il s'éleverait à une

hauteur pa 448900 Se h= = 22878 mètres TR FX o0 9 en employant pour cet effet le temps sic o@TP D pr 3 dif ODA

25. Ou obtient des résultats tout différens, si l’on tient compte de la résistance de l'air par lequel le boulet est le plus fortement retardé au commencement êt à Ja fin de son mouvement.

Si lon pose préalablement, avec Newton, la résistance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse, qu'on nomme v cette vitesse, et a un coefficient que l'expérience doit nous faire trouver, av? sera la résistance de l’air. Soit ensuite la pesanteur du boulet — p; av? + p séra l’obstacle à vaincre, et la force résistante étant en proportion inverse du poids du boulet, on aura

Las vd STE

pour la force de résistance.

Si l’on compare la vitesse # avec celle qu’un corps tombant par une chute libre acquiert en une seconde, et que l’on nomme æ la hauteur à laquelle doit s'élever

un boulet on à, tant que la résistance agit contre Île mouvement ,

— vdv = 2gf.dx = X 25:dx.

Delà, MEL DT pm+i.

Donc

aie s'as P Rss PA e+2)+c.

Si l’on fait x — 0, et v — +", c’est-à-dire égal à la vi-

tesse initiale , on aura

— la P So v +2),

L'intégrale complète est donc

2 av bp isa TEA

et pour v—0o, moment où le boulet a atteint sa plus

Z = log.nat.

grande hauteur et va retomber, on a

Le hga

Ici il s’agit de déterminer le coefficient 4 par des ex-

Hp

x = ;—. log. nat. à ———

périences sur la résistance de l'air, si on veut pouvoir le comparer en poids avec p.

Hutton trouve, par ses expériences, que la résistance contre un boulet du diamètre de deux pouces, dont le poids est —1 3 livre (avoir du poids) et la vitesse de 2000 pieds anglais est égale à 109 livres. Mais afin d’obtenir une valeur moyenne pour a, comme la vitesse diminue aussitôt par la résistance, il pose a — 59 livres, pour une vitesse moyenne’de 1500 pieds anglais.

De la proportion

on obtient a = 0,000026 5; ainsi, pour le boulet donné, dont le poids p est—13liv., et #'— 2000 pieds angl., x deviendra — 2930 pieds. 26. Les différens boulets de canon sont mesurés d'après leur diamètre. Si donc l’on prend le diamètre du boulet en question, 2 pouces, comme unité, et qu’on considère que les surfaces présentant de la résistance sont entre elles comme les carrés des diamètres, on aura pour un autre boulet d’un diamètre = D

as D:

4 % et, en substituant la valeur qu’on vient de trouver pour a,

résistance —

résistance = ———, 352542

Soit

on aura Ja force qui retarde DD " ar p

nr re

, rs ia

et, de la même manitre, Dr ?

— vdv = 2gdx X — uni D'où LE vdv LL D 2 +p est comme plus haut

LE ne: nat. BD°v. EP; p

v' désignant la vitesse initiale. D'après cette formule,

dont l'intégrale “ie

un boulet de 24 livres, d'un diamètre de 5 à 6 pouces, et d’une vitesse initiale de 2000 pieds, atteint une hauteur de 6463 pieds.

27. Hutton trouva toutefois, par une grandesérie d'essais, que le calcul ne concordait pas avec l’expérience quand on pose la résistance de l'air eomme proportionnelle au carré de la vitesse. Une concordance plus exacte se présenta, au contraire, quand, outre celte seconde puissance de la vitesse, il introduisit encore la première. D’après cela, si les indications sont comme plus haut, et si on introduit à la place du coefficient a les deux nouveaux »3 et n, on aura

eavr—nv)D'Æp P. P

pour la force retardatrice.

TVR — nv

DHr-/

On obtient ensuite, de plus, comme ci-dessus

je 19e A) X —vdy = gdz (2 lun )E ER)

op et de là es P. vdv Le 2g X ner — nv)? + p —p vds 7 og} RENTE | mi MER #4 D?

dont l'intégrale complète est 21 ) SR Een V3 2 A eu EEE P 1 : | m + mb?

=? Jlog.nat. —- — de 4gmD? 6 P. ÿ mD'

ce qui donne la plus grande hauteur que le boulet peut atteindre. Hutton trouva, par ses expérieuces mentionnées plus haut,

m = 0,0000308 et 2 — 0,007